Estatística aplicada ao Serviço Social unid II

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Unidade II

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-12

Unidade II5 ConCeitos básiCos de Probabilidade

5.1 Conceitos fundamentais

Em um experimento aleatório, isto é, sujeito às leis do acaso, podemos conceituar:

Espaço Amostral (S) é o conjunto de todos os resultados possíveis, enquanto n(S) é o número de elementos do espaço amostral.

Exemplos:

a) No lançamento de uma moeda, temos S = {cara,coroa}.

n(S) = 2

b) No lançamento de um dado, temos S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

n(S) = 6

c) Ao retirar uma carta de um baralho convencional, temos S = {A, 2, 3,.., K}.

n(S) = 52

Evento (E): é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Está relacionado com o experimento aleatório em questão. n(E) é o número de resultados possíveis do evento.

Exemplos:

a) No lançamento de uma moeda, o evento é sair coroa na face superior. Logo, E = {coroa}.

n(E) = 1

b) No lançamento de um dado, o evento é sair um número par na face superior. Logo, E = {2,4,6}.

n(E) = 3

c) Ao retirar uma carta de um baralho convencional, o evento é sair a carta Ás de Espadas (A ♠). Logo, E ={ A ♠}.

n(E) = 1

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ESTATÍSTICA

Probabilidade (P): é a razão (divisão) entre o número de elementos (ou resultados) favoráveis a um determinado evento (E) e o número total de elementos (ou resultados) do espaço amostral (S).

Pn En S

= ( )( )

Exemplos:

1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de:

• sair o número 3:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S) = 6E = {3}n(E) = 1

P = 16

• sair um número par:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S) = 6E = {2, 4, 6}n(E) = 3

P = =36

12

• sair um múltiplo de 3:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S) = 6E = {3, 6}n(E) = 2

P = =26

13

• sair um número menor ou igual a 4:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

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n(S) = 6E = {1, 2, 3, 4}n(E) = 4

P = =46

23

• sair um número maior que 6:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S) = 6E = {Ø} = vazion(E) = 0

P = =06

0 (Evento impossível)

• sair um número menor ou igual a 6:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S) = 6E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(E) = 6

P Evento certo= = =66

1 100% ( )

2. Considere um baralho comum de 52 cartas. Calcule a probabilidade de, ao retirar uma carta aleatoriamente, sair uma carta do naipe copas (♥).

n(S) = 52

Observação: Em um baralho convencional, são treze cartas para cada naipe.

n(E) = 13

P = =1352

14

3. Considere o lançamento dois dados simultaneamente. Calcule a probabilidade de:

• sair um par de pontos iguais:

Observação: Se para um dado n(S) = 6

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ESTATÍSTICA

Para 2 dados n(s) = 62 = 36

Para 3 dados n(s) = 63 = 216

n(S) = 36E = {1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6}n(E) = 6

P = =636

16

• sair a soma 8:

n(S) = 36E = {2,6 6,2 4,4 3,5 5,3}n(E) = 5

P = 536

• sair a soma 12:

n(S) = 36E = {6,6}n(E) = 1

P = 136

4. Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola, calcule a probabilidade de:

• sair bola azul:

n(S) = 6 + 10 + 4 = 20 (total de bolas da urna)n(E) = 6

P = =636

310

• sair bola vermelha:


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P = =1020

12

• sair bola amarela:


P = =420

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observação

O cálculo de probabilidade pode ficar tanto na forma fracionária quanto na decimal. Na fracionária, mantemos a fração simplificada, e na decimal dividimos a fração. Assim, após a divisão, se o quociente for multiplicado por 100, teremos a probabilidade percentual de o evento ocorrer.

5.2 eventos complementares

Se P é a probabilidade de um evento ocorrer (sucesso), Q é a probabilidade de que o mesmo evento não ocorra (insucesso). Para obter Q, que é complementar de P, temos:

P + Q = 1 (100%)

Logo:

Q = 1 - P

Exemplo: se a probabilidade de um evento ocorrer é de 1/5, a probabilidade de o mesmo evento não ocorrer é calculada por:

Q = −115

Para resolver a expressão, pode-se utilizar o cálculo do MMC ou proceder da maneira a seguir (mais simples) para o resultado Q.

• Manter o denominador da probabilidade (P = 1/5). No caso, o valor 5.

Q =5

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ESTATÍSTICA

• No numerador, colocar o número que falta para que o numerador e o denominador tenham os mesmos valores. No caso, o numerador é igual a 1. É preciso adicionar mais 4 unidades para que o numerador fique igual a 5.

Logo:

Q = 45

Esse exercício também pode ser resolvido sob a forma de porcentagem (que também é muito simples, porém requer o uso de calculadora), conforme já lembrado:

P

Q

Q x

= =

= − == =

15

0 20

1 0 20 0 80

0 80 100 80

,

, ,

, %

5.3 eventos independentes

Dois eventos são independentes quando a realização de um deles não afeta a probabilidade de realização do outro, e vice-versa.

A probabilidade de os eventos se realizarem simultaneamente é dada por:

P = P1 x P2

Onde P1 e P2 são os eventos independentes (também chamados de eventos produto).

Exemplos:

a) Lançando dois dados, qual é a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e um número par no segundo dado?

P

P

P

116

236

16

36

336

112

=

=

= ⋅ = =

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b) Temos duas caixas com bolinhas nas seguintes quantidades:

Caixa A: 10 bolinhas azuis, 15 bolinhas brancas e 30 bolinhas vermelhas. Totalizando 55 bolinhas.

