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Abril Placas e Cascas8ªAula
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Sumário e Objectivos
Sumário: Teoria de Mindlin e Referência a Outras Teorias Objectivos da Aula: Apreensão das diferenças essenciais entre as teorias de Mindlin e Kirchhoff e as chamadas Teorias não lineares.
Abril Placas e Cascas8ªAula
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3
Hipóteses de Reissner-Mindlin
(i) A superfície média é plana e indeformável ou seja as deformações no plano médio.
(ii) Os pontos pertencentes à normal ao plano médio da placa antes da deformação permanecem numa direcção linear mas não necessariamente na normal à superfície média flectida.
(iii)A tensão na direcção normal ao plano médio, 33 é irrelevante quando comparada com as tensões 11 e 22.
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Placas de Mindlin
Tensor das Tensões
02313
232212
131211
ij
0xpara0 3122211
033
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Placas de Mindlin
e P
P' e
x 1
1
1 3 1
2 3 2
3 1 2
u - x θu = - x θu ω x ,x
Vector Deslocamentos
Generalizados
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Placas de Mindlin
Deformações Calculadas a partir dos Deslocamentos
13
111
222 3
212
1 23 3
2 1
∂ θ- x ∂ xε∂ θε = - x ∂ x
∂ θ ∂ θ- x -x∂ x ∂ x
1113
232
2
∂ ω-θ +∂ x= ∂ ω-θ +∂ x
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Placas de Mindlin
A lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos, estabelece uma relação entre as tensões e deformações
11 11
22 22
12 12
1 01- 1-σ εE 1σ = 0 ε1- 1-1+σ ε10 0 2
13 13
23 23
σ 1 0E=σ 0 12.0 1+
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Placas de Mindlin
Relações Tensões - Deslocamentos Generalizados
2
2
1
13211 xx
x1
E
1
1
2
23222 xx
x1
E
1
2
2
1312 xx
x12E
1
113 x12E
2
223 x12E
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Placas de Mindlin
O x2
x3x1
1122 21
33112/e
2/e11 dxxM
33222/e
2/e22 dxxM
33122/e
2/e12 dxxM
3232/e
2/e23132/e
2/e1 dxTedxT
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Placas de Mindlin
Relações Momentos e Esforços e Deslocamentos Generalizados
2
2
1
111 xx
DM
1
1
2
222 xx
DM
12
112 x
2x
D2
1M
2
1'
2
1
1001
GTT
22
11
2
1
x
x
10.2/EeG '
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11
Placas de Mindlin
x1
x2
x3
T1
T2
M12
M21
M11
M22
M11
1
M221
M121
M211 T2
1
T11
A
B C
C
Esforços Unitários
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Placas de Mindlin
dVT ijijV
Trabalho Virtual realizado pelas Deformações Virtuais ij
23
2
2
1
1
1
22
23
1
1
2
2
1
12
2/e2/eS x
xxx1Ex
xxx1E
11
11
23
1
2
2
1
1
2
2
1
xx12Ex
xxxx12E
32
22
2 dxdSxx12
E
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Placas de Mindlin
Integrando ao longo da espessura obtém-se
dSxx
Mx
Mx
MT1
2
2
112
2
222
1
111S
+ dSx
Tx
T2
221
11S
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Placas de Mindlin
21
121
2
122
2
221
1
11S x
Mx
Mx
Mx
MT
dSxT
xT
TT2
2
1
12211
dLcosMsenMsenMcosM 212112222111L
dLsenTcosT 21L
Aplicando o Teorema de Green, obtém-se
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Placas de Mindlin
Tendo em conta que sencos sn1
cossen sn2
cossenM2senMcosMM 122
222
11n
22122211t sencosMcossenMMM
senTcosTT 21
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Placas de Mindlin
O Trabalho virtual toma a forma
21
121
2
122
2
221
1
11S x
Mx
Mx
Mx
MT
dSxT
xT
TT2
2
1
12211
dLTdLMM LssnnL
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Placas de Mindlin
O trabalho realizado pelas forças exteriores
dspW s
Note-se que o Teorema dos trabalhos virtuais obriga a que seja:
T W 0
Ver como se obtêm as Equações de Equilíbrio
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Placas de Mindlin
Equações de Equilíbrio
12
12
1
11 Tx
Mx
M
21
12
2
22 Tx
Mx
M
212
2
1
1 x,xpxT
xT
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Placas de Mindlin Solução de Navier
1x
1x
Placas Simplesmente Apoiadas
21mn,1n,m
xsenxsenW
21mn,1n,m
1 xsenxcosX
21mn,1n,m
2 xcosxsenY
Admite-se uma solução do tipo série dupla de Fourier
a
b
2x
sendo = 2m/a e = 2n/b.
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Placas de Mindlin Solução de Navier
No caso de se admitir que a função de carga pode ser representada por um desenvolvimento em série dupla de Fourier do seguinte modo:
21mn,1n,m
xsenxsenPy,xp
2121
21
b
0
a
0mn dxdx
bxn
senaxm
senx,xpab4P
Os Coeficientes Pmn são determinados pela equação
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Placas de MindlinSolução de Navier
As equações de Equilíbrio tomam a forma
2 2mn mn mn mn mn
1 1D X Y X G W X 02 2
2 2mn mn mn mn mn
1 1D X Y Y G W X 02 2
2 2mn mn mn mn mnG W W X Y P 0
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Placas de MindlinSolução de Navier
A este sistema de equações pode dar-se a forma matricial seguinte:
mnmn
mn
mn
333231
232221
131211
P00
WYX
CCCCCCCCC
2233
2222
2211 GC;G
21
DDC;G2
1DDC
GCC;GCC;2
1DCC 322331132112
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Placas de MindlinSolução de Navier
A solução do sistema de equações toma então a forma seguinte:
mn
1
mn
mn
mn
P00
CWYX
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Placas de MindlinSolução de Navier
21mnmn1n1m
11 xsenxsenYXDM
Os esforços são
21mnmn1n1m
22 xsenxsenXYDM
21mnmn1n1m
2112 xcosxcosYX2
1DMM
21mnmn1n1m
1 xsenxcosXWGT
21mnmn1n1m
2 xcosxsenYWGT
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