Estatística II

Estatstica II

Aula 3

Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Estimao por Intervalo

Objetivos

Nesta semana, veremos:

Como construir e interpretar estimativas por intervalos de confiana para a mdia e a proporo

Como determinar o tamanho da amostra necessrio para desenvolver um intervalo de confiana para a mdia e a proporo

Como usar estimativas por intervalo de confiana em auditoria

Tpicos

1. Intervalos de confiana para a mdia populacional,

Quando o desvio-padro da populao conhecido

Quando o desvio-padro desconhecido

2. Intervalos de confiana para a proporo populacional,

3. Determinao do tamanho de amostra requerido

Estimativa Pontual

Uma estimativa pontual um nmero nico. Para a mdia populacional (e o desvio-padro populacional), uma estimativa pontual a mdia de uma amostra (e o desvio-padro de uma amostra).

Um intervalo de confiana traz informao adicional sobre a variabilidade da informao

Estimativa Pontual

Limite Inferior de

Confiana

Limite Superior de

Confiana

Largura do Intervalo de

Confiana

Estimativas por Intervalo de Confiana

Um intervalo de confiana d uma estimativa

intervalar para os valores:

Leva em considerao a variao nas estatsticas

amostrais que ocorrem de amostra para amostra

Baseia-se em todas as observaes de uma amostra

D informaes sobre quo prxima aquela informao

est do parmetro populacional

estabelecido em termos do nvel de confiana

Ex. 95% de confiana, 99% de confiana

Nunca pode ser 100% de confiana

Estimativa por Intervalo de Confiana

A frmula geral para todos os intervalos

de confiana :

Estimativa Pontual (Valor Crtico) (Erro Padro)

Nvel de Confiana

Nvel de Confiana

Confiana em que o intervalo definido ir conter o

parmetro populacional desconhecido.

um percentual (menor que 100%)

Nvel de Confiana

Suponha nvel de confiana = 95%

Tambm escrito (1 - ) = 0,95

Uma interpretao em termos de frequncia

relativa:

No longo prazo, 95% de todos os intervalos de

confiana que puderem ser construdos, iro conter

o verdadeiro parmetro populacional desconhecido.

Um intervalo especfico pode conter ou no o

verdadeiro parmetro populacional.

Intervalo de Confiana

Por que no levar o nvel de confiana o mais

prximo de 100% possvel?

Porque isto implicaria aumentar tambm o intervalo de

confiana diminuindo a preciso;

Intervalos maiores so piores para a tomada de decises;

At aqui, quanto maior o nvel de confiana maior o

intervalo de confiana!

Intervalo de Confiana para a Mdia

( conhecido)

Premissas:

Populao com desvio-padro conhecido

Populao com distribuio nos moldes da

distribuio normal

Se a populao no for normal, use amostras

grandes

Estimativa do Intervalo de Confiana:

(onde Z o valor crtico para uma probabilidade /2 em cada cauda, de uma distribuio normal padronizada)

n

ZX

Encontrando o Valor Crtico, Z

Considere um intervalo com um nvel de confiana igual a 95%:

Z= -1,96 Z= 1,96

.951

.0252

.025

2

Limite Inferior do Intervalo de Confiana

Limite Superior do Intervalo de Confiana

Z unidades:

X unidades: Estimativa Pontual

0

Encontrando o Valor Crtico, Z

Os intervalos de confiana mais comuns so 90%,

95%, e 99%

Nvel de

Confiana

Coeficiente

de confiana

Valor-Z

1,28

1,645

1,96

2,33

2,58

3,08

3,27

.80

.90

.95

.98

.99

.998

.999

80%

90%

95%

98%

99%

99.8%

99.9%

Intervalos e Nveis de Confiana

x

Intervalos de Confiana

Intervalos se extendem de

at

(1-)x100%

dos intervalos

construdos

contm ;

()x100% no

contm.

Distribuio da Mdia

Amostral

n

ZX

n

ZX

x

x1

x2

/2 /21

Intervalo de Confiana para ( conhecido) Exemplo

Uma amostra de 11 circuitos retirada de uma

populao que segue a distribuio normal, tem

resistncia mdia de 2,20 ohms. Ns sabemos, de

testes passados, que o desvio padro da populao

.35 ohms.

Determine um intervalo de confiana a 95% de

confiana para a verdadeira resistncia mdia da

populao de circuitos.

Intervalo de Confiana para ( conhecido) Exemplo

2,4068) ; (1,9932

.2068 2,20

)11(.35/ 1,96 2,20

n

ZX

Ns estamos 95% confiantes de que o intervalo 1,9932 a 2,4068

ohms contm a verdadeira mdia da populao.

Apesar da verdadeira mdia poder ou no estar dentro deste

intervalo, 95% dos intervalos formados desta maneira contero

a verdadeira mdia.

