Professor Alusio LimaEstatstica IIProfessor: Alusio LimaDisciplina: Estatstica IICurso: Engenharia de ProduoTurma: 32431 N Estatstica II 1 Parte.1Professor Alusio LimaCaptulo 1Fatorial.Introduo.Considerando n um nmero natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial desse nmero n (n!) o nmero: n! = n(n 1)(n 2)(n 3).... L-se n! como n fatorial ou fatorial de n. Veja alguns exemplos: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800Exerccios.1) Simplifique as expresses que seguem;a) ( )( )! 2 ! 4++nnc) ( )! 2)! 1 (++nnb) ( )( )! 1 2! 2 nnd) ( )( )! ! 2nn Dentre os cinco nmeros inteiros listados abaixo, aquele que representa a melhor aproximao para a expresso: 2 . 2! + 3 . 3! + 4 . 4! + 5 . 5! + 6 . 6! :5030 b) 5042 c) 5050 d) 5058 e) 50702) O produto 20.18.16.14....6.4.2 equivalente a:a)2! 20b) 2.10! c) 102! 20d) 210.10!e) ! 10! 20Estatstica II 1 Parte.2Professor Alusio LimaCaptulo 2Conceitos Bsicos de Anlise Combinatria.Tcnicas de ContagemRegra Fundamental da ContagemPara dois eventos que podem ocorrer respectivamente de m e n maneiras distintas, h m.n maneiras pelas quais pares desses eventos podem ocorrer.Exemplo: Uma pessoa tem4camisase5 calas,logoter20possibilidadesdeformao diferentes para combinar.1) Fatorial (Permutaes)Uma coleo de n objetos pode ser ordenada de n! maneiras distintas. [n! = n (n-1) (n-2)...1]Pn = n !Exemplos: a) colocao de 5 bandeiras com cores distintasb) ordenao de questes de prova.2) Arranjos Simples (com elementos distintos):O nmero de arranjos (= seqncias) de r elementos escolhidos entre n elementos (sem permitir repetio) :An,p =)! (!p n nExemplos: Quantas programaes noturnas de TV com 6 shows podem ser feitas a partir de um plantel de 20 seriados. Quantas chapas eletivas distintas (presidente, vice-presidente, 1 e 2 secretrios, 1 e 2 tesoureiros) podemos formar a partir de um grupo de 10 pessoas.Estatstica II 1 Parte.3Professor Alusio LimaOBS: Arranjos com elementos no-distintos: Se h n elementos categorizveis em k grupos de formas quenielementos se enquadram nai-sima categoria (i= 1,2, ...,k), entoo nmero de permutaes distintas do conjunto de n elementos :nn n nnnk n nkA! !.... !.!,... 2 , 12 1Exemplos: Nmero de permutaes das letras da palavra SOCORRO Nmero de sinais possveis com 5 bandeiras sendo 2 azuis e 3 vermelhas3) Combinaes Simples.Onmero de sub-conjuntos(=combinaes)derelementos que podemser formados a partir de um conjunto com n elementos (distintos) :Cn,p = )! ( !!p n pnExemplos: Nmero de comits (ou de amostras s/ reposio) de 5 elementos que podem ser formados a partir de um conjunto de 10 elementos. Nmerodemosdepquer (5cartas) quepodemser retiradasdeumbaralho completo (52 cartas) Nmero de resultados possveis na MegasenaExerccios.Considere todos os nmeros formados por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Determine quantos nmeros possvelformar (no total) e quantos nmeros se iniciam com o algarismo 1.Colocando em ordem os nmeros resultantes das permutaes dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, que posio ocupar o nmero 35241?Considereo conjuntodos dgitos{1, 2, 3,...,9}e formecomelesnmerosdenovealgarismos distintos.Quantos desses nmeros so pares?Estatstica II 1 Parte.4Professor Alusio Lima1) Com 5 engenheiros e 4 fsicos formam-se comisses de 5 pessoas. Calcule o nmero de comisses a ser formada por 3 engenheiros e 2 fsicos.2) Num ba esto espalhados 15 livros de Portugus, 10 de Matemtica e 6 de Ingls. Trs livros so retirados simultaneamente do ba? Qual o nmero de possibilidades de que seja escolhido um livro de cada assunto?3) Uma classe tem 30 alunos. Uma comisso de quatro alunos escolhida para uma reunio com a diretoria da escola. Determine o nmero de comisses para que os dois melhores alunos faam parte da comisso.Estatstica II 1 Parte.5Professor Alusio LimaCaptulo 3Introduo Probabilidade.1) Um Pouco de HistriaOsprimeirosestudos matemticossobrechances foramfeitospelositalianos Gernimo Cardano (1501 1576) e Galileu Galilei (1564 1642) e eram relacionados com jogos de dados.Em 1654, quando Pascal dedicava-se a uma obra chamada As Cnicas, um amigo seu, jogador profissional, chamadoChevalier deMre, propsquestesdotipo: Em8 lances de um dado, um jogador deve tentar lanar o nmero 1, mas, depois de 3 tentativas fracassadas, o jogo interrompido por seu oponente. Como poderia ser indenizado?.Tendo resolvido as dificuldades de Mre, Pascalescreveu a seu amigo Pierre de Fermat (matemtico francs 1601 1665) expondo-lhe vrios problemas. A correspondncia