Caixa B: 20 bolinhas azuis, 18 bolinhas brancas e 22 bolinhas vermelhas. Totalizando 60 bolinhas.

Retiramos uma bolinha de cada caixa. Qual é a probabilidade de ambas as bolinhas retiradas serem azuis?

Caixa A: probabilidade de uma bolinha retirada ser azul:

P11055

=

Caixa B: probabilidade de uma bolinha retirada ser azul:

P22060

=

Logo, a probabilidade de ambas serem azuis é:

P = ⋅ = = =1055

2060

2003300

0 0606 6 06, , %

5.4 eventos mutuamente exclusivos

Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um interfere na realização do outro. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o evento tirar cara e o tirar coroa são mutuamente exclusivos, pois, se um deles for realizado, o outro não será.

A probabilidade de que um ou outro evento se realize é dada por:

P = P1 + P2

Onde: P1 e P2 são os eventos mutuamente exclusivos (também chamados de eventos soma).

Exemplos:

a) Lançando um dado, qual é a probabilidade de tirar 3 ou 5 na face superior?

P

P

P

116

216

16

16

26

13

=

=

= + = =

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b) Numa caixa existem dez bolinhas idênticas, numeradas de 1 a 10. Qual a probabilidade de, ao se retirar uma bolinha, ela ser múltiplo de 2 ou de 5?

Espaço amostral:

S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} -> n(S) = 10

Evento A – múltiplos de 2:

A = {2, 4, 6, 8, 10} -> n(A) = 5

Evento B – múltiplos de 5:

B= {5,10} -> n(B) = 2

Elemento comum (intersecção) entre A e B: = {10}

observação

O elemento comum entre A e B deve ser contado apenas uma vez. Como está sendo contado duas vezes (nos dois eventos), subtrairemos um dos resultados possíveis do evento B, para evitar a contagem duplicada.

PA

PB

=

=

5102

10

Subtraindo a contagem duplicada de P2, tem-se:

PB = 110

Logo:

PB = + = = =510

110

610

0 60 60, %

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saiba mais

Neste tópico, foi mostrado apenas o básico do assunto Probabilidade, que é estudado tanto em disciplinas de Estatística quanto de Matemática. Esse assunto pode ser aprofundado, caso haja necessidade. Além de Probabilidade, vale o estudo do tópico Análise Combinatória, principalmente para quem quiser fazer concursos públicos (muito frequente nessas avaliações).

Para saber mais, leia:

RAMOS, A. W. Estatística. São Paulo: Escola Politécnica da USP, 2005.

5.4.1 Exercício resolvido

O exercício a ser resolvido envolve a maior parte dos conceitos apresentados no Tópico 5. É um tipo de exercício muito utilizado em concursos públicos e provas de admissão. Favor analisar o enunciado e a resolução pacientemente.

Uma caixa contém 20 canetas iguais, das quais 7 são defeituosas, e outra caixa contém 12, das quais 4 são defeituosas. Uma caneta é retirada aleatoriamente de cada caixa. As probabilidades de que ambas não sejam defeituosas e de que uma seja perfeita e a outra não são de:

A) 88,33% e 45,00%.

B) 43,33% e 45,00%.

C) 43,33% e 55,00%.

D) 23,33% e 45,00%.

E) 23,33% e 55,00%.

Resolução:

Caixa A

20 canetas 7 defeituosas 13 perfeitas

Caixa B

12 canetas 4 defeituosas 8 perfeitas

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ESTATÍSTICA

• Probabilidade de ambas não serem defeituosas

A probabilidade de uma ser perfeita e a outra não é dada pela situação a seguir:

A caneta da caixa A ser perfeita.

e

A caneta da caixa B ser perfeita.

Expressão: PcxaPerf e PcxbPerf

P ambas não defeituosas

Pcxa = 13/20

Pcxb = 8/12

P ambas não defeituosas

13/20 x 8/12 = 104/240 = 0,4333 = 43,33%

• Probabilidade de uma ser perfeita e a outra não

A probabilidade de uma ser perfeita e a outra não é dada pela situação a seguir:

A caneta da caixa A ser perfeita e a da B não ser.

ou

A caneta da caixa A não ser perfeita e a da B ser.

Expressão: PcxaPerf e PcxbDef ou PcxaDef e PcxbPerf

PcxaPerf = 13/20

PcxbDef = 4/12

PcxaPerf e PcxbDef = 13/20 x 4/12 = 52/240

PcxaDef = 7/20

PcxbPerf = 8/12

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PcxaDef e PcxbPerf = 7/20 x 8/12 = 56/240

P uma perfeita e outra não = PcxaPerf e PcxbDef ou PcxaDef e PcxbPerf

52/240 + 56/240 = 108/240 = 0,4500 = 45,00%

A alternativa correta é a B (43,33% e 45,00%).

6 distribuição normal de Probabilidades

6.1 Conceitos fundamentais

Dentre as várias distribuições de probabilidade existentes, neste tópico, será estudada a distribuição normal, pois apresenta grande aplicação em pesquisas científicas e tecnológicas (a maior parte das variáveis contínuas de interesse prático segue essa distribuição.) Além disso, a distribuição normal é base para boa parte dos tópicos da Estatística Avançada.

A distribuição normal é uma distribuição de variáveis aleatórias contínuas.

x

Figura 11 – Distribuição normal de probabilidades

Algumas características da distribuição normal:

• A curva tem a forma de sino.

• A curva é simétrica em relação à média.

• A área abaixo da curva é igual a 1 (100%). Portanto, é composta de duas partes de 50%: a parte com valores abaixo da média e a parte com valores acima da média.