Intervalo de Confiana para ( Desconhecido)

Se o desvio-padro da populao desconhecido,

ns podemos usar o desvio-padro da amostra, S

Isso introduz uma incerteza adicional, j que S

varia de amostra para amostra

Ento, utiliza-se a distribuio t ao invs da

distribuio normal

Intervalo de Confiana para ( Desconhecido)

Premissas:

Populao com desvio-padro desconhecido

Populao normalmente distribuda

Se a populao no for normal, use amostras grandes

Use a distribuio t de Student

Estimativa do Intervalo de Confiana:

(onde t o valor crtico de uma distribuio t com n-1 g.l. e reas /2 em cada cauda)

n

StX 1-n

Distribuio t de Student

O valor t depende dos graus de liberdade (g.l.)

Nmero de observaes que so livres para variar

depois que a mdia da amostra foi calculada

g.l. = n - 1

Graus de Liberdade

Se a mdia dos trs valores

8.0, ento

X3 tem que ser igual a 9

(i.e., X3 no livre para variar)

Aqui, n = 3, ento os graus de liberdade so = n 1 = 3 1 = 2

(2 nmeros podem assumir qualquer valor, mas o terceiro no est

livre para variar dada uma certa mdia)

Idia: Nmero de observaes que so livres para

variar depois que a mdia da amostra foi

calculada

Exemplo: Suponha que a mdia de 3 nmeros

seja igual a 8.0

Seja X1 = 7

Seja X2 = 8

Qual deve ser o valor de X3?

Distribuio t de Student

t 0

t (gl = 5)

t (gl = 13) Distribuies t so em forma de sino, simtricas, mas com caudas mais gordas que a distribuio normal

Normal Padro (t com gl = )

Obs: t Z medida que n aumenta

Tabela da Distribuio t de Student

Area Cauda Sup.

gl

.25 .10 .05

1 1,000 3,078 6,314

2 0,817 1,886 2,920

3 0,765 1,638 2,353

t 0 2,920

O corpo da tabela contm

valores t, no probabilidades

Seja: n = 3

gl = n - 1 = 2

= .10

/2 =.05

/2 = .05

Intervalo de Confiana para ( Desconhecido) Exemplo

Uma amostra aleatria com n = 25 elementos tem X

= 50 e S = 8. Construa um intervalo de confiana

para a mdia a um nvel de confiana de 95%

g.l. = n 1 = 24, ento

O intervalo de confiana

25

8(2,0639)50

n

S1-n /2, tX

(46,698 ; 53,302)

Intervalo de Confiana para a Proporo

Populacional,

Uma estimativa de intervalo para a proporo

populacional ( ) pode ser calculada

acrescentando uma incerteza proporo na

amostra ( p )


Populacional,

Lembre que a distribuio da proporo amostral

aproximadamente normal, se o tamanho da amostra

for grande, com desvio-padro

que pode ser estimado a partir dos dados da

amostra com:

n

p)p(1

n

)(1p


Populacional,

Os limites superiores e inferiores do intervalo de

confiana para a proporo populacional so

calculados a partir da frmula

onde

Z o valor crtico para o intervalo de

confiana desejado, obtido na distribuio

normal padronizada

p a proporo na amostra

n o tamanho da amostra

n

p)p(1Zp


Populacional, Exemplo

Uma amostra aleatria de 100 pessoas mostrou

que 25 delas fizeram saques em seus fundos para

aposentadoria no ltimo ano. Construa um

intervalo de confiana a 95% para a verdadeira

proporo da populao que recorreu aos fundos

de aposentadoria.

00.25(.75)/196,125/100

p)/np(1p

Z

0,3349) ; (0,1651

(.0433) 1,96 .25


Populacional, Exemplo

Com 95% de confiana podemos afirmar que o

intervalo entre 16,51% e 33,49% contm a

verdadeira proporo da populao que fez saques

em seus fundos de aposentadoria. Apesar do

intervalo .1651 a .3349 poder ou no conter a

verdadeira proporo, 95% dos intervalos formados

desta maneira a partir de amostras de tamanho 100,

contero a verdadeira proporo.

Determinando o Tamanho da Amostra

O tamanho da amostra pode ser definido de tal

forma que a margem de erro (e) fique em

determinado tamanho com um nvel de confiana

(1 - ) especificado.

A margem de erro tambm chamada erro

amostral

a impreciso na estimativa do parmetro populacional

o tamanho do intervalo que se soma e se subtrai da

estimativa pontual para construir o intervalo de confiana


Para determinar o tamanho da amostra necessrio

estimativa da mdia, voc deve conhecer:

O nvel de confiana desejado (1 - ), que

determina o valor crtico Z

O erro amostral aceitvel (margem de erro), e

O desvio-padro,

n

Ze 2

22

e

Zn

Resolvendo

para n

n

ZX


Se = 45, qual o tamanho da amostra necessria

para estimar a mdia com erro igual a 5 com

90% de confiana?