entre eles, naqual encontram-seinmeros problemas probabilsticos resolvidos, foi o verdadeiro ponto de partida da moderna teoria das probabilidades. As idias de Cardano, que j tinham cem anos, foram esquecidas.Pascal e Fermat nada publicaram a respeito, mas o matemtico holands Christian Huygens(16291695), tendoconhecimentodessesestudos, passouainteressar-see publicou, em1657, umpequenolivrocomottuloDeratiociniisinludoaleae(Sobreo raciocnio em jogos de dados), sendo este o primeiro livro sobre a teoria das probabilidades. Dentre os matemticos que contriburam para a evoluo dessa teoria, destacamos: Jacob Bernouilli(suo, 1654 1705); Abraham de Moivre (francs, 1667 1754); Pierre Simon de Laplace (francs.1749 1827) e outros.Hoje, a teoria das probabilidades tem uma importncia muito grande e aplicaes em estatstica, economia, engenharia, fsica, qumica, teoria dos jogos estratgicos, sociologia, psicologia, biologia e vrios outros campos do conhecimento.Espao Amostral e EventoExistem fenmenos ou experimentos que, mesmo quando repetidos vrias vezes, em condies parecidas, apresentam resultados imprevisveis. Dizemos que tais experimentos so aleatrios. Como exemplo, no lanamento de uma moeda (pode dar cara ou coroa); ao lanarmos um dado (poder dar 1, 2, 3, 4, 5 e 6 mas no h como prever qual ser dada). Com isso temos a definio de espao amostral. Estatstica II 1 Parte.6Professor Alusio LimaEspaoAmostralTambmchamadodeespaodeprovaouuniverso, onomedo conjunto formado por todos os resultados possveis de um experimento aleatrio. Notao: W, ou E.AExemplos: Lanamento de uma moeda, observando a face superior: Cara e Coroa. (2) Lanamento de um dado, observando a face superior: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. (6). Retirada de uma bola de uma urna que contm 4 bolas vermelhas e 3 pretas : V1, V2, V3, V4, P1, P2 ou P3. (7) Evento (E) Os elementos do espao amostral so chamados de eventos elementares. Os subconjuntos do espao amostral so chamados de simplesmente de eventos. Os eventos podem ser: Certos Quando o evento o prprio espao amostral. Ex. No lanamento de um dado, dar a ocorrncia de um nmero menor do que 7. Impossveis Seja A um evento. Diremos que A um evento impossvel se A = . Ex. No lanamento de um dado, sair face 8.2) ProbabilidadeConsideramos um experimento aleatrio; seja E o seu espao amostral finito eno vazio, n (E) o nmero de elementos de E, um evento A e n(A) o nmero de elementos de A (A E). Chama-se probabilidade do evento A o nmero P (A) tal que:P(A) = ) () (E n A nCom issopodemos resumir que a definiode probabilidade intuitiva, isto , a probabilidade de ocorrer determinado evento dada pela a razo entre o nmero de casos favorveis (ou nmero de casos que nos interessam) e o nmero de casos possveis (ou o nmero total de casos).IPC:Esta definio s tem validade se todos os elementos de E tiverem as mesmas chances de ocorrer, ou seja, se E for um espao equiprovvel.IPF:Aprobabilidadedeumeventoumvalor compreendidoentre0e1. Ser0 quando o evento for impossvel e ter o valor de 1 quando o evento for certo. Logo temos:0 P(A) 1 ou 0% P(A) 100 %Estatstica II 1 Parte.7Professor Alusio Lima3) Probabilidade de No Ocorrer um EventoSeja E um espao amostral finito e no vazio e A um evento de E. Chamamos complementar de A em relao a E o evento A, de modo que A = E A, ou seja, A formado por resultados de E que no so de A. Podemos dizer ento, que P (__A) a probabilidade de no ocorrer o evento A.IPCComo P (A) + P(A) = 1 podemos dizer que:A probabilidade de no ocorrer um evento igual a 1 menos a probabilidade de ele ocorrer. Exerccios Iniciais4) Probabilidade da Unio de EventosAprobabilidadedeocorreroeventoAouoeventoB igual probabilidadede ocorrer A mais a probabilidade de ocorrer B menos a probabilidade de ocorrer A e B.Logo temos:P (A B) = P (A) + P (B) P (AB)IPC: P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C).Exemplo:Vamos retirar uma bola de uma urna que contm 20 bolas numeradas de 1 a 20 e considerar os eventos:A: obteno de divisor de 16 n (A) = 5 {1, 2, 4, 8, 16}B: obteno de divisor de 18. n (B) = 6 {1, 2, 3, 6, 9, 18}O espao amostral n (E) = 20 { 1, 2, 3, ... , 19, 20}Observe que h elementos que satisfazem: Apenas o evento A: 4, 8, 16. Apenas o evento B: 3, 6, 9, 18. O evento A e o evento B: 1, 2 (A B) O evento A ou o evento B: 4, 8, 16, 3, 6, 9, 18, 1, 2. (A B)Estatstica II 1 Parte.8Professor Alusio LimaLogo podemos dizer que: Ocorrncia do evento A e do evento B dada por A B. Ocorrncia do evento A ou do evento B dada por A