2. Noções de Probabilidade

Noções de Probabilide e Distribuições

Prof. Msc. Daniel Bozuttidfbozuti@terra.com.br

02/2015

Fonte: www.deskeng.com

Fonte: 4dsysco.comFonte: www.ergodesign.nl

Conceitos básicos de probabilidade

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} Experimento = qualquer atividade realizada, cujoresultado exato é incerto} Nos ambientes produtivos, muito provavelmente os

resultados serão incertos (estocásticos)

} Espaço Amostral = são todos os possíveis resultadosindividuais que podem ocorrer quando for realizada aatividade.} No caso de uma moeda = cara ou coroa} No caso de um dado = número 1, 2, 3, 4, 5 ou 6

Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002

Conceitos básicos de probabilidade

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} Evento = é um subconjunto do espaço amostral

} Probabilidade = é a possibilidade relativa da ocorrência de um evento.} Os valores sempre estarão presentes entre 0 e 1

Eventos podem ser definidos de

diversas maneiras

Estabelecer variáveis

randômicas

Simplificar e Quantificar

Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002

Variáveis Aleatórias

Uma VARIÁVEL ALEATÓRIA é uma variável que assume valores associados com resultados aleatórios de um experimento, no qual um (e apenas um) valor numérico

é marcado para cada ponto da amostra.

Exemplos:

- cara / cara- cara / coroa- coroa / cara- coroa /coroa

Um experimento que visa contar o número de clientes atendidos em um banco durante os dias.

Durante o dia essa variável aleatória pode assumir diversos valores a depender do dia

(durante janela de atendimento)

Dois tipos de variáveis aleatórias

Variável Aleatória

DISCRETA

Variável Aleatória

CONTÍNUA

Quando uma variável aleatória é discreta, ela pode assumir um número contável de valores.

Exemplos: número de vendas de um vendedor, número de erros em uma página, número de consumidores que assumem que preferem um determinado produto, etc.

Quando uma variável aleatória é contínua, ela pode assumir infinitos valores em um determinado intervalo.

Exemplos: quanto tempo para produzir uma peça, o peso de um item de alimentação, quantidade de litros por abastecimento de carro, etc.

Variáveis Aleatórias

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} Variáveis randômicas = número cujo valor édeterminado pelo resultado de um experimento, quepode ser pensado com a quantificação de um evento.} É uma regra ou mapeamento que atribui um número

para cada resultado possível de um experimento.

DISCRETA CONTÍNUA

Assume valores pontuais(ex. número peça expedidas, número

de peças inspecionadas)

Pode assumir qualquer valor real (ex. tempo e distância)

Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002

Distribuição de Probabilidades para variáveis Aleatórias Discretas

A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta é um gráfico, tabela ou fórmula que especifíca a probabilidade associada com cada valor possível que a variável aleatória pode assumir.

Cara = 1 / Coroa =0

P (x=o) = P (coroa-coroa) = oP (x=1) = P(coroa-cara) + P(cara-coroa) = 1P (x=2) = P (cara-cara) = 2

P(x)

Valores0 1 2

1/2

1/4

P(x) ≥ 0ΣP(x) = 1

Por que construir uma distribuição probabilidades?

No exemplo anterior derivamos uma distribuição de probabilidades para uma variável aleatória discreta. No entanto, para algumas situações na prática isso pode

ser muito mais difícil.

Felizmente, muitos experimentos de variáveis aleatórias discretas associadas aos negócios possuem características

idênticas.

Curvas de Distribuição de Probabilidade

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Principais curvas de distribuição de probabilidades e que fazem parte do software Arena Simulation:

ü Normalü Betaü Gama ü Erlangü Exponencialü Johnsonü Lognormalü Poissonü Triangularü Uniformeü Weibull

REPRESENTAR UM FENÔMENO REAL E

ESTOCÁSTICO

Distribuição Normal

Uma das variáveis aleatórias contínuas mais comumente observadas tem umadistribuição de probabilidade em forma de sino. Ela é conhecida como variávelaleatória normal, e sua distribuição é chamada de distribuição normal.

- Participação importante na inferência estatística

- Muitos fenômenos de negócio geram variáveis aleatórias com distribuições de probabilidade que são bem próximas à normal

- Taxa mensal de retorno de ação

- Vendas semanais de uma empresa- Variação de dimensões de

produção de uma peça

A distribuição normal é perfeitamente simétrica em

torno de sua média μ.

Distribuição Normal

Fórmula para a distribuição de probabilidades normal:

Distribuição Normal

- Para conhecer as probabilidades, precisaríamos calcular a área sobre os intervalos desejados da função acima apresentada. É uma tarefa difícil!!

- Para isso existem tabelas que são construídas com base em uma distribuição norma padrão (μ=0 , σ=1 e z = variável aleatória normal padrão).

Distribuição Beta

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} É definida por duas expressões} A fórmula geral:

Onde,

} A fórmula padrão:

Distribuição Beta

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} A distribuição Beta é utilizada para representar tempos de conclusão de tarefas. Referente às atividades aderentesà Engenharia de Produção, pode ser utilizada para tempos em PERT/CPM.

Amostragem de dados

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População

AMOSTRA

} Levantar os dados detoda uma populaçãopode ser oneroso(tempo, custo,recursos, esforços)

} Trabalhar com umaamostra querepresente toda apopulação

Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002

Amostragem de dados

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} Como saber se uma amostra é representativa?

SÃO REALIZADAS ANÁLISES ESTATÍSTICAS PARA ESTIMAR OS PARÂMETROS POPULACIONAIS

Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002

Tamanho mínimo da amostra

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} Para o cálculo do tamanho da amostra (aleatória simples) temos a seguinte fórmula:

Onde,n = tamanho da amostra

N = tamanho da populaçãoE0 = erro amostral tolerável

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

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20

1

1*

EN

ENn

Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002

Testes de Aderência

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} Verificação da qualidade na escolha da distribuição que acredita-se ser a melhor representação da população.

} Podem ser utilizados métodos gráficos ou teóricos

Valor esperado

Valor obtido

ADERENTE NÃO ADERENTE

Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002

19Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002

Comportamento Transiente e em Regime

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} Comportamento transiente: quando não existeconstância ou regularidade na flutuação estatística dodesempenho das variáveis do sistema.

} Comportamento em regime: comportamento médioestatístico do sistema não se altera durante o tempo

Comportamento em regime não significa que as observações do sistema são sempre as mesmas, mas sim, que terão a mesma distribuição

Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002

Sistemas Terminais e Não Terminais

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Simulação Terminal = possui um estado transiente. O sistema se inicia vazio, fica ocupado por um período e depois termina vazio.

Simulação Não Terminal = não existe um evento ou instante de tempo onde a simulação termina. Não significa que a simulação nunca vai terminar, mas que, teoricamente, a simulação pode transcorrer infinitamente sem afetar as saídas.

Fonte: BUENO-DA-COSTA, 2002

Bibliografia

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} Esta apresentação foi preparada com base nos seguintesmateriais:

BUENO-DA-COSTA, M. A., Simulação de Sistemas, apostila didáticade apoio às disciplinas de Simulação para Engenharia deProdução, SIMUCAD, São Carlos: 2002.