219,195

(45)(1,645)2

22

2

22

e

Zn

Ento o tamanho da amostra necessria n = 220


Para determinar o tamanho da amostra necessrio

estimativa da proporo populacional, voc deve

conhecer:

O nvel de confiana desejado (1 - ), que determina o

valor crtico Z

O erro amostral aceitvel (margem de erro), e

A verdadeira proporo de sucessos,

pode ser estimado a partir de uma amostra piloto, se necessrio (ou para ser conservador use = .50)

2

2 )1(

e

Zn

Resolvendo

para n nZe

)1(


Qual o tamanho da amostra necessria a uma

estimativa da proporo de defeituosos em uma

grande populao, com margem de erro menor ou

igual a 3%, com 95% de confiana?

(Assuma que uma amostra piloto identificou 12% de

defeituosos, ou seja, p = .12)


Soluo:

Para 95% de confiana, use Z = 1.96

e = .03

p = .12, ento use este valor para estimar

Ento use n = 451

450,74(.03)

.12)(.12)(1(1,96))1(2

2

2

2

e

Zn

Aplicaes em Auditoria

Sete vantagens da amostragem em auditoria

Consome menos tempo

Custa menos

Proporciona resultados que so objetivos e

defensveis. Uma vez que o tamanho da amostra

baseado em princpios estatsticos que podem

ser demonstrados, a auditoria defensvel

perante superiores hierrquicos e perante um

tribunal

Permite estimar antecipadamente o tamanho da

amostra

Aplicaes em Auditoria

Sete vantagens da amostragem em auditoria

Proporciona uma estimativa para o erro de

amostragem

Permite que os auditores combinem e

posteriormente avaliem, coletivamente, amostras

coletadas por diferentes indivduos

Permite que os auditores generalizem para a

populao as suas descobertas, com um erro de

amostragem conhecido

Estimando o Valor Total da Populao

Estimativa Pontual:

Intervalo de Confiana para a Estimativa:

XN otalT

1N

nN

n

S)t(NXN 1n

(Como a amostragem sem reposio, use o fator de correo para

populaes finitas na frmula do intervalo de confiana)


Exemplo

Uma firma tem uma populao de 1000 faturas e

deseja estimar o valor total das mesmas.

Uma amostra de 80 faturas selecionada com valor

mdio de $87,6 e desvio padro de $22,3.

Encontre o intervalo de confiana para o valor total

das faturas a um nvel de confiana de 95%.

O intervalo de confiana para o valor total das faturas a 95%

de confiana $82.837,52 to $92.362,48

4.762,4887.600

11000

801000

80

22,3905)(1000)(1,96)(1000)(87,

1N

nN

n

S)(tNXN 1n

22,3S 87,6,X 80, n 1000,N


Exemplo

Estimativa do Intervalo de Confiana Unilateral da Taxa

de No-Conformidade com Controles Internos

Intervalo de Confiana Unilateral para uma Proporo Aplicao: encontrar o limite superior para a proporo de itens que

no atendem a requisitos de controle

Onde:

Z o valor crtico da normal padronizada para um determinado nvel de confiana desejado

p a proporo de itens na amostra que no atendem aos requisitos

n o tamanho da amostra

N o tamanho da populao

1N

nN

n

p)p(1ZpSuperior Limite

Intervalo de Confiana Unilateral para uma Proporo

Exemplo

Uma grande empresa de eletrnicos preenche 1 milho de

cheques por ano. Uma norma interna da empresa estabelece

que cada cheque s pode ser assinado depois de um

documento ter sido gerado por um supervisor do setor de

contas a pagar. A taxa de exceo tolervel da empresa para

esse controle de 4%. Se forem encontrados desvios em

relao ao controle em 8 dos 400 pagamentos selecionados

para a amostra, o que o auditor deve fazer? Para solucionar

este problema, utilize um nvel de confiana de 95%.

Intervalo de Confiana Unilateral para uma Proporo

Exemplo

Soluo: o auditor constri um intervalo de confiana unilateral de 95% para a proporo de faturas em desacordo com os padres de conformidade e compara esse resultado com a taxa de exceo tolervel:

Com 95% de confiana o auditor conclui que a taxa de no conformidade inferior a 3,15%. Como ela inferior taxa de exceo tolervel, o auditor conclui que os processos esto adequados.

0,0315 Superior Limite

0,01150,027)(0,9998)1,645(0,000,02 Superior Limite

1000.000.1

400000.000.1

400

)02,01(02,0645,1,020 Superior Limite

1

)1( Superior Limite

95% de confiana de nvel um para 645,102,0400

8

N

nN

n

ppZp

Zep

Questes ticas

Um intervalo de confiana (refletindo o erro de

amostragem) deveria ser sempre reportado

juntamente com a estimativa pontual

O nvel de confiana deve sempre ser informado

O tamanho da amostra deve ser informado

Uma interpretao do intervalo de confiana

tambm deve ser realada

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