B.Assim temosP (A) = 205P(B) = 206P (A B) = 202P(A B) = 209Com isso esses resultados mostram que P(A B) = P (A) + P (B) P (A B)OBS Eventos Mutuamente ExclusivosSe A e B so conjuntos disjuntos, isto , A B = , os eventos A e B so ditos mutuamente exclusivos. Neste caso, se A ocorre, no pode ocorrer B e P (A B) = 0Ex.: Se A um evento extrao de um s de um baralho e B o da extrao de um rei, A e B so mutuamente exclusivos, pois s e reis no podem ser extrados ao mesmo tempo.Assim temos neste caso, como n (A B) = 0 e P(A B) = 0 vm que: P (A B) = P (A) + P(B) P (A B) P (A B) = P (A) + P (B).5) Probabilidade CondicionalSejaEumespaoamostral finitoeno-vazioeAumeventono-vaziodeE. Suponhamos que o evento A tenha ocorrido e que queiramos saber qual a probabilidade de ocorrer um outro evento B no vazio de E.Essa nova probabilidade indicada por P(B/A) e dizemos que ela a probabilidade de B condicionada ao fato de que A j ocorreu ou simplesmente, que a probabilidade condicional de B em relao a A.Temos, nesse caso, uma mudana de espao amostral. (IPC) A probabilidade de B ser em relao ao espao amostral A e o elemento procurado de B dever pertencer a B A; portanto, a nova probabilidade :Estatstica II 1 Parte.9Professor Alusio Lima) / ( A B P = ) () (A PA B P 6) Probabilidade da Interseco de Eventos. Independncia de Eventos.Se dois eventos A e B que ocorremnum mesmo espao amostral, so independentes entre si (a ocorrncia de umno influi na ocorrncia do outro), a probabilidade de ocorrncia de A e B igualao produto das probabilidades de cada um desses eventos. Assim podemos dizer que a probabilidade da interseco de dois eventos, A e B, no vazios igualao produto da probabilidade de um deles pela a probabilidade do outro em relao quele, ou seja:P (A B) = P (A) . P(B/A) = P (B) . P(A/B)Caso os eventos sejam independentes, ou seja, quando a ocorrncia de um deles no influi na ocorrncia do outro, teremos P (A/B) = P (A) e P (B/A) = P (B) e, da podemos escrever que:P (A B) = P (A) . P (B)7) Teorema de BayesTambm chamado deTeorema da Probabilidadea Posteriore.Ele relaciona uma das parcelas da probabilidade total com a prpria probabilidade total.Sejam A1, A2, ...,An eventos que formam uma partio do espao amostrale B um evento associado a .Ento aplicando-se a definio de probabilidade condicional, tem-se que a probabilidade de Ai dado B :P(Ai / B) = ) () (B PB Ai P = niAi B P Ai PAi B P Ai P1) / ( ). () / ( ). (Exerccio Exemplo.1) Numa universidade, 60 % dos alunos so homens (H) e 40% so mulheres (M). Dentre os homens, 45 % estudam na rea de tecnologia (T) enquanto somente 15 % das mulheres pertencem a essa rea. Escolhe-se, ao acaso, uma ficha dentre as fichas dos alunos de tecnologia. Qual a probabilidade de que a ficha seja uma mulher?Estatstica II 1 Parte.10Professor Alusio LimaP(M/T) = 1818 , 045 , 0 . 60 , 0 15 , 0 . 40 , 015 , 0 . 40 , 0) / ( ). ( ) / ( ). () / ( ). (++ H T P H P M T P M PM T P M PExerccios de Aplicao.1) Retirando-se uma bola de uma urna que contm 15 bolas numeradas de 1 a 15, quala probabilidade de se obter :a) Um nmero par. d) Um nmero maior ou igual a 9.b) Um nmero mpar. e) Um nmero primo. c) Um nmero menor do que 10R.: a) 157b) 158c) 53d) 157e)522) Lanando-se simultaneamente dois dados, qual a probabilidade de:a) Ocorrerem nmeros iguais?b) Obter um nmero divisvel pelo outro?R.: a) 61b) 18113) Duas moedas honestas e um dado so lanados simultaneamente. Qual a probabilidade de sair o resultado:a) ca, co, 2 ?b) ca, ca, 2 ?c) de sair moedas iguais com um nmero par ?R: a) 241b) 241c) 1234) A probabilidade de chover no Farol 0,2 nesta poca do ano. Escolhidos dois dias ao acaso, qual a chance de:a) No chover em nenhum dos dias?b) Chover um dia?Estatstica II 1 Parte.11R: a) 0,64 b) 0,32 c) 0,36 Professor Alusio Limac) Chover pelo menos um dia?5) Lanam-se simultaneamente dois dados. Qual a probabilidade de se obter 6 no 1, se a soma deve ser maior que 8? R: 2 /56) Vinte peas,12 das quais soperfeitas e8 defeituosas, so inspecionadas umaaps a outra. Se essas peas forem extradas ao acaso, qual ser a probabilidade de que:a) As duas primeiras peas sejam defeituosas? 0,147b) As duas primeiras sejam perfeitas e a terceira defeituosa? 0,1547) Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 so scios de um clube, 300 de um clube B e 200 de ambos.Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso der scia de A ou de B.0,508) MetadedoseleitoresdoRiodejaneiroconstitudodemulherese60%doseleitores votaram no ltimo pleito eleitoral. Determinar a probabilidade de selecionar aleatoriamente, no cadastro geral de eleitor, uma mulher que tenha votado nas ltimas eleies. 