• Para desenhar a curva normal (também chamada de curva de Gauss), dois parâmetros são necessários: média e desvio-padrão.

• A função de Gauss que descreve a curva é dada por:

ƒ( )( )

exp( )

.xx= − −

1

2 22

2

2πσ

µσ

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ESTATÍSTICA

Onde:

µ = x = média

σ♥= s = desvio-padrão

lembrete

Os cálculos da média e do desvio-padrão (das três abordagens possíveis: para dados não agrupados e para tabelas de frequência sem e com intervalo) já foram detalhadamente mostrados nos tópicos 3 e 4, respectivamente.

• Para calcular as probabilidades utilizando a distribuição normal, existem duas maneiras bem conhecidas:

— Calcular a integral definida da função de Gauss, para a região da curva em estudo.

P X x e dx

xx

( )

( )

≤ =−∞

− −

∫ 1

2

2

2 2

σ π

µ

σ

— Utilizar a tabela normal (a seguir), e uma simples expressão para calcular o escore z. O escore z é um valor intermediário para busca na tabela normal visando obter a probabilidade desejada. Note que para obter o escore z basta possuir os valores da média e desvio-padrão.

zx x

s= −

Tabela 72 – Tabela normal de probabilidades

Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

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1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993

3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995

3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997

3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998

3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

- Obviamente utilizaremos a tabela para os exercícios, pois, para resolver a integral, o aluno precisaria, no mínimo, ter cursado as duas primeiras disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral.

- Para trabalhar com a tabela normal a partir de um valor de z calculado, devemos seguir os exemplos:

Exemplo 1:

z = 1,27

Para buscar na tabela normal, z será separado em dois valores:

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ESTATÍSTICA

• O primeiro inteiro e a primeira casa decimal = 1,2 (valor 1)

• A segunda casa decimal = 7 (valor 2)

• O valor 1 será buscado nos valores de linha da tabela e o valor 2 será buscado nos valores de coluna da tabela normal. O cruzamento de linha e coluna fornece a probabilidade desejada para o valor de z.

Tabela 73 – Esboço da tabela normal de probabilidades

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0

0,1

0,2

0,3

...

1,2 0,3980

...

Logo, P = 0,3980 = 39,80%

Exemplo 2:

z = -0,64

Como a curva normal tem simetria em relação à média, basta considerar o valor de z sem o sinal negativo e obter P conforme o Exemplo 1.

Valor 1 = 0,6

Valor 2 = 4

P = 0,2389 = 23,89%

Exemplo 3:

z = 3

Como a tabela normal trabalha com valores de z com duas casas decimais, basta adaptar o valor de z para as duas casas.

Valor 1 = 3,0

Valor 2 = 0

P = 0,4987 = 49,87%

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observação

Para valores de z com mais de duas casas decimais, bastar arredondar para duas casas decimais e utilizar a tabela.

Exercício introdutório

Os comprimentos das peças produzidas por certa máquina apresentaram as seguintes medidas estatísticas:

Média = 2,00 cm

Desvio-padrão = 0,04 cm

Qual é a probabilidade de uma peça retirada aleatoriamente do lote analisado ter comprimento entre 2,00 cm e 2,05 cm?

Passo 1: determinar a região de interesse da curva (de acordo com o enunciado). Recomenda-se fortemente desenhar a curva normal com os dados do exercício.

2 2,05

Figura 12 – Curva normal com os dados do exercício introdutório

Passo 2: como a região de interesse é composta pelo valor 2,05 e pela média (no eixo horizontal), calcule o valor do escore z usando a expressão a seguir e os dados do enunciado.

zx x

s

z

= −

= − = =2 05 20 04

0 050 04

125,

,,,

,

Passo 3: com o valor de z, obter a probabilidade utilizando a tabela normal.

z=1,25

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ESTATÍSTICA

Buscando na tabela normal (na linha 1,2 e coluna 5)

P = 0,3944 = 39,44%

A probabilidade de uma peça retirada aleatoriamente do lote analisado ter comprimento entre 2,00 cm e 2,05 cm é de 39,44%.

observação

Este tópico é base para todo o estudo de Estatística Aplicada ou avançada. Compreender a curva normal e o cálculo de probabilidades com essa curva permite entender os vários modelos de amostragem e geração de estimativas para uma população a partir de dados de uma amostra, bem como os conceitos de controle estatístico de processo.

6.1.1 Exercícios resolvidos

1. A duração de certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio-padrão de 40 dias. Sabendo que a duração é normalmente distribuída, calcule a probabilidade de esse componente durar:

a) Entre 850 e 1000 dias

b) Entre 800 e 950 dias

c) Mais que 750 dias

d) Menos que 700 dias

e) Mais que 850 dias

Média = 850

Desvio-padrão = 40

a)

850 900 950 1000

Figura 13 – Curva normal com os dados do exercício 1a

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Análise: a área de interesse sob a curva está entre a média e 1000 dias. Logo, é possível obter diretamente a probabilidade.

z = − = =1000 85040

15040

3 75,

Buscando na tabela normal (linha 3,7 e coluna 5):

P = 0,4999 = 49,99%

b)

800 850 900 950

Figura 14 – Curva normal com os dados do exercício 1b

Análise: a área de interesse sob a curva está entre 800 e 950 dias. Como a fórmula de z funcionará apenas se um dos valores do intervalo for a média, o cálculo será feito em duas partes (a primeira de 800 até a média – chamada de z1 – e a segunda da média até 950 – chamada de z2). Após obter as probabilidades, bastar somar os seus valores.

