ANÁLISE ESTATÍSTICA II

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ANÁLISE ESTATÍSTICA II

DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENS

O principal interesse ao se fazer uma inferência estatística é tirar conclusões sobre uma população, e não sobre a amostra.

Uma distribuição de amostragem corresponde à distribuição dos resultados, caso se tenha optado por selecionar todas as amostras possíveis.

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1. Distribuição de Amostragem da Média Aritmética

Corresponde à distribuição das médias aritméticas de todas as amostras possíveis de um determinado tamanho n que poderiam ocorrer.

A média aritmética é isenta de viés, isto é, a média aritmética de todas as médias aritméticas de amostras, de tamanho n, é igual à média aritmética da população, μ.

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DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGENSExperiência para Constatar a Ausência de Viés da Média Aritmética da Amostra

Seja uma população de 4 pessoas, cuja variável aleatória de interesse é a idade de cada indivíduo: Tamanho da população: N = 4 Valores da variável aleatória X: 18, 20, 22 e 24 anos

Suponha que seja extraída uma amostra de 2 indivíduos dessa população (n = 2). As estatísticas obtidas a partir dessa amostra são adequadas a ponto de serem consideradas bastante representativas da população?

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Na experiência, há 16 possíveis amostras (com reposição) de tamanho 2:

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Em consequência, há 16 médias xi decorrentes de cada amostra:

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A média aritmética de todas as amostras possíveis xi (de tamanho 2) é:

2116

24211918

N

Xμ i

X

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A média aritmética de todas as amostras possíveis xi (de tamanho 2) é:

O desvio-padrão é:

2116

24211918

N

Xμ i

X

1,5816

21)-(2421)-(1921)-(18

N

)μX(σ

222

2Xi

X

8



No que tange à população, a média aritmética é:

214

24222018N

Xμ i

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No que tange à população, a média aritmética é:

E o desvio padrão:

214

24222018N

Xμ i

2,236N

μ)(Xσ

2i

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Estatísticas da amostra: Parâmetros da população:

Uma vez que a média aritmética das 16 médias aritméticas de amostras xi é igual à média aritmética da população µ, pode-se afirmar que a média aritmética de uma amostra x é um adequado estimador da média aritmética da população e é isento de viés.

Embora não se saiba quão próximo um x qualquer estará de µ, há segurança para afirmar que seus valores estarão efetivamente muito próximos.

1,58σ 21μXX 2,236σ 21μ

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Distribuições de Amostragens da Média Aritmética

Se a população é normalmente distribuída, com média aritmética μ e desvio-padrão σ, a distribuição de amostragens da média aritmética também será normalmente distribuída.

As equações da distribuição de amostragens da média aritmética são:

μμX

n

σσ

X

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Erro Padrão da Média Aritmética

É o desvio-padrão das médias aritméticas xi de todas as possíveis amostras de mesmo tamanho:

onde:σ = desvio-padrão da populaçãon = tamanho da amostra

n

σσ

X

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1. Em uma fábrica de palitos de dentes, você seleciona aleatoriamente, dentre as milhares de caixas abastecidas, uma amostra de 25 caixas sem reposição. Considerando o desvio-padrão do processo de fabricação dos palitos igual a 15 palitos, calcule o erro-padrão da média aritmética.

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1. Em uma fábrica de palitos de dentes, você seleciona aleatoriamente, dentre as milhares de caixas abastecidas, uma amostra de 36 caixas sem reposição. Considerando o desvio-padrão do processo de fabricação dos palitos igual a 18 palitos, calcule o erro-padrão da média aritmética.

Tal desvio é bem menor que o desvio da população.

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2. Suponha que o desvio-padrão do teste de desempenho (normalmente distribuído) de um motor seja igual a 540 rpm. Qual é o erro padrão da média aritmética, se fosse extraída uma amostra aleatória de:

a. 25 motores?

b. 36 motores?