0,309) Uma unidade universitria composta de trs departamentos e emtodos eles h profissionaisdosdoissexos.Sabe-seque nodepartamentoA 10sohomense25so mulheres, no departamento B 15 so homens e 5 mulheres e no departamento C 15 so homens e 10 so mulheres. Calcule a probabilidade de formar aleatoriamente uma comisso de trs membros, um oriundo de cada departamento em que:a) Todos os membros sejam do mesmo sexo. 0,20b) Haja pelo menos um homem na comisso. 0,9286c) Haja no mais do que duas mulheres. 0,928610) Trs revistas A, B e C so publicadas por uma editora. Uma pesquisa com os eleitores indica que 25 % assinam A, 50 % assinam B e 25 % assinam C. Dentre os assinantes, verificou-se a preferncia dos estudantes: dos que assinam A, 80 % so estudantes; dos que assinam B, 50%soestudantesedosqueassinamC, 20%soestudantes. Umleitor fazuma reclamao quanto entrega da revista.a) Qual a probabilidade dele ser um estudante? 0,50Estatstica II 1 Parte.12Professor Alusio Limab) Dado que estudante, qual a probabilidade de ser assinante da revista C?0,1011) A probabilidade de que uma pessoa X resolva um exerccio de 40%, e a probabilidade de que uma pessoa Y resolva o mesmo exerccio de 25 % . Qual a probabilidade de que ambas resolvam o exerccio? 0,1012) Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidades 40% e 30 %, respectivamente, de acertar. Nestas condies, a probabilidade de apenas uma delas acertar ser de quantos por cento? 0,4613) Numa sala existem seis casais; entre estas 12 pessoas, duas so selecionadas ao acaso.a) Qual a probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa? 1 / 11b) Qual a probabilidade de selecionarmos dois homens? 5 / 2214) Trscrianasdosexomasculinoetrsdosexofemininosochamadasaoacasopara submeterem-se a umexame biomdico. Qual a probabilidade de seremchamadas, alternadamente, crianas de sexo diferentes? 0,1015) Uma caixa contm 6 parafusos bons e 4 defeituosos. Quatro so retirados ao acaso, sem reposio. Calcule a probabilidade de:a) Todos serem bons; 1/14b) Todos serem defeituosos; 1/210c) 2 serem bons e 2 defeituosos; 3/7d) Ao menos um ser bom.? 209 / 21016) Cinco homens e cinco mulheres so dispostos em fila indiana. Qual a probabilidade de que:a) A primeira pessoa da fila seja homem? 0,50b) A primeira e a ltima pessoa da fila sejam homens? 2/917) Uma turma tem 25 alunos dos quais 40% so meninas. Escolhendo-se, ao acaso, um entre todos os grupos de 2 alunos que se podem formar com os alunos dessa turma, determine a probabilidade de que este seja composto por uma menina e um menino. 1/2Estatstica II 1 Parte.13Professor Alusio Lima18) De uma caixa com 10 lmpadas, das quais 6 esto boas, retiram-se 3 lmpadas ao acaso e que so testadas a seguir. Qual a probabilidade de que: a) Todas acedam? 1 / 6b)Pelo menos uma lmpada acenda? 29/30Captulo 3Variveis Aleatrias Discretas.1) Introduo.Emmuitosestudoscientficos, interessanosmedir algumfenmeno, tal como peso de uma pessoa, rendimento familiar etc. Quando se fala em medida, o que se est fazendoatribuir acadafenmenoumparticular nmero. Por isso, daqui parafrente, estaremos interessados numa funo que associa eventos a nmeros reais.Definio: Seja um A um evento do espao amostral . A funo X que possui como domnio o espao amostrale como imagem o conjunto RxR definida como varivel aleatria X. X: RNotao:Navarivel aleatriausamosletrasmaisculasX, Y, Zetc. Contudo, quando estamosrepresentandooparticular valor queessavarivel aleatriaassume, usaremos letras minsculas x, y, z etc.2) Variveis Aleatrias Discretas.Seja X uma varivel aleatria. Se o nmero de valores possveis de X for finito ou infinito enumervel, isto . Se os valores possveis de X podem ser postos lista como x1, x2,... xn ento X ser denominada varivel aleatria discreta.Exemplo: X o nmero de caras no lanamento de 3 moedas.3) Funo Densidade de Probabilidade.Definio: f uma funo densidade de probabilidade (fdp) da varivel aleatria (v.a) X se:f(x) 0 e f(xi) = 1 para X uma v.a. discreta com xi RxPropriedade: Se X for uma v.a. discreta, f(x) = f(xi) = P(X = xi)Estatstica II 1 Parte.14Professor Alusio Lima4) Varivel Aleatria Bi Dimensional.Seja um espao amostral e w um evento de . Considere X e Y duas funes, cada uma associando um nmero real a cada resultado w , ento X = X(w) e Y = Y(w). Denomina-se (X,Y) uma varivel aleatria bidimensional (ou vetor aleatrio).OBS: Varivel Aleatria Bidimensional Discreta.