z = − = − = −800 85040

5040

125,

Buscando na tabela normal, sem considerar o sinal negativo (linha 1,2 e coluna 5):

P1 = 0,3944 = 39,44%

z2950 850

4010040

2 5= − = = ,

Buscando na tabela normal (linha 2,5 e coluna 0):

P2 = 0,4938 = 49,38%

A probabilidade será obtida somando-se P1 e P2:

P = 39,44%+49,38% = 88,82%

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ESTATÍSTICA

c)

750 800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200

Figura 15 – Curva normal com os dados do exercício 1c

Análise: a área de interesse sob a curva está para valores superiores a 750 dias. Como a fórmula de z funcionará apenas se um dos valores do intervalo for a média, será calculada a parte de 750 até a média. A parte superior à média tem probabilidade de 50% (pela definição da curva normal) e não necessita de cálculo. Em seguida, basta somar as probabilidades.

z = − = − = −750 85040

10040

2 5,

Buscando na tabela normal, sem considerar o sinal negativo (na linha 2,5 e coluna 0):

P = 0,4938 = 49,38%

O resultado será obtido somando a probabilidade encontrada com os 50% da parte superior da curva (acima da média):

P = 49,38%+50% = 99,38%

d)

500 550 600 650 700

Figura 16 – Curva normal com os dados do exercício 1d

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Análise: a área de interesse sob a curva está para valores inferiores a 700 dias. Como a fórmula de z funcionará apenas se um dos valores do intervalo for a média, será calculada a parte de 700 até a média. Porém, a parte de interesse é exatamente o restante da curva (cauda esquerda). Logo, para obtê-la, basta subtrair 50% da probabilidade calculada.

z = − = − = −700 85040

15040

3 75,

Buscando na tabela normal, sem considerar o sinal negativo (linha 3,7 e coluna 5):

P = 0,4999 = 49,99%

Subtraindo 50% para obter a cauda da curva, tem-se:

P = 50% - 49,99% = 0,01%

e)

850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200

Figura 17 – Curva normal com os dados do exercício 1e

Análise: a área de interesse sob a curva está para valores superiores à média. Pela definição da curva normal, a probabilidade é de 50% para valores acima da média e 50% para valores abaixo da média. Logo, não há a necessidade de cálculo.

P = 50%

2. Do total de 970 estudantes que prestaram um exame de admissão, apenas 3% foram aprovados. A nota média foi 5,5, e o desvio-padrão, 1,8. Sabendo que as notas seguem a distribuição normal, qual foi a nota de corte?

lembrete

A nota de corte é a nota que separa os aprovados dos reprovados em alguma avaliação.

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ESTATÍSTICA

Análise:

Aprovados: 3%

Reprovados: 97% (50% com notas abaixo da média e 47% com notas acima da média).

Média = 5,5

Desvio-padrão = 1,8

x (nota de corte)

3% (aprovados)

47% = 0,4700

5,5

Figura 18 – Curva normal com os dados do exercício 2

Na Figura 18 foi indicada a região dos aprovados (3%). Como esta é a cauda da curva, será utilizada a região que vai da média até o início dos aprovados (47%), isto é, notas acima da média, porém menores que a nota de corte indicada na figura pela letra x.

47% = 0,4700

Buscando esse valor na parte central da tabela normal, foi encontrado o mais próximo, dado por:

0,4699 = 46,99%

Esse valor está alocado na linha 1,8 e na coluna 8 da tabela normal, logo:

z = 1,88

Substituindo os valores na fórmula do escore z, encontraremos o valor de x, que é a nota de corte desejada.

zx x

sx

= −

= −188

5 518

,,

,

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Manipulando algebricamente a expressão:

1,88 . 1,8 = x - 5,5

3,384 = x - 5,5

-x = -5,5 - 3,384

-x = -8,384

x = 8,384

A nota de corte para esse exame foi de aproximadamente 8,4. Portanto, os candidatos cuja nota ultrapassou os 8,4 fazem parte dos 3% aprovados.

7 Correlação linear

7.1 Conceitos e diagrama de dispersão

Em Estatística, a correlação é um parâmetro que indica o grau de correspondência entre duas variáveis (neste estudo, simbolizadas por x e y).

• Exemplos:

— salário de um trabalhador X escolaridade do trabalhador;

— quantidade de livros que uma pessoa já leu X escolaridade;

— horas de estudo X nota na prova;

— temperatura de um forno X tempo de cozimento no forno;

— velocidade do carro X tempo para chegar ao destino.

A correlação pode ser:

• Positiva: dada pela relação direta entre as variáveis (se a variável x aumentar, a variável y também aumentará, e vice-versa). Exemplos:

— salário de um trabalhador X escolaridade do trabalhador;

— quantidade de livros que uma pessoa já leu X escolaridade;

— horas de estudo X nota na prova.

• Negativa: dada pela relação inversa entre as variáveis (se a variável x aumentar, a variável y tenderá a diminuir, e vice-versa). Exemplos:

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ESTATÍSTICA

— temperatura de um forno X tempo de cozimento no forno;

— velocidade do carro X tempo para chegar ao destino.

De posse dos valores das variáveis x e y, podemos verificar a correlação entre elas utilizando um gráfico de dispersão.

Exemplo 1: Número de anos que a pessoa estudou (xi) e número de livros que a pessoa já leu (yi).

Tabela 74 – Tabela de duas variáveis (número de anos de estudo X número de livros que a pessoa já leu) para obtenção do diagrama de dispersão

Xi 3 5 7 9 10 14 16

Yi 1 2 3 5 7 10 13

Construindo um gráfico cartesiano que associa as variáveis x e y, temos o diagrama de dispersão.

