ANÁLISE ESTATÍSTICA II

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

O principal interesse ao se fazer uma inferência estatística é tirar conclusões sobre uma população, e não sobre a amostra.

Uma distribuição de amostragem corresponde à distribuição dos resultados, caso se tenha optado por selecionar todas as amostras possíveis.

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

1. Distribuição de Amostragem da Média Aritmética

Corresponde à distribuição das médias aritméticas de todas as amostras possíveis de um determinado tamanho n que poderiam ocorrer.

A média aritmética é isenta de viés, isto é, a média aritmética de todas as médias aritméticas de amostras, de tamanho n, é igual à média aritmética da população, μ.

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENSExperiência para Constatar a Ausência de Viés da Média Aritmética da Amostra

Seja uma população de 4 pessoas, cuja variável aleatória de interesse é a idade de cada indivíduo: Tamanho da população: N = 4 Valores da variável aleatória X: 18, 20, 22 e 24 anos

Suponha que seja extraída uma amostra de 2 indivíduos dessa população (n = 2). As estatísticas obtidas a partir dessa amostra são adequadas a ponto de serem consideradas bastante representativas da população?

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

Na experiência, há 16 possíveis amostras (com reposição) de tamanho 2:

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

Em consequência, há 16 médias xi decorrentes de cada amostra:

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

A média aritmética de todas as amostras possíveis xi (de tamanho 2) é:

2116

24211918

N

Xμ i

X

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

A média aritmética de todas as amostras possíveis xi (de tamanho 2) é:

O desvio-padrão é:

2116

24211918

N

Xμ i

X

1,5816

21)-(2421)-(1921)-(18

N

)μX(σ

222

2Xi

X

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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

No que tange à população, a média aritmética é:

214

24222018N

Xμ i

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

No que tange à população, a média aritmética é:

E o desvio padrão:

214

24222018N

Xμ i

2,236N

μ)(Xσ

2i

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

Estatísticas da amostra: Parâmetros da população:

Uma vez que a média aritmética das 16 médias aritméticas de amostras xi é igual à média aritmética da população µ, pode-se afirmar que a média aritmética de uma amostra x é um adequado estimador da média aritmética da população e é isento de viés.

Embora não se saiba quão próximo um x qualquer estará de µ, há segurança para afirmar que seus valores estarão efetivamente muito próximos.

1,58σ 21μXX 2,236σ 21μ

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

Distribuições de Amostragens da Média Aritmética

Se a população é normalmente distribuída, com média aritmética μ e desvio-padrão σ, a distribuição de amostragens da média aritmética também será normalmente distribuída.

As equações da distribuição de amostragens da média aritmética são:

μμX

n

σσ

X

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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

Erro Padrão da Média Aritmética

É o desvio-padrão das médias aritméticas xi de todas as possíveis amostras de mesmo tamanho:

onde:σ = desvio-padrão da populaçãon = tamanho da amostra

n

σσ

X

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

1. Em uma fábrica de palitos de dentes, você seleciona aleatoriamente, dentre as milhares de caixas abastecidas, uma amostra de 25 caixas sem reposição. Considerando o desvio-padrão do processo de fabricação dos palitos igual a 15 palitos, calcule o erro-padrão da média aritmética.

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

1. Em uma fábrica de palitos de dentes, você seleciona aleatoriamente, dentre as milhares de caixas abastecidas, uma amostra de 36 caixas sem reposição. Considerando o desvio-padrão do processo de fabricação dos palitos igual a 18 palitos, calcule o erro-padrão da média aritmética.

Tal desvio é bem menor que o desvio da população.

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

2. Suponha que o desvio-padrão do teste de desempenho (normalmente distribuído) de um motor seja igual a 540 rpm. Qual é o erro padrão da média aritmética, se fosse extraída uma amostra aleatória de:

a. 25 motores?

b. 36 motores?

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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

Valor de Z para a Distribuição de Amostragens da Média Aritmética:

onde:

x = média da amostra

µ = média da população

σ = desvio-padrão da população

n = tamanho da amostra

n

σμ)X(

σ

)μX(Z

X

X

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

1. Seja uma população com média aritmética μ = 8 e desvio-padrão σ = 3. Suponha que seja selecionada uma amostra aleatória de tamanho n = 36. Qual é a probabilidade da média aritmética dessa amostra estar entre 7,75 e 8,25?