(X, Y) ser uma varivel aleatria discreta bidimensional se os valores possveis de (X, Y) forem finitos ou infinitos enumerveis, isto , os valores possveis de (X, Y) podem ser representados por (xi, yj), i = 1, 2, ..., n e j = 1, 2 ... m.A cada resultado possvel (xi, yj) associaremos um nmero p(xi,yi) = P(X = xi, Y = yj) satisfazendo as seguintes condies:a) p(xi, yj) 0 para todo (xi, yj) ou f(x, y) 0b) p(xi, yj) = 1Afunopdefinidaparatodo(xi, yj)nocontradomniode(X, Y) denominada funo de probabilidade conjunta de (X, Y).Define-seaprobabilidademarginal, queconsiderasomenteumavarivel como sendo:f(x) = P(X = xi) = p(xi, yj) e f(y) = P(y = yj) = p(xi, yj)5) Variveis Aleatrias Independentes.Da mesma maneira que definimos o conceito de independncia de dois eventos A e B, agora definiremos o de variveis aleatrias independentes. Intuitivamente, pretendemos dizer queXeYsovariveisaleatriasindependentesquandooresultadodeY, por exemplo, de modo algum influencia o resultado de X. P(X = xi, Y = yj) = P(X = xi,). P (Y = yj)Teorema: Seja(X, Y) umav.a. discretabidimensional, XeYsoindependentesse, e somente se:Estatstica II 1 Parte.15Professor Alusio LimaP(X = xi/ Y= yj) = P(X= xi) para todo I e j.6) Valor Esperado ou Esperana de uma Varivel Aleatria Discreta.Definio: Seja X uma varivel aleatria discreta com valores possveis x1, x2,..., xn. O valor esperado de X denotado por E(X) definido como:E(X) = xi . P(X = xi) = xi . p(xi)NotequeE(X) podeser consideradocomoumamdiaaritmticadosvalores possveis x1, x2, .., xn. Neste caso deve-se considerar a probabilidade de xicomo sendo a freqncia relativa de xi.OBS: Propriedades do Valor Esperado.Seja X uma varivel aleatria discreta e a uma constante.P1. E(a) = aP2. E(aX) = a.E(X)P3. E(X + Y) = E(X) + E(Y)P4. E(Y / X) = y p(y/x) (Esperana Condicional)P5. E(XY) = xy p (x, y)P6. Se X e Y so independentes, ento E(XY) = E(X). E(Y)IPC: Se X e Y no so independentes, ento E(XY) E(X) . E(Y) e a diferenaE(XY) E(X). E(Y)utilizadacomomedidadedependnciaentreXeY. Essamedidaa covarincia entre X e Y.Logo:Cov (X, Y) = E(XY) E(X) . E(Y)SeXeYsoindependentescov(X, Y) =0. Arecprocanemsempre verdadeira. Estatstica II 1 Parte.16Professor Alusio Lima7) Varincia de uma Varivel Aleatria Discreta.Avarinciadeumav.a. medeavariabilidadedestaemrelaoaoseuvalor esperado. Seja X uma v.a. Definimos a varincia de X por V(X) ou Var(X) por:Var (X) =( )2X E -[ ]2) ( X EAvarinciade uma varivel aleatriaa varinciade dados agrupados em freqnciaoumeclasse, considerandoaprobabilidadedexicomosendoafreqncia relativa de xi e E(X) com a mdia aritmtica de X.Damos o nome de Desvio Padro DP (X) a raiz quadrada da Varincia de X.OBS: Propriedades da Varincia.Seja X uma varivel aleatria e a uma constante.P1. Var (X + a) = Var (X)P2. Var (aX) = a2.Var(X)P3. Var (a) = 0P4. Var (X Y) = Var (X) + Var(Y) 2cov(X, Y)P5. Se X e Y forem independentes, Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)Estatstica II 1 Parte.17Professor Alusio LimaExerccios de Aplicao. 1) Considere o lanamento de uma moeda honesta 3 vezes. Seja X a v.a. que representa o nmero de caras obtidas. Determine a funo densidade de probabilidade de X.2) Considere o lanamento de dois dados. Seja X a varivel aleatria que representa a soma dos valores obtidos.a) Calcule a P(X ser par)b) Determine a fdp de X3) Um clube possuiscios cujos filhos tm entre 15 e 18 anos (v.a.X). A varivel aleatria Y medeainstruoatravsdosanoscompletosdeestudo. Parafazer umapesquisade satisfao com o clube, selecionou-se um filho de scio. Pergunta-se qual a probabilidade:a) De ter 17 anosb) De ter 8 anos completos de estudo c) De ter 9 anos completos de estudo, dado que tem 18 anosY = 7 Y = 8 Y = 9X = 15 12 10 3 25X = 16 5 30 6 41X = 17 2 5 9 16X = 18 1 5 12 1820 50 30 1004) Suponha que uma mquina seja utilizada para determinada tarefa durante a manh e para uma tarefa diferente durante tarde. Seja X o n de vezes que a mquina pra com defeito Estatstica II 1 Parte.18Professor Alusio Limade manh e Y o n de vezes que a mquina pra com defeito tarde. X e Y independentes? Justifique.X = 0 X = 1 X = 2 P(Y)Y = 0 0,10 0,20 0,20Y = 1 0,04 0,08 0,08Y= 2 0,06 0,12 0,12P(X)5) Calcule o valor esperado da seguinte varivel aleatria.X: 123 4 5 6P(X): 61para todo x .6) Calcule E(X),E(3X) e E (X+ 1) onde X:X 1 2 3 4P(X) 0,2 0,3 0,4 0,17) Se E(X)=l e E(Y)=2, calcule E(Z) onde Z = 2X+4Y8) Atabela seguinte registra as rentabilidades anuais das aes das empresas 1e 2, negociadas na bolsa de valores. Mea a dependncia entre as aes das empresas e o ano.