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Valor de Z para a Distribuição de Amostragens da Média Aritmética:

onde:

x = média da amostra

µ = média da população

σ = desvio-padrão da população

n = tamanho da amostra

n

σμ)X(

σ

)μX(Z

X

X

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1. Seja uma população com média aritmética μ = 8 e desvio-padrão σ = 3. Suponha que seja selecionada uma amostra aleatória de tamanho n = 36. Qual é a probabilidade da média aritmética dessa amostra estar entre 7,75 e 8,25?

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0,5

363

8-8,25Z

0,5

363

8-7,75Z

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0,5

363

8-8,25Z

0,5

363

8-7,75Z

P(7,75 < < 8,25) = P(-0,5 < z < 0,5) = 0,3830

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2. Considerando todos os clientes de uma agência bancária, a média e o desvio-padrão dos saldos médios das contas correntes são, respectivamente, $ 375 e $ 118. Se for retirada uma amostra de 100 contas correntes, qual é a probabilidade da média dos saldos médios dessa amostra:a. ser maior ou igual a $ 365? b. estar entre $ 323,6 e $ 370?c. Entre que dois valores simetricamente distribuídos em

torno da média estariam 60% das médias das amostras?

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P(x ≥ 365) = 1 - P(x ≤ 365)

P(x ≥ 365) = 1 - P(Z ≤ -0,847) = 1 - 0,1985 = 0,8015 = 80,15%

-0,847

100118

375-365

nσ

μ-XZ

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P(323,6 ≤ x ≤ 370) = P(x ≤ 370) - P(x ≤ 323,6)

P(323,6 ≤ x ≤ 370) = P(Z ≤ -0,424) - P(Z ≤ -4,356) = 0,3358 - 0 = 0,3358 = 33,58%

-0,424

100118

375-370

nσ

μ-XZ

-4,356

100118

375-323,6

nσ

μ-XZ

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P(x1 ≤ x ≤ x2) = 60%|x – x1| = |x – x2|x1 = ?x2 = ?

x1 375 x2

60%

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P(x1 ≤ x ≤ x2) = 60%|x – x1| = |x – x2|x1 = ?x2 = ?

As probabilidades acumuladas são:P(x1) = 0,2 → Z1 = ?P(x2) = 0,8 → Z2 = ?

x1 375 x2

60%

0,2 0,5 0,8

0,30 0,30

25



P(Z1) = 0,2 Z1 = -0,8416

Por simetria:

P(Z2) = 0,8 Z2 = 0,8416

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P(365,07 ≤ x ≤ 384,93) = 60%

365,07100

1180,8416.375

n

σZ.μX

nσ

μ-XZ

384,93100

1180,8416.375

n

σZ.μX

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Case Oxford Cereals

A Oxford Cereals abastece milhares de caixas de cereais durante um turno de oito horas. Como gerente de operações da unidade de produção, você é responsável por monitorar a quantidade de cereal colocada em cada caixa.

Para ser coerente com o conteúdo especificado na embalagem, as caixas devem conter, em média, 368 gramas de cereal. Se o processo de abastecimento não estiver funcionando de maneira apropriada, o peso médio das caixas pode se desviar demasiadamente do peso especificado no rótulo e toda a produção se torna inaceitável.

Uma vez que a pesagem de cada caixa individual consome uma quantidade demasiadamente grande de tempo, é dispendiosa e ineficiente, você decidiu extrair uma amostra de caixas.

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Para essa amostra, selecionada aleatoriamente, você planeja pesar todas as caixas e calcular a média aritmética da amostra. Com base em sua análise dos resultados, você terá que decidir entre manter ou alterar o processo de abastecimento.

Se for selecionada aleatoriamente uma amostra de 25 caixas (sem reposição) e considerando que o desvio-padrão do processo de abastecimento de cereais é 15 gramas, qual é:

a. o erro padrão da média aritmética?

b. a probabilidade de que essa amostra venha a ter uma média aritmética inferior a 365 gramas?

c. a probabilidade de que uma caixa individual venha a ter menos de 365 gramas de cereal?

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