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

1. Seja uma população com média aritmética μ = 8 e desvio-padrão σ = 3. Suponha que seja selecionada uma amostra aleatória de tamanho n = 36. Qual é a probabilidade da média aritmética dessa amostra estar entre 7,75 e 8,25?

0,5

363

8-8,25Z

0,5

363

8-7,75Z

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

1. Seja uma população com média aritmética μ = 8 e desvio-padrão σ = 3. Suponha que seja selecionada uma amostra aleatória de tamanho n = 36. Qual é a probabilidade da média aritmética dessa amostra estar entre 7,75 e 8,25?

0,5

363

8-8,25Z

0,5

363

8-7,75Z

P(7,75 < < 8,25) = P(-0,5 < z < 0,5) = 0,3830

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

2. Considerando todos os clientes de uma agência bancária, a média e o desvio-padrão dos saldos médios das contas correntes são, respectivamente, $ 375 e $ 118. Se for retirada uma amostra de 100 contas correntes, qual é a probabilidade da média dos saldos médios dessa amostra:a. ser maior ou igual a $ 365? b. estar entre $ 323,6 e $ 370?c. Entre que dois valores simetricamente distribuídos em

torno da média estariam 60% das médias das amostras?

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

P(x ≥ 365) = 1 - P(x ≤ 365)

P(x ≥ 365) = 1 - P(Z ≤ -0,847) = 1 - 0,1985 = 0,8015 = 80,15%

-0,847

100118

375-365

nσ

μ-XZ

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

P(323,6 ≤ x ≤ 370) = P(x ≤ 370) - P(x ≤ 323,6)

P(323,6 ≤ x ≤ 370) = P(Z ≤ -0,424) - P(Z ≤ -4,356) = 0,3358 - 0 = 0,3358 = 33,58%

-0,424

100118

375-370

nσ

μ-XZ

-4,356

100118

375-323,6

nσ

μ-XZ

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

P(x1 ≤ x ≤ x2) = 60%|x – x1| = |x – x2|x1 = ?x2 = ?

x1 375 x2

60%

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

P(x1 ≤ x ≤ x2) = 60%|x – x1| = |x – x2|x1 = ?x2 = ?

As probabilidades acumuladas são:P(x1) = 0,2 → Z1 = ?P(x2) = 0,8 → Z2 = ?

x1 375 x2

60%

0,2 0,5 0,8

0,30 0,30

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

P(Z1) = 0,2 Z1 = -0,8416

Por simetria:

P(Z2) = 0,8 Z2 = 0,8416

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

P(365,07 ≤ x ≤ 384,93) = 60%

365,07100

1180,8416.375

n

σZ.μX

nσ

μ-XZ

384,93100

1180,8416.375

n

σZ.μX

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

Case Oxford Cereals

A Oxford Cereals abastece milhares de caixas de cereais durante um turno de oito horas. Como gerente de operações da unidade de produção, você é responsável por monitorar a quantidade de cereal colocada em cada caixa.

Para ser coerente com o conteúdo especificado na embalagem, as caixas devem conter, em média, 368 gramas de cereal. Se o processo de abastecimento não estiver funcionando de maneira apropriada, o peso médio das caixas pode se desviar demasiadamente do peso especificado no rótulo e toda a produção se torna inaceitável.

Uma vez que a pesagem de cada caixa individual consome uma quantidade demasiadamente grande de tempo, é dispendiosa e ineficiente, você decidiu extrair uma amostra de caixas.

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

Para essa amostra, selecionada aleatoriamente, você planeja pesar todas as caixas e calcular a média aritmética da amostra. Com base em sua análise dos resultados, você terá que decidir entre manter ou alterar o processo de abastecimento.

Se for selecionada aleatoriamente uma amostra de 25 caixas (sem reposição) e considerando que o desvio-padrão do processo de abastecimento de cereais é 15 gramas, qual é:

a. o erro padrão da média aritmética?

b. a probabilidade de que essa amostra venha a ter uma média aritmética inferior a 365 gramas?

c. a probabilidade de que uma caixa individual venha a ter menos de 365 gramas de cereal?