Empresa Ano Y = 1 Y = 2X = 1 0,10 0,35X = 2 0,23 0X = 3 0 0,28X = 4 0,04 09) Calcule a varincia da varivel aleatria abaixo: X 1 2 3 45P(X) 0,2 0,2 0,2 0,20,2Estatstica II 1 Parte.19Professor Alusio Lima10) Se E(X2) = 40 = E(Y2), E(X) = 5 e E(Y) = 4 e E(XY) = 30, calcule:a) E (3X + 8)b) Var (3X + 8)c) Var (X + Y)11) Se E(X) = 1 e E(Y) = 2, Var(X) = Var(Y) = 4 calcule var(Z) onde Z = 2X + 4Y e X e Y so independentes.12) Considere a seguinte funo de probabilidade conjunta de X e Y:Y = -2 Y = -1 Y = 4 Y = 5X = 1 0,1 0,2 0 0,3X = 2 0,2 0,1 0,1 0a) Calcule a distribuies marginais de X e Yb) Calcular E(X), E(Y) e E(XY)c) Calcule Var(X) e Var{Y)d) Calcule cov(X,Y)e) X e Y so independentes? Por qu?13) Um caa-nquel tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada disco tem 10 figuras:4 mas,3 bananas, 2 pras e I laranja. Uma pessoa paga R$ 80,00 e aciona a mquina. Se aparecerem 2 mas, ganha R$ 40,00. Se aparecerem 2 bananas, ganha R$ 80,00; R$ 140,00 se aparecerem 2 pras e ganha R$ 180,00 se aparecerem 2 laranjas. Qual a esperana de ganho numa nica jogada?14) Na produode umapeaso empregadas duasmquinas.Aprimeirautilizadapara efetivamente produzir as peas, e o custo de produo de R$ 50,00 por unidade. Das peas produzidas nessa mquina, 90% so perfeitas. As peas defeituosas (produzidas na primeiramquina) socolocadasnasegundamquinaparaatentativaderecuperao (tom-las perfeitas). Nessa segunda mquina o custo por pea de R$ 25,00, mas apenas 60% das peas so de fato recuperadas. Sabendo que cada pea perfeita vendida por R$ Estatstica II 1 Parte.20Professor Alusio Lima90,00, equecadapeadefeituosavendidapor R$20,00, calculeolucropor pea esperado pelo fabricante.15) Um supermercado faz a seguinte promoo: o cliente, ao passar pelo caixa, lana um dado. Se sair face 6 tem um desconto de 30% sobre o total de sua conta. Se sair 5 o desconto de 20%. Se ocorrer face 4 de 10%, e se ocorrerem faces 1, 2 ou 3 o desconto de 5%. Calcular o desconto mdio concedido.16) As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que v ao litoral num sbado so respectivamente : 0,05, 0,20, 0,40 e 0,10. Qual o nmero mdio de pessoas por carro? Se chegarem no litoral 4000 carros por hora, qual o nmero esperado de pessoas, em 10 horas de contagem?17) Um banco pretende aumentar a eficincia de seus caixas. Oferece um prmio de R$ 150,00 para cada cliente atendido alm de 42 clientes por dia. O banco tem um ganho operacional de R$ 100,00 para cada cliente atendido alm de 41. As probabilidades de atendimento so dadas na tabela abaixo. Quala esperana de ganho do banco se este novo sistema for implantado?N ClientesAt 41 42 43 44 45 46Probabilidade 0,88 0,06 0,04 0,010,006 0,004Estatstica II 1 Parte.21Professor Alusio LimaCaptulo 5Distribuies Tericas de Probabilidades deVariveis Aleatrias Discretas.1) Distribuio de Bernoulli.Consideremos uma nica tentativa de um experimento aleatrio. Podemos ter sucesso ou fracasso nessa tentativa.Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p + q = 1. Seja X:nmero de sucessos em uma nica tentativa do experimento.X assume o valor0 (zero)que corresponde ao fracasso, comprobabilidadeq,ou o valor1 (um),que corresponde ao sucesso, com probabilidade p.X = 'sucessofracasso10 com P (X = 0) = q e P(X = 1)= pNessascondiesavarivel aleatriaXtemdistribuiodeBERNOULLI,esua funo de probabilidade dada por:P(X = x) = px.q1-xOBS:E(X) = PVAR (X) = pqEstatstica II 1 Parte.22Professor Alusio Lima2) Distribuio Geomtrica.Consideremostentativassucessivaseindependentesdeummesmoexperimento aleatrio. Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q; p + q = 1.SejaX:nmerodetentativasnecessriasao aparecimento doprimeirosucessoLogo,X assume os valores:X = 1, que corresponde ao sucesso (S) e P (X = 1) = pX = 2, que corresponde ao fracasso (F) na 1 tentativa e sucesso na segunda, (FS) e P (X = 2) = P (F S) = q . p;X = 3, que corresponde a (FFS) e P (X = 3) = P (FFS) = q.q.p = q2.p;X = 4, que corresponde a (FFFS) e P(X = 4) = q3 . p; e assim sucessivamente,X = x, que corresponde a FF ... FS com xFS FF... comP(X = x) = qx-1.pA varivel X tem ento distribuio geomtrica.OBS: E(X) = p1VAR(X) = 2pq3) Distribuio de Pascal. Suponhamosqueumexperimentoaleatriosejarepetidoindependentementeat que um evento A ocorra pela r-sima vez.Seja P (A) = p (sucesso)e P (A) = q (fracasso) em cada tentativa do experimentoSeja X: nmero de repeties necessrias para que A ocorra pela r-sima vez.Se r = 1, X tem distribuio geomtrica.Se X = x, o evento A ocorre pela r-sima vez na repetio de nmero x. Logo A ocorre(r -1) vezes nas (x- 1) repeties anteriores.P(X = x) =

,_

11rxpr.qx r , x rA varivel X assim definida tem distribuio de Pascal.Estatstica II 1 Parte.23Professor Alusio LimaOBS: E(X) = prVAR(X) = 2prq4) Distribuio Binomial.Consideremosntentativasindependentesdeummesmoexperimentoaleatrio. Cada tentativa admite apenas dois resultados: fracasso com probabilidades q e sucesso com probabilidade p,p + q = 1. As probabilidades de sucesso e fracasso so as mesmas para cada tentativa.Seja X: nmero de sucessos em n tentativas.Determinaremos afunodeprobabilidades davarivel X, isto, P(X=k). Considerando todas as n plas com k sucessos, temos:P (X = k) = k n kq pkn

,_

.A varivelX tem distribuio binomial, com parmetros n e p, e indicaremos pela notao:X: B (n, p)Obs:E(X) = n.pVAR(X) = n.p.q5) Distribuio de Poisson.Muitas vezes, no uso da binomial, acontece que n muito grande (n ) e p muitopequeno(p). Nessescasosnoencontramosovaloremtabelas,ouentoo clculo toma-se muito difcil, sendo necessrio o uso de mquinas de calcular sofisticadssimasouentodecomputador. Podemosentofazer umaaproximaoda binomial pela distribuio de Poisson.Consideremos:1. n (maior que o maior valor tabelado, n > 30)Estatstica II 1 Parte.24Professor Alusio Lima2. p 0 (p < 0,1)3. 0 < 10Quando isso ocorre, a mdia = np ser tomada como np = Consideremos aprobabilidadedeocorrnciadesucessosemumdeterminado intervalo. Aprobabilidadedaocorrnciadeumsucessonointervaloproporcional ao intervalo. A probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo bastante pequena com relao probabilidade de um sucesso.Seja X o nmero de sucessos no intervalo, ento:!.) (kek X Pk onde a mdia. A varivel X assim definida tem distribuio de Poisson.A distribuio de Poisson muito usada na distribuio do nmero de:1. carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia;2. erros tipogrficos por pgina, em um material impresso;3. defeitos por unidade (m2, m3, m, etc.,) por pea fabricada;4. colnias de bactrias numa dada cultura por 0,01 mm2, numa plaqueta de microscpio;5. mortes por ataque de corao por ano, numa cidade. aplicada tambm em problemasde filas de espera em geral, e outros.OBS:E(X) = VAR (X) = Exerccios 1) Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa uma. Seja X: nmero de bolas verdes, calcular E (X) e VAR (X) e determinar P (X).2) Aprobabilidadedeseencontraraberto osinal detrnsitonumaesquina0,20. Quala probabilidade de que seja necessrio passar pelo local 5 vezes, para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? 3) Aprobabilidadedequeumsinal detrnsitoestejaabertonumaesquina0,20. Qual a probabilidade de que seja necessrio passar pelo local10 vezes para encontr-lo aberto pela 4 vez? Estatstica II 1 Parte.25Professor Alusio Lima4) Numacriaodecoelhos, 40%somachos. Qual aprobabilidadedequenasampelo menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos? 5) Uma urna, tem 6 bolas brancas, 4 pretas e 5 azuis. Retiram-se 8 bolas com reposio. Qual a probabilidade de sair 4 bolas brancas, 2 pretas e 2 azuis? 6) Num livro de 800 pginas h 800 erros de impresso. Quala probabilidade de que uma pgina contenha pelo menos 3 erros? 7) Seja X: B (200; 0,01). Calcular P(X = 10) usando Poisson.8) A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma nica fecha de 0,20. Lana 30 fechas no alvo. Qual a probabilidade de que:a) Exatamente 4 acertem o alvo? b) Pelo menos 3 acertem o alvo?9) Uma urna tem 20 bolas pretas e 30 brancas. Retiram-se 25 bolas com reposio. Qual a probabilidade de que:a) 2 sejam pretas? b) Pelo menos 3 sejam pretas? 