2 SISTEMAS LINEARES - UTFPR

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOUNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

CAMPUS PATO BRANCO Curso das Engenharias

2 SISTEMAS LINEARES

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CAMPUS PATO BRANCOCoordenação do Curso das Engenharias e Tecnologia

Índice de tabelasTabela 1- Matéria Prima e Produtos..........................................................................................................................6

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SumárioCAPITULO 2............................................................................................................................................................42 METODOS DIRETOS PARA A SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES.........................................................4

TRANFORMAÇÕES ELEMENTARES............................................................................................................52.1 ELIMINAÇÃO DE GAUSS...............................................................................................................................6

2.1.1 EXERCÍCIOS.............................................................................................................................................62.2 PIVOTAMENTO PARCIAL.......................................................................................................................13

2.2.1 Estratégias De Pivotamento................................................................................................................132.2.1.1 Pivotação parcial..............................................................................................................................132.3.1 Exercicios............................................................................................................................................15

2.3 PIVOTAMENTO TOTAL OU COMPLETO..............................................................................................172.4 FATORIZAÇÃO LU....................................................................................................................................20

2.4.1 EXERCICIOS.....................................................................................................................................232.5 FATORAÇÃO DE CHOLESKY ou DECOMPOSIÇAO DE CHOLESKY...............................................28

2.5.1 Exercicios............................................................................................................................................292.6 TECNICAS ITERATIVAS PARA SOLUCIONAR SISTEMAS LINEARES............................................33

2.6.1 Metodo Iterativo de Jacobi..................................................................................................................342.6.1.1Criterio de Convergencia para o Método de Jacobi....................................................................34

2..6.2 Método Iterativo de Gauss-Seidel......................................................................................................372.6.3 Exercicios............................................................................................................................................39

2.7 NOÇÕES DE MAL CONDICIONAMENTO.............................................................................................392.7.1 Norma Matricial..................................................................................................................................40

2.7.1.1 Exercicios...................................................................................................................................41J) MATRIZ INVERSA PELA ADJUNTA.........................................................................................................44L) USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO....................................................................................................452.8 APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA...............................................................................45

2.5.2 Aplicações da Ferramenta Matematica Scilab....................................................................................472.5.3 Aplicações da Ferramenta Matematica wxmaxima............................................................................47

REFERÊNCIAS......................................................................................................................................................50

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CAPITULO 2

2 METODOS DIRETOS PARA A SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES

• Para BARROSO (1987, p.17) através de um sistema linear Sn de n equações e n

variáveis pode-se aplicar em calculo de estruturas, redes elétricas e solução de

equações diferenciais, entre outras.

• Um sistema linear Sn de n equações com n incógnitas:

S n=

a11 x1a12 x2...a1n xn=b1

a21 x1a22 x 2...a2n xn=b2

..............an1 x1an2 x 2...ann xn=bn

• Sob a forma matricial Sn pode ser escrito como Ax=b, onde A é uma matriz

aumentada quadrada de ordem n, b e x são matrizes n por 1 , e aij é chamado de

coeficiente da variável xj e os bj são chamados de termos independentes.

• A matriz A é chamada matriz dos coeficientes e a matriz aumentada ou matriz

completa do sistema.

B=[a11 a12 ... a1n b1

a21 a22 ... a2nb2

.........an1 an2 ... annbn

] = [A:b]1

Os números x1 ,  x2 , . .. , x n constituem uma solução do sistema linear e as equações

transformam em igualdades numéricas.

A solução é escrito na forma de matriz coluna:

X=[x1

x2

...x n

T

]1Concatenção de matrizes

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• Os sistemas lineares podem ser classificados quanto ao numero de soluções em

compatível, quando tem solução e incompatível não tem solução.

• Os sistemas compatíveis podem ser determinados ( uma solução) ou indeterminados

( varias soluções).

TRANFORMAÇÕES ELEMENTARESBARROSO (1987,p.17)

• trocar a ordem de duas equações do sistema

• multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula

• adicionar duas equações do sistema

LEON (2011, p.13) Sistemas sobredeterminados-

• há mais equações que variáveis, são geralmente inconsistentes.

LEON (2011, p.15) Sistemas Subdeterminados

• menos equações do que variáveis.

• Um sistema subdeterminado possa ser inconsistente , mas geralmente são consistentes

com um numero infinito de soluções.

Métodos diretos: estes métodos determinam a solução de um sistema linear com um numero

finito de operações. BARROSO(1987, p.17)

DALCIDIO( 1989,p.68), o método de Gauss é indicado para matrizes densas não simétricas

de ordem até 50.

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a) ELIMINAÇÃO DE GAUSS2.1 ELIMINAÇÃO DE GAUSS

2.1.1 EXERCÍCIOS

1) BOLDRINI ( 1980, p.51), resolva os sistemas lineares:a) x1+2x2-x3+3x4=1 b) x+y+z=4 c) x +y+z=4 d) x-2y+3z=0

2x+5y-2z=3 2x+5y-2z=3 2x+5y+6z=0

x+7y-7z=5

2) FRANCO (2009, p.162) aplicações práticas. Sejam x1,x2,x3,x4 o numero de quatro

produtos que podem ser produzidos no decorrer de uma semana. Para a produção de cada

unidade , precisa-se de tres tipos diferentes de matérias-primas A, B e C, conforme indicado

na tabela 1.0:

Tabela 1- Matéria Prima e Produtos

materia-prima

produtos A B C

1 1 2 4

2 2 0 1

3 4 2 3

4 3 1 2

Para produzir uma unidade de (1) precisa-se de 1 unidade de A, 2 de B e 4 de C. Se existem

disponíveis 30,20 e 40 unidades de A, B, C, respectivamente , quantas unidades de cada

produto pode ser produzido? Resolva o sistema linear pela eliminação de Gauss.

X=[6

−x4+ 82

−x4+ 8

2x4

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3) BOLDRINI ( 1980, p.54)Faça o balanceamento das reações:

a)HF + SiO2 →SiF4+H2O ( dissolução do vidro em HF)

SOLUÇÃO :

xHF + ySiO2 →zSiF4+tH2O

equações do balanceamento da reação química

H: x =2t

F: x=4z

Si: y =z

O: 2y =t

4) LEON (2011, p.17) FLUXO DE TRÁFEGO. Em uma regiao central de certa cidade, dois

conjuntos de ruas mão única se interceptam conforme figura seguir . O volume de trafego

* em cada intersecção, o numero de automóveis entrando deve ser o mesmo que o numero

saindo.

x1+450=x2+610 ( intersecção A)

x2+520=x3+480 ( intersecção B)

x3+390=x4+600 ( intersecção C)

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450 310

A D610 x1 640

x4x2

520 B x3 C 600

520 x3

480 390

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x4+640=x1+310 ( intersecção D)

• em seguida resolver o sistema linear.