14

12

10

8

6

4

2

0

yi

xi0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Diagrama de Dispersão

Figura 19 – Diagrama de dispersão para o Exemplo 1

lembrete

Gráfico cartesiano é aquele em que cada ponto é obtido por meio de um valor x e do seu correspondente y (par ordenado). Em softwares de Matemática/Estatística, é chamado de gráfico de dispersão.

O perfil do gráfico é linear, pois se assemelha a uma reta ascendente, mesmo que quase perfeitamente. Este é um indicativo de que existe correlação entre as variáveis. Se a reta cruzasse perfeitamente todos os pontos, teríamos uma correlação linear perfeita.

Como a reta é ascendente, a correlação é positiva entre as variáveis, isto é, um aumento de x resultará em um aumento de y, e vice-versa.

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Exemplo 2: preço do produto (xi) e demanda (procura) desse produto (yi) na prateleira de um supermercado qualquer.

Tabela 75 – Tabela de duas variáveis (preço X demanda de um produto)para obtenção do diagrama de dispersão

Xi 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00

Yi 40 35 20 13 8 3

454035302520151050

yi

xi

1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2

Diagrama de Dispersão

Figura 20 – Diagrama de dispersão para o Exemplo 2

O perfil do gráfico é linear, pois se assemelha a uma reta descendente, mesmo que quase perfeitamente. Logo, existe correlação entre as variáveis.

Como a reta é descendente, a correlação é negativa entre as variáveis, isto é, um aumento de x resultará em uma diminuição de y, e vice-versa.

8 CoefiCiente de Pearson

Podemos verificar o quanto duas variáveis estão relacionadas entre si por meio do cálculo de um parâmetro. Esse parâmetro indica:

• se a correlação é positiva ou negativa, por meio do seu sinal (relação direta ou inversa entre as variáveis);

• a “força” da correlação, por meio de seu valor (módulo).

Esse parâmetro é o coeficiente de correlação de Pearson (conhecido como coeficiente linear), indicado por r e calculado por:

rn xi yi xi yi

n xi xi n yi yi= ⋅ ⋅ − ⋅

⋅ − ⋅ ⋅ −

Σ Σ Σ

Σ Σ Σ Σ( ( ) ) ( ( ) )2 2 2 2

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ESTATÍSTICA

Os possíveis valores de r variam de -1 a 1. A classificação mais detalhada do coeficiente é mostrada a seguir:

• r = -1,00: correlação negativa perfeita.

• r = -0,75: correlação negativa forte.

• r = -0,50: correlação negativa média.

• r = -0,25: correlação negativa fraca.

• r = 0,00: correlação linear inexistente.

• r = +0,25: correlação positiva fraca.

• r = +0,50: correlação positiva média.

• r = +0,75: correlação positiva forte.

• r = +1,00: correlação positiva perfeita.

Para entender o coeficiente de Pearson, serão calculados os coeficientes de correlação linear para os dois exemplos abordados nos diagramas de dispersão.

Exemplo 1: número de anos que a pessoa estudou (xi) e número de livros que a pessoa já leu (yi).

Tabela 76 – Tabela de duas variáveis (número de anos de estudo X número de livros que a pessoa já leu) para obtenção do coeficiente de Pearson

Xi Yi

3 1

5 2

7 3

9 5

10 7

14 10

16 13

Uma maneira simples de calcular r é criar as colunas xi.yi, xi2 e yi2, e em seguida somar todas as colunas (∑).

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Tabela 77 – Tabela de duas variáveis (número de anos de estudo X número de livros que a pessoa já leu) para obtenção do coeficiente de Pearson, com os cálculos efetuados

Xi Yi Xi · Yi Xi2 Yi2

3 1 3 9 1

5 2 10 25 4

7 3 21 49 9

9 5 45 81 25

10 7 70 100 49

14 10 140 196 100

16 13 208 256 169

64 41 497 716 357

Com a tabela devidamente preenchida, o cálculo de r pela fórmula pode ser efetuado.

rn xi yi xi yi


⋅ − ⋅ ⋅ −

Σ Σ Σ

Σ Σ Σ Σ( ( ) ) ( ( ) )2 2 2 2

Onde:

n = 7∑xi.yi = 497∑xi = 64∑yi = 41∑xi2 = 716∑ yi2 = 357

r

r

= −

− ⋅ −

= −−

7 497 64 41

7 716 64 7 357 41

3479 2694

5012 4

2 2

. .

( . ( ) ) ( . ( ) )

( 0096 2499 1681

855

916 818

855

749288

855865 61

) ( )

( ) ( )

.

⋅ −

=⋅

= =

r

r

r = 0,988 (correlação positiva muito forte)

Exemplo 2: Preço do produto (xi) e demanda (procura) desse produto (yi) na prateleira de um supermercado qualquer.

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ESTATÍSTICA

Tabela 78 – Tabela de duas variáveis (preço X demanda de um produto)para obtenção do coeficiente de Pearson

Xi Yi

2 40

2,2 35

2,4 20

2,6 13

2,8 8

3 3

Gerando as colunas e calculando os somatórios, temos:

Tabela 79 – Tabela de duas variáveis (preço X demanda de um produto) para obtenção do coeficiente de Pearson, com os cálculos efetuados

Xi Yi Xi.Yi Xi² Yi²

2 40 80 4 1600

2,2 35 77 4,84 1225

2,4 20 48 5,76 400

2,6 13 33,8 6,76 169

2,8 8 22,4 7,84 64

3 3 9 9 9

15 119 270,2 38,2 3467

r

n xi yi xi yi


⋅ − ⋅ ⋅ −

Σ Σ Σ

Σ Σ Σ Σ( ( ) ) ( ( ) )2 2 2 2

Onde:n = 6∑xi.yi = 270,2∑xi = 15∑yi = 119∑xi2 = 38,2∑ yi2 = 3467

r

r

= −

− ⋅ −

= −

6 270 2 15 119

6 38 2 15 6 3467 119

16212 178

2 2

. , .