10) Uma urna tem 10 bolas brancas e 40 pretas.a) Qual a probabilidade de que a 6a. bola retirada com reposio seja a 1a. branca? b) Qual a probabilidade de que a 15 bola extrada com reposio seja a 6a. branca? c) Qual aprobabilidadedequeem30bolasretiradascomreposioocorramno mximo 2 brancas? 11)Qual a probabilidade de que no 25 lanamento de um dado ocorra a face 4 pela 5a. vez? 12)Numa estrada h 2 acidentes para cada 100 Km. Qual a probabilidade de que em :a) 250 Km ocorram pelo menos 3 acidentes?b) 300 Km ocorram 5 acidentes?Estatstica II 1 Parte.26Professor Alusio Lima13)Um lote de aparelhos de TV recebido por uma firma. 20 aparelhos so inspecionados. O lote rejeitado se pelo menos 4 forem defeituosos. Sabendo-se que 1 % dos aparelhos defeituoso, determinara a probabilidade de a firma rejeitar todo o lote.14) Aexperinciamostraquedecada400lmpadas, 2queimamaoseremligadas. Qual a probabilidade de que numa instalao de:a) 600 lmpadas, no mnimo 3 se queimarem?b) 900 lmpadas, exatamente 8 se queimarem? 15) Umafirmarecebe720mensagensemseufaxem8horasdefuncionamento. Qual a probabilidade de que:a) Em 6 minutos receba pelo menos 4 mensagens?b) Em 4 minutos no receba nenhuma mensagem? 16) Considere 10 tentativas independentes de um experimento. Cada tentativa admite sucesso com probabilidade 0,05. Seja X: nmero de sucessos:a) Calcular P (1 < X 4)b) Considere 100 tentativas independentes. Calcular P (X 2)17)Sabe-se que 20 % dos animais submetidos a um certo tratamento no sobrevivem .Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X o nmero de no-sobreviventes a) Qual a distribuio de X?b) E(X) e VAR (X) . c) Calcular P(2 < X 4)d) Calcular P (X > 2) 18)Um tcnico visita clientes que compraram assinatura de um canaldeTvpara verificar o decodificador. Sabe-se, por experincia, que90%dessesaparelhosnoapresentam defeitos.a) Determinar a probabilidade de que me 20 aparelhos pelo menos 17 no apresentem defeitos. b) Se a probabilidade de defeito for de 0,0035, qual a probabilidade de que em 2000 visitas ocorra no mximo 1 defeito?1) 2/5 e 6/252) 0,08192Estatstica II 1 Parte.27Professor Alusio Lima3) 0,0352324) 0,999485) 0,084956) 0,0803027) 0,0000388) a) 0,13252 b) 0,955819) a) 0,00038 b) 0,9995710) a) 0,065536 b) 0,008599 c) 0,0441911) 0,0356412) a) 0,875348 b) 0,16062313) 0,0000414) a) 0,57681 b) 0,04633015) a) 0,978774 b) 0,00247916) a) 0,08607 b) R: 0,12465217) a) B: (20; 0,2) b) 4 e 3,2 c) 0,42356 d) 0,9308218) a) 0,86705 b) 0,007295GABARITOCaptulo I1) 2/52) a) 0,347 b) 0,1543) 5/64) 1/25) 1/466566) 3/107) a) 0,20 b) 0,9286 c) 0,92868) a) 0,32 b) 0,889) No. Sim10) 0,5011) 0,3012) a) 0,50 b) 0,1013) 19%14) 10%15) a) 0,75% b) 4,25%Estatstica II 1 Parte.28Professor Alusio Lima16) 0,4617) 2%18) 8/11Captulo 21) a) 1 / 11 b) 5 / 22 9) 1/ 2 b) 2/ 92) 1 / 10000 10) 1/ 23) 10 / 21 11) 1/ 94) 10 % 12) a) 1/ 6b) 29 / 305) a) 1 / 14b) 1 / 210c) 3 / 7d) 209 / 210 13) 1 / 26) 1 / 307) 180 / 8998) 1,38 %Captulo 31) f(x) = 1/8 se x = 0 ou x = 33/8 se x = 1 ou x = 22) a) 0,5 b) X 1 2 3 45P(X) 0,2 0,2 0,2 0,20,23) a) 0,16 b) 0,50 c) 0,674) Sim, pois P(X = xi, Y = yi) = P(X = xi) . P(Y = yj) para todo i e j.5) 3,56) 2,4; 7,2; 3,47) 108) 0,013339) 210) a) 23 b) 135 c) 5911) 8012) a) P(X): 0,60,4 P(Y): 0,3 0,3 0,1 0,3 b) 1,4; 1;0,9c) 0,24; 0,96d) - 0,50e) No13) R$ 59,0014) R$ 34,70Estatstica II 1 Parte.29Professor Alusio Lima15) 12,5 %16) 3,15; 126.00017) 7,3018) 75.600,00Captulo 419) 2/5 e 6/2520) 0,0819221) 0,03523222) 0,9994823) 0,0849524) 0,08030225) 0,00003826) a) 0,13252 b) 0,9558127) a) 0,00038 b) 0,9995728) a) 0,065536 b) 0,008599 c) 0,0441929) 0,0356430) a) 0,875348 b) 0,16062331) 0,0000432) a) 0,57681 b) 0,04633033) a) 0,978774 b) 0,00247934) a) 0,08607 b) R: 0,12465235) a) B: (20; 0,2) b) 4 e 3,2 c) 0,42356 d) 0,9308236) a) 0,86705 b) 0,00729537) Melhor o preo de R$ 20,00 por caixa pois E(Y) = 10,72.Estatstica II 1 Parte.30