• RESPOSTA: [k+330;k+170;k+210;k]T

5) LEON (2011, p.24) FLUXO DE TRÁFEGO.Em uma regiao central de certa cidade, dois

conjuntos de ruas mao única se interceptam conforme figura seguir . O volume de tráfego:

resposta: x1=280 x2=230 x3=350 x4=590

LEIS DE KIRCHHOF

LEON(2011, p.18)

1. em qualquer nó , a soma das correntes entrando é igual a soma das correntes saindo.

2. Ao longo de qualquer malha fechada, a soma algebrica de todos os ganhos de tensão deve

ser igual a soma algebrica de todas as quedas de tensão.

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380 x4

430 A x1 D 450

x2420

400540 B x3 C

420 470

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6)LEON(2011, p.18)

As quedas de tensao E cada resistor são dadas pela lei de Ohm, E=iR onde i representa a

corrente em ampéres e R a resistencia em ohms.

Solução : primeira lei i1+i3=i2 ( nó A)

i2=i1+i3 ( nó B)

segunda lei 4i1 +2i2=8 malha superior

2i2 +(2+3)i3=9 malha inferior

resposta: i1=1 i2=2 i3=1

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7) LEON( 2011, p.25)

a) solução : (nó A) i1+i3=i2

( nó B) i2=i1+i3

2i1 +2i2=16

2i2 +3i3=0 resposta:[ 5;3;-2]

b) solução ( no A) i2=i1+i3

( no B) i2=i1+i3

2i1+ 4i2=20

4i2+2i3=20

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c) solução : (nó A) i1+i3==i2

( nó B) i1+i4=i2

( nó C) i3+i6=i5

( nó D) i5=i4+i6

malha superior 2i2+4i1=8

malha 2i2+4i5=0

malha inferior 4i5 +5i6=10

resposta: (2,0,-2,-2,0,2)

8) BARROSO(1987, p.37), determinar o vetor solução dos sistemas lineares através do

método de Eliminação de Gauss: 4 casas

a)

2x13x2x3−x4=6,9−x1 x2−4x3x4=−6,6

x1 x2x3x4=10,24x1−5x2x3−2x4=−12,3

solução exata do sistema

[−1 1 −4 1 −6,62 3 1 −1 6,91 1 1 1 10,24 −5 1 −2 −12,3

] pivo:-1 operações: 2L1+L2 ; 1*L1+L3 ; 4L1+ L4

[−1 1 −4 1 −6,60 5 −7 1 −6,30 2 −3 2 3,60 −1 −15 2 −38,7

] permutando L2 e L4

[−1 1 −4 1 −6,60 −1 −15 2 −38,70 2 −3 2 3,60 5 −7 1 −6,3

] pivo: -1 operações: 2L2+L3 ; 5*L2+L4

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[−1 1 −4 1 −6,60 −1 −15 2 −38,70 0 −33 6 −73,80 0 −82 11 −199,8

] pivo : -33 -2,4848*L3+ L4

[−1 1 −4 1 −6,60 −1 −15 2 −38,70 0 −33 6 −73,80 0 0 −3,9088 −16,4218

]x4=4,2012 x3=3,0002 x2=2,0994 x1=0,8998

b̃=[6,8968−6,6

10,2006−12,3

] resíduo=[0,0032

0−0,0006

0]

* todos os resíduos menores que 10-2

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b) PIVOTAMENTO PARCIAL

2.2 PIVOTAMENTO PARCIAL

2.2.1 Estratégias De Pivotamento

2.2.1.1 Pivotação parcial

▪ CLAUDIO(1989, p.76-79) , é o mesmo que algoritmo de Gauss, com um troca

de linhas sistemáticas, de modo a minimizar os erros de arredondamento.

▪ A escolha dos pivôs é feita da seguinte maneira:

1. é o elemento de maior valor absoluto na coluna 1

2. é o elemento de maior valor absoluto na coluna 2 da matriz-resto.

* outra variante técnica do pivotamento parcial é tornar os pivos unitários visando diminuir o

erro de arredondamento.

2.2.1.2 GILAT ( 2008, p. 124) Potenciais dificuldades encontradas com a aplicação do método

de eliminação de Gaus

a) o elemento pivo é igual a zero

• se o valor do pivo for igual a zero pode ser corrigido com a mudança da ordem das

linhas ( outro pivo diferente de zero) chamado de pivotação.

b)o elemento pivo é pequeno em relação aos demais termos da linha pivo.

• Ocorre erros de arredondamento significativos.

9) Seja o sistema linear SPF( 10,4,-10,10) :

0,0003x1 + 12,34x2=12,343

0,4321x1 +x2=5,321

soluçao exata: X=[101 ]

solução: [0,0003 12,34 12,3430,4321 1 5,321 ]

* usando notação de ponto flutuante o numero 12,343= 0,12343*102= 0,1234*102=12,34

[0,0003 12,34 12,340,4321 1 5,321]

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usando a eliminação de Gauss.

m1=-0,4321/0,0003=-1440,3333=0,14403333*104 =-1440 ( SPF(10,4,-10,10)

• -1440*12,34+1=-17768,6=-0,177686*105=0,1777*105=-17770

• -1440*12,34+5,321=-17764,279=-0,1776*105=-17760

[0,0003 12,34 12,340 −17770 −17760] x2=0,9994

operação realizada :m1*L1+L2

primeira linha

0,0003*x1+12,34*x2=12,34

0,0003*x1+12,34*0,9994=12,34

0,0003*x1+12,33=12,34

x1=33,33

Aplicando o pivotamento parcial

[0,4321 1 5,3210,0003 12,34 12,34] m1=0,0003/0,4321=0,0006943=0,6943*10-3

[0,4321 1 5,3210 12,34 12,34]

x2=1 x1=10

10) FRANCO( 2009, p.146-147) Através do método de eliminação de Gauss, resolver o

sistema linear:

0,0001x1+ x2=1

x1+x2=2

usando em todas as operações com tres digitos significativos.

X=[0;1]

solução :

[0,0001 1 11 1 2]

[0,0001 1 10 −9999 −9998] m1=-10000

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x2=1 e x1=0

11) Resolver pelo pivoteamento parcial

resposta: x=[1;1]

[ 1 1 20,0001 1 1] m1=-0,0001 [1 1 2

0 1 1] x1=1 x2=1

2.3.1 Exercicios

12) CLAUDIO (1987, p.89) Resolva o sistema linear com pivoteamento parcial usando 5

casas após a virgula:

2,4759 x1 +1,6235x2+4,6231x3=0,0647

1,4725 x1+ 0,9589x2-1,3253x3=1,0473

2,6951x1+2,8965x2-1,4794x3=-0,6789

[2,6951 2,8965 −1,4794 −0,67890 −0,62363 −0,51702 1,418220 −1,03743 5,98218 0,68839 ]

m1=-0,54636 m2=-0,91867

m1*L1+L2

m2*L1+L3

[2,6951 2,8965 −1,4794 −0,67890 −1,03743 5,98218 0,688390 0 −4,11309 1,00441 ]

m3=-0,60113

m3*L2+L3

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X=[ 1,84056−2,07169−0,24420] b̃=[

0,064691,04732−0,67889] b−b̃=resíduo=r=[

0,00001−0,00002−0,00001]

para calcular b̃ faz-se a substituição do X no sistema de equações.