( . , ( ) ) ( . ( ) )

, 55

229 2 225 20802 14161

163 8

4 2 6641

163 8

2789

( , ) ( )

,

( , ) ( )

,

− ⋅ −

= −⋅

=

r

r22 2

163 8167 01,

,,

=

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r

r

= −

− ⋅ −

= −

6 270 2 15 119

6 38 2 15 6 3467 119

16212 178

2 2

. , .

( . , ( ) ) ( . ( ) )

, 55

229 2 225 20802 14161

163 8

4 2 6641

163 8

2789

( , ) ( )

,

( , ) ( )

,

− ⋅ −

= −⋅

=

r

r22 2

163 8167 01,

,,

=

r = 0,981 (correlação negativa muito forte)

saiba mais

Após o cálculo do coeficiente de correlação entre duas variáveis, pode-se estabelecer um modelo que explica o seu comportamento mútuo. Esse modelo é obtido pelo estudo de Regressão Linear.

Para conhecer melhor esse assunto, leia:

MORETTIN, L. G. Estatística básica. São Paulo: Makron Books, 1999.

resumo

Nesta Unidade abordamos introdutoriamente o conceito de probabilidade. Vale lembrar que existem disciplinas somente voltadas para esse assunto.

Inicialmente foram definidos os termos espaço amostral e evento, para podermos então conceituar probabilidade como o quociente entre o número de resultados favoráveis a um determinado evento e o total de resultados de um evento.

Em seguida, o assunto estudado foi eventos complementares, o qual pode ser definido pela probabilidade de um evento não ocorrer (lembrando que se somarmos a probabilidade de um evento ocorrer com a de não ocorrer, teremos 100% como resultado).

Estudamos também o cálculo para eventos independentes (em que um não interfere na realização do outro, obtido pelo produto das probabilidades dos eventos isolados) e os eventos mutuamente exclusivos (em que um anula a realização do outro, obtido pela soma das probabilidades dos eventos isolados).

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ESTATÍSTICA

Abordamos introdutoriamente a utilização da distribuição normal de probabilidades. Esta é definida como uma distribuição de variáveis aleatórias contínuas, representada pela curva de Gauss.

Vimos que é possível trabalhar com a curva de Gauss com duas medidas já estudadas neste material, a média e o desvio-padrão do conjunto de dados em estudo.

Foram resolvidos dois tipos de exercício utilizando a curva normal (ou de Gauss): o primeiro consistia na determinação do pedaço de interesse da curva e posterior consulta na tabela normal, para obtenção da probabilidade; o segundo, na identificação de um porcentual na curva, novamente consultando a tabela, para identificar qualquer ponto dar curva no eixo horizontal (além da média, que já é o centro da curva).

Além disso, foi apresentado um estudo sobre o comportamento mútuo de duas variáveis qualitativas, definido com correlação. Para abordar a correlação entre duas variáveis, foram estudados dois métodos: a construção de um diagrama de dispersão (gráfico cartesiano) e o cálculo de um coeficiente de correlação, chamado de coeficiente de Pearson. Ambos indicavam a força da correlação e se esta era direta (se o valor da primeira variável aumenta, o da segunda também aumenta e vice-versa) ou inversa (se o valor da primeira variável aumenta, o da segunda diminui e vice versa). Destacamos que o coeficiente de Pearson só pode ter valores de -1 até 1, para correlações negativas (inversas) ou positivas (diretas).

exercícios

Questão 01. Determine a probabilidade de cada evento.

a) Um número par aparecer no lançamento de um dado.

b) Uma figura aparecer ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas.

c) Uma carta de ouros aparecer ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas.

d) Uma só coroa aparecer no lançamento de 3 moedas.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Resolução:

a)

n(S) = 6

n(E) = 3

P = =36

12

b)

n(S) = 52

figura (dama, valete e o rei) de 4 naipes (ouro, copas, espada e paus)

n(E) = 3x4=12

P = =1252

313

c)

n(S) = 52

um baralho possui 13 cartas de ouro (A,2,3,4,....,10,Q,J,K)

n(E) = 13

P = =1352

14

d)

n(S) = 23=8 (3 moedas)ca ca caca ca coca co coca co caco co coco co caco ca caco ca co

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ESTATÍSTICA

n(E) = 3

P = 38

Questão 02. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3,... 49, 50. Determine a probabilidade de:

a) O número ser divisível por 5.

b) O número terminar em 3. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

a)

n(S) = 50

Divisíveis por 5 (5,10,15,20,25,30,35,40,45,50)

n(E) = 10

P = =1050

15

b)

n(S) = 50

Terminar em 3 (3,13,23,33,43)

n(E) = 5

P = =1050

110

Questão 03. Dois dados são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de:

a) A soma ser menor que 4.

102

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- 1

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b) A soma ser 9.

c) O primeiro resultado ser maior que o segundo.

d) A soma ser menor ou igual a 5.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

a)

n(S) = 62 = 36

Soma menor que 4 (soma 3 ou 2: 2+1,1+2,1+1)

n(E) = 3

P = =336

112

b)

n(S) = 62=36

Soma 9 (4+5,5+4,3+6,6+3)

n(E) = 4

P = =436

19

c)

n(S) = 62 = 36

Primeiro resultado maior que o segundo

2,1 3,1 3,2 4,1 4,2 4,3 5,1 5,2 5,3 5,4

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5

103

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amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

ESTATÍSTICA

n(E) = 15

P = =1536

512

d)

n(S) = 62 = 36

Soma menor ou igual a 5 (Soma 2, Soma 3, Soma 4 ou Soma 5)

Soma 2 = 1 + 1

Soma 3 = 1 + 2 2 + 1

Soma 4 = 2 + 2 1 + 3 3 + 1

Soma 5 = 1 + 4 4 + 1 2 + 3 3 + 2

n(E) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

P = =1036

518

Questão 04. No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de se obter um par de pontos distintos?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

n(S) = 62 = 36

Sabe-se que para pares de pontos iguais

11 22 33 44 55 66

n(E) = 6

P = =636

16

104

Unidade II

Revi

são:

Jul

iana

- D

iagr

amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

Logo, a probabilidade para obtermos um par de pontos distintos é o complemento do evento (Q).

Q P= − = − =1 116

56

Questão 05. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o número 6 ou um número ímpar?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

n(S) = 6

n(E) = 6 ou 1, 3, 5 = 4

P = =46

23

Questão 06. Uma urna contém 50 bolas idênticas. Sendo as bolas numeradas de 1 a 50, determine a probabilidade de, em uma extração ao acaso:

a) Obtermos a bola de número 27.

b) Obtermos uma bola de número par.

c) Obtermos uma bola de número maior que 20.

d) Obtermos uma bola de número menor ou igual a 20.

Resolução:

n(S) = 50

a)

P = 2750

b)

P = =1450

725

105

Revi

são:

Jul

iana

- D

iagr

amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

ESTATÍSTICA

c)

P = =3050

35

d)

P = =2050

25

Questão 07. Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais duas apresentam defeitos.

a) Se um freguês vai comprar uma geladeira, qual é a probabilidade de levar uma defeituosa?

b) Qual a probabilidade de o freguês comprar uma geladeira não defeituosa?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

n(S) = 12 (10 boas e 2 com defeito)

a)

P = =212

16

b)

Q P= − = − =1 116

56

Questão 08. Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:

a) A peça não tenha defeitos graves.

b) A peça não tenha defeitos.

c) A peça seja boa ou tenha defeitos graves.

106

Unidade II

Revi

são:

Jul

iana

- D

iagr

amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

n(S) = 16 (10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves)

a)

P = =1416

78

b)

P = =1016

58

c)

P = =1216

34

Questão 09. Retirando-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de sair rei ou uma carta de copas?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

n(S) = 52

Conjunto A: Rei = 4

Conjunto B: Copas = 13

n(E) = 17

107

Revi

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- D

iagr

amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

ESTATÍSTICA

Excluindo o Rei de Copas (presente em ambos os conjuntos)

n(E) = 17 - 1 = 16

P = =1652

413

Questão 10. Retiramos sem reposição três cartas de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que as três sejam vermelhas (copas ou ouros)?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

Probabilidade de a primeira carta ser vermelha:

P vermelho( ) = 2652

Probabilidade de a segunda carta ser vermelha:


Probabilidade de a terceira carta ser vermelha:


Probabilidade de as cartas três serem vermelhas:

P x x= = = =2652

2551

2450

15600132600

0 1176 1176, , %

Questão 11. Um teste padronizado de escolaridades tem distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 10. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido a esse teste ter nota:

a) Maior que 120.

b) Maior que 80.

108

Unidade II

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ão: F

abio

- 1

7-08

-12

c) Entre 85 e 115.

d) Maior que 100.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

Média = 100

Desvio-padrão = 10

a)

z = − =120 10010

2 00,

Pesquisando na tabela - 0,4772

P = 0,5 - 0,4772 = 0,0228 = 2,28%

b)

z = − = −80 10010

2 00,


P = 0,4772 + 0,5 = 0,9772 = 97,72%

c)

z185 100

10150= − = − ,


z2115 100

10150= − = ,

109

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- 1

7-08

-12

ESTATÍSTICA


P = 0,4332 + 0,4332 = 0,8664 = 86,64%

d)

50% (pela definição da curva normal)

Questão 12. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média de 65,3 kg e desvio-padrão de 5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam:

a) Entre 60 kg e 70 kg.

b) Mais de 63,2 kg.

c) Menos de 68 kg.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

Média = 65,3


a)

z160 65 3

5 50 96= − = −,

,,


z270 65 3

5 50 85= − = −,

,,


P = 0,3315 + 0,3023 = 0,6338 = 63,38%

110

Unidade II

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- 1

7-08

-12

b)

z = − = −63 2 65 35 5

0 38, ,

,,


P = 0,1480 + 0,50 = 0,6480 = 64,80%

c)

z = − = −68 65 35 5

0 49,

,,


P = 0,50 + 0,1879 = 0,6879 = 68,79%

Questão 13. Numa cidade com população de 10 mil pessoas, a variável peso tem os seguintes parâmetros: média de 68 kg e desvio-padrão de 5 kg. Responda:

a) Quantas pessoas têm peso acima de 78 kg?

b) Quantas pessoas têm peso entre 72 kg e 78 kg?

c) Quantas pessoas têm peso entre 68 kg e 72 kg?

d) Quantas pessoas têm peso entre 64 kg e 68 kg?