13) BARROSO (1987, p.37) ,determinar o vetor solução dos sistemas lineares através do

método da Pivotação parcial. * 4 casas após a virgula

a)

2x13x2x3−x4=6,9−x1 x2−4x3x4=−6,6

x1 x2x3x4=10,24x1−5x2x3−2x4=−12,3

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c) PIVOTAMENTO TOTAL OU COMPLETO

2.3 PIVOTAMENTO TOTAL OU COMPLETO

• Em sistema linear escolhe o elemento de maior módulo e não pertencente à coluna dos

termos independentes.

• Quando ocorre um pivo nulo deve-se efetuar uma troca de linhas para escolher um

pivo não nulo.

• Outra maneira de se evitar o pivo nulo é usar o método da pivotação completa.

• Esta pivotação minimiza a ampliação dos erros de arredondamento durante as

eliminação, sendo recomendado na resolução de sistemas lineares de maior porte.

BARROSO(1987, p.40).

14) BARROSO (1987, p.37) ,determinar o vetor solução dos sistemas lineares através do

método da Pivotação Completa : 4 casas após a virgula

a)

2x1+3x2+ x3− x4=6,9−x1+x2−4x3+ x4=−6,6

x1+ x2+ x3+x4=10,24x1−5x2+ x3−2x4=−12,3

SOLUÇAO:

permutou a L1 com L4

4 −5 1 −2 −12,3−1 1 −4 1 −6,61 1 1 1 10,22 3 1 −1 6,9

pivo: -5

0,2*L1+L2

0,2*L1+L3

0,6*L1+L4

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4 −5 1 −2 −12,3−0,2 0 −3,8 0,6 −9,061,8 0 1,2 0,6 7,744,4 0 1,6 −2,2 −0,48

pivo: 4,4

permutou a L4 com L2

4 −5 1 −2 −12,34,4 0 1,6 −2,2 −0,481,8 0 1,2 0,6 7,74−0,2 0 −3,8 0,6 −9,06

operações L2 ~ L3 ; L2~L4

-0,4091*L2+L3 0,0455*L2+L4

4 −5 1 −2 −12,34,4 0 1,6 −2,2 −0,480 0 0,5454 1,5 7,93640 0 −3,7272 0,5 −9,0818

pivo: -3,7272 0,1463*L3+L4

permutar L4 ~L3

1,5731 x4=6,6077

VETOR SOLUÇAO: X=[0,9002

2,13

4,2004]

b̃=[6,9

−6,599810,2005−12,3

] resíduo=[0

−0,0002−0,0005

0]

* todos os resíduos menores que 10-3

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b)

4x13x22x3 x4=10x12x23x34x4=5x1−x2−x3−x4=−1x1x2x3 x4=3

4 3 2 1 10

0 1,25 2,5 3,75 2,5

0 -1,75 -1,5 -1,25 -3,5

0 0,25 0,5 0,75 0,5Pivo: 4

4 3 2 1 10

0 1,25 2,5 3,75 2,5

0 -1,3333 -0,6667 0 -2,6667

0 0 0 0 0Pivo:3,75 Pivo: -0,6667

primeira equação :

4*x1+3*x2+2*x3+1*x4=10

isolando a variável do pivo

x1=10−x4−2∗x3−3∗x2

4

segunda equação

1,25*x2+2,5*x3+3,75*x4=2,5

isolando a variável do pivo

x 4=2,5−1,25∗x 2−2,5∗x3

3,75

terceira equação

-1,3333*x2-0,6667*x3=-2,6667

isolando a variável do pivo

x2=−2,6667+0,6667∗x 3

−1,3333

quarta equação

0x3=0 (variável livre- aparece em todas as equações)

x3=λ

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15) BARROSO( 1987, p.41) Resolver o sistema linear , usando 5 casas após a vírgula:

0,8754 x1+3,0081 x2+0,9358 x3+1,1083 x4=0,84722,4579 x1−0,8758 x2+1,1516 x3−4,5148 x4=1,12215,2350 x1−0,8473 x2−2,3582 x3+1,1419 x4=2,5078

2,1015 x1+8,1083 x2−1,3232 x3+2,1548 x4=−6,4984

resposta: X=[1;-1;2;1]T

i) pivotamento total ii) pivotamento parcial iii) eliminação de Gauss

d) FATORIZAÇÃO LU

2.4 FATORIZAÇÃO LU

• Para KOLMAN (1999, p.443), uma matriz é decomposta como um produto de uma

matriz triangular inferior com uma matriz triangular superior.

• Esta decomposição leva o algoritmo para resolver um sistema linear Ax=b.

• A popularidade deste método faz com que forneça uma maneira mais “ barata” de

resolver um sistema linear quando se faz uma mudança no vetor b de Ax=b.

• A decomposição para resolver o sistema linear , onde U e´ a matriz triangular superior

e L e´ uma matriz triangular inferior.

• A matriz U e´ resolvida sem colocar a matriz aumentada [ U: b], e possuem todos os

elementos diagonais diferentes de zero.

• A solução é obtida de baixo para cima. Para a construção da matriz L, coloca-se na

diagonal principal iguais a 1.

• Colocar na primeira coluna L1 , respectiva os multiplicadores com sinal trocado e

assim por diante.

• Suponha que uma matriz A n x n pode ser escrita com um produto de uma matriz

triangular inferior L com uma matriz triangular superior U, ou seja : A=LU.

• Entåo diz-se que A tem uma fatorização LU ou decomposição LU.

• Substituindo A=LU, no sistema Ax=b, escreve-se (LU)x=b. Fazendo Ux=z , então essa

equação matricial fica escrita Lz=b.

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Segundo BURDEN (2003, p.339-341), esta fatoração e´ chamada de método de Doolitle e

requer que valores iguais a 1 estejam na diagonal de L.

Então as matrizes L e U podem ser escritas:

Para LAY (1999, p.125) , existem matrizes unidades triangulares inferiores E1...Ep tais que:

E p ... E1∗A=U

A=(E p... E3 .E 2. E1)−1∗U ou L=E1

−1∗E2−1∗E3

−1 ... EP−1

A=L*U

O método de Crout requer valores iguais a 1 estejam na diagonal de U Seja Ax=b

fonte:http://www.monografias.com/trabajos92/factorizacion-matrices/image023.png

• A=Lc*Uc

• A matriz Lc (matriz triangular inferior) possui diagonal principal diferente de zero e

diferente de 1 e é obtida da seguinte maneira:

• Lc=L*D ( as matrizes L e D são obtidas da fatoração LU, onde D é matriz diagonal

da matriz U) , esta matriz Lc é triangular inferior.

• Para obter a matriz triangular superior UC do método de Crout , divide cada linha

matriz U ( fatoração LU ) pelos elementos da diagonal principal.

• Então pode- se escrever :A=Lc*Uc

• ou a matriz pode ser fatorada na forma de:

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• A=L*D*Uc= Lc*UC

• L= matriz triangular inferior com diagonal igual a 1 da fatoração LU

• D= matriz diagonal de U

• UC= matriz triangular superior com diagonal principal igual a 1.

O esforço computacional

CUNHA(2009, p.34) , em um sistema triangular requer n2 operações.

• Para eliminação de Gauss requer 2n3

3+

3n2

2−

7n6

e para n grande 2n3

3• Na fatoração LU tem dois sistemas triangulares portanto requer 2n2 operações.

ALGORITMO DA FATORIZAÇÃO LU DOOLITLE

Os elementos da matriz L são os aij e os de U são os uij .

fonte: http://MetodosNumericoseEstatisticos/MNEaula04.ppt

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2;,,1

1

,,2

2;,,

,,1

1

1

11

11

1

1

11

knkj

uau

nju

a

jnjkuau

nkau

k

iikjijk

kkjk

jj

j

iikjijkjk

kk

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2.4.1 EXERCICIOS

16)BURDEN( 2003, p.340), seja o sistema linear

x1 x23x4=42x1x2− x3x 4=1

3x1−x2−x32x4=−3−x12x23x3−x 4=4

U=[1 1 0 30 −1 −1 −50 0 3 130 0 0 −13

] L=[1 0 0 02 1 0 03 4 1 0−1 −3 0 1

]RESPOSTA: [ -1;2;0;1]T

17) BURDEN (2003, p.345) Resolver o seguinte sistema linear pelas seguintes fatorações:

2x1−x2+ x3=−13x1+ 3x2+ 9x3=03x1+ 3x2+ 5x3=0

i) Doolitle

solução 1:

passo1: eliminação de Gauss

A=[2 −1 13 3 93 3 5 ] U=[2 −1 1

0 4,5 7,50 4,5 3,5] U=[2 −1 1

0 4,5 7,50 0 −4 ] L=[ 1 0 0

1,5 1 01,5 1 1 ]

operações

m1=-3/2=-1,5 m1*L1+L2

m2=-3/2=-1,5 m2*L1+L3

m3=-4,5/4,5=-1 m3*L2+L3

passo 2: Ux=z e Lz=b

resposta: Z=[-1;1,5;0] X=[-1/3;1/3;0]

solução 2:

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L=[1 0 0

L21 1 0L31 L32 1 ] U=[

u11 u12 u13

0 u22 u23

0 0 u33] A=[2 −1 1

3 3 93 3 5]

ii) Crout

A=LDLc

a matriz Lc é obtida atraves da matriz U=[2 −1 10 4,5 7,50 0 −4 ] , dividindo cada linha pelo

elemento de cada diagonal, U c=[22

−12

12

04,54,5

7,54,5

0 0−4−4

] U c=[1 −0,5 0,50 1 5/30 0 1 ]

AC=[ 1 0 01,5 1 01,5 1 1 ][

2 0 00 4,5 00 0 −4] [

1 −0,5 0,50 1 5 /30 0 1 ]

L*D= L=[ 1 0 01,5 1 01,5 1 1 ][

2 0 00 4,5 00 0 −4]

= A=[2 0 03 4,5 03 4.5 −4] [

1 −0,5 0,50 1 5 /30 0 1 ]

A=(L*D) *Uc

iii) solução pela fatoração LU

Lz=b e Ux=z

resposta: Z=[-0,5;1/3;0] X=[-1/3;1/3;0]

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18) KOLMANN (1999, p.448) , resolver os sistemas lineares Ax=b pelas seguinte fatorações:

i) Doolitle ii) Crout

a) A=[ 2 3 4;4 5 10;4 8 2] b=[6;16;2]

solução

i) fatoração LU - doolitle

U=[2 3 40 −1 20 0 −2] L=[1 0 0

2 1 02 −2 1]

ii) crout

L=[1 0 02 1 02 −2 1] D=[2 0 0

0 −1 00 0 −2]

Lc=L∗D=[2 0 04 −1 04 2 −2]

• Na matriz Uc é obtida atraves da matriz U e para obter a diagonal principal 1 é preciso

dividir cada linha pelo elemento da diagonal principal.

U c=[22

32

42

0−1−1

2−1

0 0−2−2

] U c=[132

2

0 1 −20 0 1

] , então matriz A pode ser fatorada da seguinte

maneira:

Lc=L∗D=[2 0 04 −1 04 2 −2] U c=[1

32

2

0 1 −20 0 1

] , A=Lc*Uc ou pode ser decomposta na

forma : A=L*D* Uc

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L=[1 0 02 1 02 −2 1] D=[2 0 0

0 −1 00 0 −2] U c=[1

32

2

0 1 −20 0 1

]iii) solução do sistema linear pela fatoração LU.

• Lz=b

L=[1 0 02 1 02 −2 1] b=[

6162 ]

resposta : z=[ 64−2]

Ux=z

U=[2 3 40 −1 20 0 −2] z=[ 6

4−2]

x=[ 4−21 ]

iv) solução do sistema pelo método de Crout

• Lc*z=b

Lc=[2 0 04 −1 04 2 −2] b=[ 6

162 ]

resposta: Z=[ 3−41 ]

• Uc=Z

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U c=[132

2

0 1 −20 0 1

] Z=[ 3−41 ]

resposta: X=[ 4−21 ]

b) A=[ 2 8 0;2 2 -3;1 2 7] b=[18;3;12]

c)A=[ -3 1 -2;-12 10 -6; 15 13 12] b=[15;82;-5]

19)FRANCO (2009, p.128) Aplicando-se a fatoração LU A=[... ... 3 ...4 −1 10 8... −3 12 110 −2 −5 10

] obteve-se

as matrizes L=[... ... ... ...2 ... ... ...3 0 ... ..... ... 1 ...

] U=[... −1 ... 50 1 ... −2... 0 3 −40 ... 0 10

] . Preencher os espaços

pontilhados, usando o método de Doolitle.

Respostas: A=[ a11=2 a12=-1 a13=5 a31=6 ] L= diagonal principal igual a 1 , L31=0

L32=-2 ] U= [ u11=2 u12 =-1 u13=3 u23=4 ]

KOLMAN(1998, p.244) diagonalização de matrizes: B=P−1∗A∗P

A= matriz primitiva

P=autovetores

B=resulta na diagonal os autovalores

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e) FATORAÇÃO DE CHOLESKY ou DECOMPOSIÇAO DE CHOLESKY

2.5 FATORAÇÃO DE CHOLESKY ou DECOMPOSIÇAO DE CHOLESKY

• Em BURDEN (2003, p.349), o método de Cholesky, que requer que lii =uii para cada i.

• A matriz definida positiva é chamada definida positiva simétrica.

• Em PERESSINI (1988), a fatoração LLT resolve um sistema linear Ax=b onde U= LT

é uma matriz triangular superior com os elementos da diagonal positivos.

• Condição para uma matriz ser definida positiva de tamanho n xn:

• a) aii>0 para cada i=1,2,...,n

• b) xTAx>0 para todo vetor n-dimensional.

• c)determinante matrizes condutoras ou submatrizes são positivas.

• d) na eliminação de Gauss sem intercambio de linhas todos os pivôs positivos.

• Matriz nxn A e chamada de estritamente em diagonal quando

• é valido para cada i=1,2,...,n BURDEN (2003, p.346).

• KOLMANN(1998, p.399) uma matriz simétrica A é positica definida se e somente se

todos os autovalores são posítivos.

• A matriz L na fatorizaçao de Cholesky da matriz definida positiva pode ser calculada

pela seguinte matriz equação A=LLT.

[l11 ....

l 21l 22 ........

ln1 ln2 ... l nn] [

l11l 21 ... ln1

... l22 ... l n2

........l nn

] =A=L*LT

Para resolver o sistema Ax=b faz-se:

Lz=b e Lty=z

ou pode ser fatorada a matriz simétrica definida positiva conforme RUGGIERO ( 1996,p.147)

• A=GGT

• A=LU

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• A=LDLT

• U=DLT

D=√D diagonal da matriz U

A=(L∗D)∗(D∗LT) sendo G=L∗D A=GGT

2.5.1 Exercicios

20)BURDEN (2003, p.352-357)

a) Fatores a matriz A=(4 −1 1−1 4,25 2,751 2,75 3,5 ) pelos seguintes métodos :

i) doolitle ii) crout iii) cholesky

solução 1: doolitle

L=(1 0 0

−0,25 1 00,25 0,75 1) U=(

4 −1 10 4 30 0 1)

a diagonal principal :4.4,1 são autovalores da matriz U

solução 2: crout

Lc=L*D Uc= dividir cada linha pelo elemento da diagonal principal

(1 0 0

−0,25 1 00,25 0,75 1)(

4 0 00 4 00 0 1)(

4 /4 −1/4 1/40 4/ 4 3/40 0 1/1)

Lcrout=[4 0 0−1 4 01 3 1] U crout=[

1 −1 /4 1/40 1 3/40 0 1 ]

* Lcrout=U doolitle * matriz simétrica

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solução 3: cholesky

A matriz LDLT:

(1 0 0

−0,25 1 00,25 0,75 1)(

4 0 00 4 00 0 1)(

1 −0,25 0,250 1 0,750 0 1 )

* calcular a raiz quadrada da diagonal principal da matriz U ( doolitle)

(1 0 0

−0,25 1 00,25 0,75 1)(

√4 0 00 √4 00 0 √1)(

1 −0,25 0,250 1 0,750 0 1 )

(1 0 0

−0,25 1 00,25 0,75 1)(

√4 0 00 √4 00 0 √1)

G=(2 0 0

−0,5 1 00,5 1,5 1)

conclusão:

G=(2 0 0

−0,5 2 00,5 1,5 1) Gt

=(2 −0,5 0,50 2 1,50 0 1 ) A=(

4 −1 1−1 4,25 2,751 2,75 3,5 )

produto :G*Gt =A

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b) Mostrar que a matriz simétrica é definida positiva.

A=(2 −1 0−1 2 −10 −1 2 )

Dica: calcular os determinantes das submatrizes

c) Considere as matrizes A=

7 2 03 5 −10 5 −6

eB=

6 4 −34 −2 0−3 0 1

, mostre que é possível ou

não fatorar pela decomposição de Cholesky.

21) Resolva os sistemas lineares pela fatorações

i) doolitle ii) crout iii) cholesky

a) 2x1 –x2 =3

-x1 +2x2 –x3=-3

-x2 +2x3=1

b)

4x1 +x2 +x3+x4=0,65

x1 +3x2 –x3 +x4=0,05

x1- x2 +2x3 =0

x1+x2 + 2x4 =0,5

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22) FRANCO (2009,p.145) Aplicando-se o processo de Cholesky a matriz A, obteve-se :

A=[... 2 ... ...... 8 10 −83 10 14 −5... −8 ... 29

] =L*Lt onde L=[

1 ... ... ...2 ... ... ...... 2 1 ...0 −4 ... 2

] Preencher os espaços

pontilhados com valores adequados.

23) FRANCO (2009,p.159) Relacione os sistemas lineares :

I ) 3x2+ 2x3=5

x1+ 4x2+ x3=62x2+ 5x3=7

resposta: X=[111]

II) −2x1+ 2x2=−1x1+ 3x2− x3=3−x 2+ 2x3=1

resposta: X=[ 1,3570,85720,9286]

III) x1+ 2x2+ x3=4

2x1+ 6x2=8x1+ 4x3=5

resposta: Z=[401 ] X=[

111]

e resolva pela eliminação de Gauss ou decomposição de Cholesky.

24) Dada a matriz A=[2 1 −11 10 2−1 2 4 ] calcular A-1 utilizando o processo de Cholesky.

25) BURDEN( 2003,p.358) Encontre α de modo que A=[ α 1 −11 2 1−1 1 4 ] seja definida

positiva.

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f) MÉTODOS ITERATIVOS

2.6 TECNICAS ITERATIVAS PARA SOLUCIONAR SISTEMAS LINEARES

• Para BURDEN (2003, p.381), os métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel

surgiram no final do século XVIII.

• Estas técnicas são raramente utilizadas para solucionar sistemas lineares de pequenas

dimensões.

• Em sistemas grandes, com uma grande porcentagem de entradas zero, essas técnicas

são eficientes em termos tanto de calculo como de armazenamento.

• São sistemas que surgem na analise de circuitos e na solução numérica de problemas

de valor limite e equações diferenciais parciais.

• Esta técnica iterativa para resolver sistemas linear nxn Ax=b começa com um

aproximação inicial x(o) para a solução x e gera uma seqüência de vetores xK para k

=0 até ꝏ(infinito) , que converge para x.

• O sistema Ax=b e convertido em um sistema equivalente na forma x=Tx+c para

alguma matriz T e algum vetor c fixos.

• Quando o vetor inicial xo ter sido selecionado, a seqüência de vetores para aproximar

a solução ‘e gerada calculando-se:

xk=Txk−1

c para cada k=1,2,3...

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g) MÉTODO DE JACOBI

2.6.1 Metodo Iterativo de Jacobi

BURDEN(2003, p.383)

• A equação Ax=b ou (D-L-U)x=b , é transformada em Dx=(L+U)x+b, isolando x,

tem-se :

x=D−1LU xD−1 b para D matriz não singular.

• Resulta na forma matricial da técnica iterativa de Jacobi:

xk+1=D−1

(L+U ) x(k)+D−1 b para k=0,1,2,...

Introduzindo a notação T j=D−1LU e c j=D−1 b , então a técnica iterativa de Jacobi

passa a ter a forma xk+1=Txk+c

Critério de interrupção de Passo:

∥x k−xk−1∥∥xk∥

tol ( tol=tolerância)

Para BARROSO (1987, p.52), continua-se a gerar aproximações até que um dos critérios seja

satisfeito:

max∣xk1− xk∣tol

ou k>M , M=numero maximo de iterações.

Nota: a tolerância (Epsílon) fixa o grau de precisão das soluções.

2.6.1.1Criterio de Convergencia para o Método de Jacobi

a) BARRROSO (1989,p.67) Criterio das Linhas: é condição suficiente para que a iteração

convirja, que:

∣a ii∣> ∑j=1 e j≠i

n

∣aij∣ para i=1,2,..n

b) Criterio das colunas:é condição suficiente para que a iteração convirja, que:

∣a jj∣> ∑i=1ei≠ j

n

∣aij∣

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Na pratica são usados criterios de suficiencia de convergência tanto para o metodo de Jacobi

e Gauss-Seidel.

Este Criterio de convergência para o metodo de Jacobi converge testanto se a matriz dos

coeficientes é estritamente diagonalmente dominante.FRANCO (2009, p.173)

26)O Sistema linear Ax=b dado por

10x1 –x2 +2x3=6

-x1 +11x2 –x3+3x4=25

2x1-x2+10x3-x4=-11

3x2-x3+8x4=15

resolva pelo método de Jacobi.

X o [0000] , e o critério de parada ϵ<10−3

solução:

isolar cada variável x1,x2,x3,x4 e encontrar as equações e compor a matriz T com

a diagonal igual a zero.

xk=Txk−1

c

Construir uma tabela para x1,x2,x3 e x4

Usar o vetor inicial nulo.

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Sintaxe: E(ABS(C5-C4)<10^-3;ABS(D5-D4)<10^-3;ABS(E5-E4)<10^-3;ABS(F5-F4)<10^-3)

2.6.1.2 Exercicios

27) Obtenha as 4 primeiras iterações do método de Jacobi para os seguintes sistemas lineares,

usando xo=0.

a)3x1-x2+x3=1

3x1+6x2+2x3=0

3x1+3x2+7x3=4

28) Resolva o seguinte sistema linear :

a) [1 0 02 1 0−1 0 1 ][

2 3 −10 −2 10 0 3 ] [

x1x2x3]=[

2−11 ]

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k x1 x2 x3 x40 0 0 0 01 0,6000 2,2727 -1,1000 1,8750 FALSO2 1,0473 1,7159 -0,8052 0,8852 FALSO3 0,9326 2,0533 -1,0493 1,1309 FALSO4 1,0152 1,9537 -0,9681 0,9738 FALSO5 0,9890 2,0114 -1,0103 1,0214 FALSO6 1,0032 1,9922 -0,9945 0,9944 FALSO7 0,9981 2,0023 -1,0020 1,0036 FALSO8 1,0006 1,9987 -0,9990 0,9989 FALSO9 0,9997 2,0004 -1,0004 1,0006 FALSO

10 1,0001 1,9998 -0,9998 0,9998 VERDADEIRO

criterio de parada

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h) MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

2..6.2 Método Iterativo de Gauss-Seidel

• A forma matricial do método de Gauss-Seidel é:

(D-L)xk=Uxk-1+b

Isolando xk tem-se:

xk= (D-L)-1Uxk-1+(D-L)-1b

• Em LAY (1999),uma matriz A, nxn é chamada de estritamente dominante se o modulo

de cada elemento da diagonal principal é maior que a soma dos módulos dos outros

elementos da sua linha.

• A velocidade de convergência depende do quanto os elementos da diagonal principal

dominam as somas de linhas correspondentes.

2.6.2.1 Criterio de Convergência para o Método de Gauss-Seidel.

FRANCO ( 2009,p.177-178) , o metodo de Gauss-Seidel converge se :

a) criterio de Sassenfeld for satisfeito :

max1in

i1 onde os Βi=αs são calculados por recorrencia através de :

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fonte:http://www.ctec.ufal.br/professor/enl/metnum/condicao_para_convergencia.htm

nn - ordem do sistema linear que se deseja resolver

aij - coeficientes das equações do sistema

Este critério garante que o método de Gauss-Seidel convergirá para um dado SEL se a

quantidade M, definida por:

M= max1≤i≤n

βi for menor que 11 (M<1M<1).

29) O sistema linear dado

10x1 –x2 +2x3=6

-x1 +11x2 –x3+3x4=25

2x1-x2+10x3-x4=-11

3x2-x3+8x4=15

resolva pelo metodo de Gauss-Seidel.

Solução:

30)Mostre que o método de Gauss-Seidel gera uma seqüência que converge para a solução do

seguinte sistema, desde que as equações estejam devidamente arrumadas:

x1-3x2+x3=-2

-6x1+4x2+11x3=1

5x1-2x2-2x3=9

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k x1 x2 x3 x4 criterio de parada0 0 0 0 01 0,6000 2,3273 -0,9873 0,8789 FALSO2 1,0302 2,0369 -1,0145 0,9843 FALSO3 1,0066 2,0036 -1,0025 0,9984 FALSO4 1,0009 2,0003 -1,0003 0,9998 FALSO5 1,0001 2,0001 -1,0002 0,9998 VERDADEIRO

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2.6.3 Exercicios

31) FRANCO (2008, p.194) Considere cada um dos seguintes sistemas lineares :

I)3x1−3x27x3=18

x16x2− x3=1010x1−2x27x3=27

II)x12x25x3=20x13x2x3=10

4x1x22x3=12

a) sem rearranjar as equações, tente achar as soluções iterativamente, usando os métodos de

Jacobi e Gauss-Seidel, começando com xo=1,001 ,2,01,3 ,01t .

b) rearranje as equações de tal modo que satisfaçam os critérios de convergência e repita o

que foi feito no item (a).

c)verifique suas soluções nas equações originais.

i) NOÇÕES DE MAL CONDICIONAMENTO

2.7 NOÇÕES DE MAL CONDICIONAMENTO

• BARROSO ( 1987, p.74), para avaliar a precisão da solução x do sistema Ax=b, o

resíduo r=b−A∗x̂ , onde x̂ é a solução computada.

• Se x for uma boa aproximação para x , é esperado que as componentes de r seja

valores pequenos.

• Valores pequenos para as componentes do resíduo podem não indicar que x seja

uma boa aproximação para x.

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32) a) Seja o sistema linear

x1+ 1,001x2=2,001

0,999x1+ x2=1,999

• a solução exata do sistema [ 1;1] r=[0;0]

• para x =[2; 0,001] o resíduo r=[-0,00001; 0]

b)x1+ 1,001x2=2

0,999x1+ x2=1,999

solução: [-999;1000] resíduo=[0;0]

*o sistema é mal condicionado

c) Seja o sistema linear:

0,992x + 0,873y=0,119

0,481x+0,421y=0,060 solução :[1,-1]T

d) 0,992 x +0,873y=0,12 ( valor perturbado)

0,481x+0,421y=0,060

solução:[0,8154 ; -0,7891]

e) Uma matriz mal condicionada é a matriz de Hilbert.

Aij=1

i j−1

Um modo de se detetar o mal condicionamento é através do determinante normalizado da

matriz dos coeficientes do sistema dado; se o determinante normalizado for sensivelmente

menor que a unidade, o sistema será mal condicionado.

Se A é uma matriz de ordem n , seu determinante normalizado, denotado por det(Norm A) é

dado por :

det norm A=det A12 ...n

onde =i ,12i ,2

2i ,n

2

2.7.1 Norma Matricial

Segundo FRANCO (2008, p.16-17) , seja A uma matriz (nxn) . Define-se:

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∥A∥∞ = máx1in∑j=1

n

∣aij∣ ( norma linha)

2.7.1.1 Exercicios

33) Considere as matrizes A=[2 13 2] , B=[

3 2 12 2 13 3 2] C=[

2 1 3 −14 3 8 26 7 10 13 −1 0 1

] , calcule

∥A∥∞ ∥B∥∞ ∥C∥∞ .

34)BURDEN (2003, p.372),seja a a matriz A=[1 2 1;0 3 -1;5 -1 1] calcule a ∥A∥∞ .

35)Seja o sistema linear x1+2x2+3x3=1

2x1+3x2 +4x3=-1

3x1+4x2+6x3=2

sendo dado X=[0 ;−7 ;5]T solução geral e X=[−0,33 ;−7,9 ;5,8]T solução aproximada

calcule : ∥X− X∥∞e∥A X−b∥∞ Respostas: 0,9 e 0,27.

• Para CLAUDIO (1989, p.79-84), seja um sistema sistema linear Ax=y e os vetores

soluções x1 e x2 duas aproximações exata para x.

• Qual das aproximações é melhor?

• Uma forma trivial seria calcular os resíduos dados por r1=y-Ax1 e r2=y-Ax2.

36)Seja o sistema linear:

0,24x+0,36y+,12z=0,84

0,12x+0,16y+0,24z=0,52

0,15x+0,21y+0,25z=0,64

e sejam x1=[25,-14,-1]T e x2=[-3,4,0]T

Os resíduos são :

[ 0 0 0,08] e [0,12 0,24 0,25]

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A solução exata : [-3,4,1]T , embora modulo r1 < modulo de r2, a solução de x2 é melhor que

x1.

Conclusão:

Nem sempre a aproximação de menor resíduo é a melhor ou mais exata.

Um problema é dito mal condicionado se pequenas alterações nos dados de entrada

ocasionam grandes erros no resultado final.

Quando o sistema linear é 2x2 é fácil de verificar ( construção das retas) , mas quando

aumenta o tamanho do sistema é preciso um meio de medir este condicionamento.

Seja o sistema linear Ax=b e o sistema linear com alguma perturbação Ax=b’ . Então a

solução Ax=b’ é x’ .

Qual é a modificação em x , sabendo que b foi alterado para b’ .

Ax=b

A(x-x’)=b-b’

(x-x’)=A-1(b-b’)

Aplicando a norma de vetores, indicada por uma barra e a norma de matrizes indicada por

duas barras ∥.∥∞ .

Aplicando uma propriedade de norma de matrizes:

∣x−x '∣≤∥A−1∥∣b−b '∣ (1)

Divindo por |x|:

∣x−x '∣∣x∣

≤∥A−1

∥

∣x∣∣b−b '∣

Pode-se escrever :

∥x∥≤∥A−1∥∥b∥

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1∥x∥

≤∥A∥∣b∣

(2)

Multiplicando as equações (1) e (2) ambos os membros.

∣x−x '∣∣x∣

≤∥A−1∥∥A∥∣b−b '∣∣b∣

valor relativo provocado pela alteração

dos sistema linear de b para b’

fator de

ampliação

valor relativo de perturbação

feita no sistema Ax=b

A definição de condicionamento é dado por:

cond (A)= ||A||* ||A-1||

FRANCO (2008, p.153) o cond (A) será considerado grande quando valer por volta de 10000

ou mais. Então o sistema será mal condicionado.

37)Sejam os sistemas lineares

a) x1+ 1,001x2=2,001

0,999x1+ x2=1,999

b)0,992x + 0,873y=0,119

0,481x+0,421y=0,060

calcule cond (A)= ||A||* ||A-1|| e verifique se os sistemas são mal ou bem condicionado.

38) ARENALES (2008, p.49) Considere o sistema linear :

a) [1 11 1.00001][ x1

x2]=[ 2

2.00001] b) [1 11 1.00001][ x1

x 2]=[ 2

1.9999]resolva-os e calcule o condicionamento das matrizes e escreva se é mal ou bem condicionado.

39) BURDEN ( 2003, p.402) O seguintes sistemas lineares Ax=b tem x como solução real e

x̃ como soluçaõ aproximada. Calcule ∥x− x̃∥∞ ; K (A)∞ ; ∥b−A x̃∥∥A∥∞

a) [3,9 1,66,8 2,9][ x1

x2]=[5,5

9,7] X=[11] X̃=[0,981,1 ]

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b) x1 +2x2 =3

1,0001 x1 +2x2=3,0001

X=[11] X̃=[0,961,02]

J) MATRIZ INVERSA PELA ADJUNTA

. Cálculo da matriz C dos cofatores de A. Seja A, a matriz , então a matriz C dos cofatores

de A é

Cofator Ai,j do elemento a11 (1):

Cofator Ai,j do elemento a12 (3):

Cofator Ai,j do elemento a21 (2):

Cofator Ai,j do elemento a22 (0):

De posse dos valores dos cofatores escrevemos a matriz C dos

cofatores:

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3. Cálculo da matriz Adjunta de A.A matriz adjunta A é a transposta da matriz C dos cofatores, isto

é:

A = Ct

Portanto temos:

4. Cálculo da inversa A-1, pelo teorema

encontrados anteriormente no teorema temos:

Multiplicando pelos elementos da matriz A, obtemos enfim a inversa de A.

fonte:http://www.infoescola.com/matematica/matriz-inversa-inversao-por-matriz-adjunta/

L) USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO

2.8 APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA

• SOLUÇAO NO WXMAXIMA PELO COMANDO TRIANGULARIZE

• INFORMA A MATRIZ MATRIZ AMPLIhADA DO SISTEMA.

(%i4) Matrix([2,3,1,-1,6.9],[-1,1,-4,1,6.6],[1,1,1,1,10.2],[4,-5,1,-2,-12.3])

• LINHA DE COMANDO: triangularize(%i4);

(%o9)matrix([20,30,10,-10,69],[0,-2200,-200,0,-5220],[0,0,-6000,-16500,-87300 [0,0,0,-

322500,-1750500])

*a matriz fica tela em forma de matriz escalonada ou triangularizada.

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* para resolver este sistema linear utilizando o comando TRIANGULARIZE , neste caso

precisa-se de uma calculadora.

EXERCICIO NUMERO 10

SOLUÇÃO 1:WXMÁXIMA

(%i2) algsys([x=2*t, x=4*z, y=z, 2*y=t], [x,y,z,t]);

(%o2) [[x=%r1,y=%r1/4, z=%r1/4,t=%r1/2]]

%r( variável livre que pode ser atribuida como w

t=w/2 z=w/4 y=w/4 x=w

SOLUÇÃO 2 : SCILAB

A=[1 0 0 -2;1 0 -4 0;0 1 -1 0; 0 2 0 -1]

b=[0;0;0;0]

X8=linsolve(A,-b)

* encontra apenas solução nula

disp('comando RREF ')

disp('matriz ampliada do sistema')

Ab8=[A8,b8]

disp('forma escada ')

X81=rref(Ab8)

[1 0 0 −2 00 1 0 −0,5 00 0 1 −0,5 00 0 0 0 0

]* a partir desta matriz na forma escada tem que resolver a mão este sistema linear.

SOLUÇÃO 1 : SCILAB COMANDO : linsolve

A=[ 2 -1 3;4 -3 2;1 1 1; 3 1 1]

b=[11;0;6;4]

X=linsolve(A,-b)

SOLUÇÃO 2 : SCILAB COMANDO : RREF

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disp('comando RREF ')

disp('matriz ampliada do sistema')

Ab=[A,b]

disp('forma escada ')

X2=rref(Ab)

SOLUÇÃO 3 : WXMÁXIMA

COMANDOS: EQUAÇÕES/SISTEMAS LINEARES /NUMERO DE EQUAÇÕES/ DIGITAR

AS VARIÁVEIS

(%i1) linsolve([2*x-y+3*z=11, 4*x-3*y+2*z=0, x+y+z=6, 3*x+y+z=4], [x,y,z]);Dependent

equations eliminated: (4)(%o1) [x=-1,y=2,z=5]

* aqui é possível ver quando o sistema é possível e indeterminado, uma solução e impossível.

APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA WXMAXIMA

• (%i10) matrix([3,2], [1,6]);

• (%o10) matrix([3,2],[1,6])

• (%i11) lu_factor (%o10);

• (%o11) [matrix([3,2],[1/3,16/3]),[1,2],generalring]

• (%i12) get_lu_factors(%o11);

• (%o12) [matrix([1,0],[0,1]),matrix([1,0],[1/3,1]),matrix([3,2],[0,16/3])]

APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA SCILAB

>> A=[ 3 2;1 6]

>> [L,U,P]= lu(A) *P=matriz permutação

2.5.2 Aplicações da Ferramenta Matematica Scilab>>L =chol(A) * resultado matriz triangular superior e a matriz triangular inferior

fazer transposta: L'*L=B

2.5.3 Aplicações da Ferramenta Matematica wxmaxima • (%i12) matrix( [4,3], [3,8]);

• (%o12) matrix([4,3],[3,8])

• (%i13) cholesky (%o12);

• (%o13) matrix([2,0],[3/2,sqrt(23)/2])

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40) Exemplo: Uma matriz mal condicionada é a matriz de Hilbert

USANDO O WXMAXIMA:

(%i1) h [i, j] := 1 / (i + j - 1);

1(%o1) h := --------- i, j i + j - 1(%i2) genmatrix (h, 3, 3); [ 1 1 ] [ 1 - - ] [ 2 3 ] [ ] [ 1 1 1 ](%o2) [ - - - ] [ 2 3 4 ] [ ] [ 1 1 1 ] [ - - - ] [ 3 4 5 ]

fonte: http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima_25.html

Função: mat_cond (M, 1)

Função: mat_cond (M, inf)

• Retorna o número condiciona da norma de ordem p da matriz m.

• Os valores permitidos para p são 1 e inf.

• Essa função utiliza a factorização linear alta para inverter a matriz m.

• Dessa forma o tempo de execução para mat_cond é proporcional ao cubo do tamanho

da matriz;

• lu_factor determina as associações baixa e alta para o número de condição de norma

infinita em tempo proporcional ao quadrado do tamanho da matriz.

• (%i6) matrix( [1,2], [5,9]);

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• (%o6) matrix([1,2],[5,9])

• (%i7) mat_cond(%o6,1);

• (%o7) 154

• (%i8) mat_cond(%o6,inf);

• (%o8) 154

• a principio esta calculando a norma infinita pelas linhas

• ou

• mat_norm(A,inf); norma infinita das linhas

APLICAÇÕES NA FERRAMENTA MATEMATICA SCILAB

-->A=[1 2; 5 9]

A =

1. 2.

5. 9.

-->cond(A)

ans = 110.99099

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Learning, 2008. x, 364 p.

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Editora LTC.1999.

• BARROSO, L.C. et. al. Cálculo Numérico(com aplicações) 2.ed. SP. Editora

Harbra.1987.

• BURDEN, R.L e FAIRES, J.D. Analise Numérica. Pioneira Thomson Learning.

2003.

• LAY, D. C. Algebra Linear e suas aplicações.2a edição Editora LTC.RJ. 1999.

• PERESSINI, A. L.et .al. The Mathematics of Nonlinear Programing.USA.1988.

• CLAUDIO, D.M e MARINS, J.M.Calculo Numérico Computacional.Teoria e

Pratica.Editora Atlas.SP.1989.

• LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de

Janeiro, RJ: LTC, 2011. xi, 451p. ISBN 85-216-1150-1.

• STEINBRUCH, A; WINTERLE, P. Álgebra Linear.2.ed. SP.McGRaw-Hill.1987.

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