e) Quantas pessoas têm peso abaixo de 64 kg?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

n = 10.000 pessoas

Média = 68 kg

Desvio-padrão = 5 kg

111

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- 1

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-12

ESTATÍSTICA

a)

z = − =78 685

2 00,


P = 0,50 - 0,4772 = 0,0228 = 2,28%

2,28% de 10.000 = 228 pessoas

b)

z172 68

50 80= − = ,


z278 68

52 00= − = ,


P = 0,4772 - 0,2881= 0,1891 = 18,91%

18,91% de 10.000 = 1981 pessoas

c)

z = − =72 685

0 80,


P = 0,2881= 28,81%

28,81% de 10000 = 2881 pessoas

d)

z = − = −64 685

0 80,

112

Unidade II

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- 1

7-08

-12


P = 0,2881= 28,81%

28,81% de 10.000 = 2881 pessoas

e)

50% (pela definição da curva normal)

50% de 10.000 = 5.000 pessoas

Questão 14. O período de falta ao trabalho em um mês por causa de doença dos empregados é normalmente distribuído, com uma média de 60 horas e desvio-padrão de 10 horas. Qual a probabilidade de esse período, no próximo mês, estar entre 50 e 80 horas?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

Média = 60

Desvio-padrão = 10

z150 60

101 00= − = − ,


z280 60

102 00= − = ,


P = 0,3413 + 0,4772 = 0,8185 = 81,85%

Questão 15. Um fabricante informa que os seus pacotes de biscoito contêm 100 g. Dados estatísticos do processo de empacotamento demonstraram que a distribuição de peso é normal e possui uma média de 104 g por pacote, com um desvio-padrão de 6 g. Qual é a probabilidade de o cliente ser lesado?

113

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- 1

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-12

ESTATÍSTICA

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

Média = 104 g

Desvio-padrão = 6 g

z = − = −100 1046

0 67,


P = 0,5 - 0,2486 = 0,2514 = 25,14%

Questão 16. Uma empresa fabricante de detergentes declara que seus produtos contêm 354 ml. A máquina envasadora é ajustada para um volume médio de 356 ml. Considerando que o conteúdo de um frasco seja normalmente distribuído com uma média igual a 356 ml e desvio-padrão de 1,63 ml, determine a probabilidade de que um frasco aleatoriamente selecionado contenha menos que o conteúdo oficial anunciado.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

Média = 356 ml

Desvio padrão = 1,63 ml

z = − = −354 356163

123,


P = 0,5 - 0,3907 = 0,1093 = 10,93%

114

Unidade II

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abio

- 1

7-08

-12

Questão 17. Uma pesquisa realizada com 10 mil habitantes de uma comunidade apresentou os seguintes resultados: peso médio de 50,6 kg e desvio-padrão de 5,8 kg. Supondo que a distribuição seja normal, determine a quantidade de pessoas que pesam abaixo de 45 kg e acima de 68 kg.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

n = 10.000

Média = 50,6 kg

Desvio-padrão = 5,8 kg

z145 50 6

5 80 97= − = −,

,,


Logo, a probabilidade é de 0,5 - 0,3340 = 0,1660

z268 50 6

5 83 00= − =,

,,


Logo, a probabilidade é de 0,5 - 0,4987 = 0,0013

P = 0,1660 + 0,0013 = 0,1673 = 16,73%

16,73% de 10.000 = 1673 pessoas

Questão 18. Os 60 alunos de uma turma da faculdade responderam a um teste de inteligência, sendo o conjunto das notas normalmente distribuído, com média 100 e desvio-padrão 15. Qual foi o QI correspondente a 10% dos alunos com resultados mais baixos?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

115

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- 1

7-08

-12

ESTATÍSTICA

Resolução:

Média = 100

Desvio-padrão = 15

10% dos alunos com resultados mais baixos (abaixo da média)

40% = 0,4000

Buscando o valor de z na tabela normal (0,3997)

z = -1,28

− = −

− ⋅ = −− = −− = − +− = −

128100

15128 15 100

19 20 100

100 19 20

80

,

,

,

,

x

x

x

x

x ,,

,

80

80 80x =

Questão 19. O departamento de marketing de uma empresa resolve premiar 5% dos seus vendedores mais eficientes. Um levantamento das vendas individuais por semana mostrou que estas distribuíam-se normalmente com média de R$ 240.000,00 e desvio-padrão de R$ 30.000,00. Qual o volume de vendas mínimo que um vendedor deve realizar para ser premiado?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

Média = R$ 240.000,00

Desvio-padrão = 30.000,00

5% dos vendedores mais eficientes (acima da média)

45% = 0,4500

116

Unidade II

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iagr

amaç

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abio

- 1

7-08

-12


z = 1,65

165240000

300003 00

165 30000 240000

49500 240000

, ,

,

= − =

⋅ = −= −

−

x

x

x

x == − −− = −

=

49500 240000

289500

289500

x

x

Questão 20. Um concurso público foi prestado por 3 mil pessoas. A nota média foi 6,0, e o desvio-padrão, 1,4. Sabendo que as notas apresentaram uma distribuição normal e que existem somente 60 vagas, qual foi a nota mínima para aprovação?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Resolução:

Média = 6,0


3.000 candidatos – 60 vagas

2% dos candidatos, com as maiores notas, serão aprovados (acima da média).

48% = 0,4800


z = 2,05

2 056

14,

,= −x

1,4 . 2,05 = x - 6 2,87 = x - 6

117

Revi

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amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

ESTATÍSTICA

-x = -6 - 2,87

-x = -8,87

x = 8,87

Questão 21. Dadas as seguintes tabelas:

Tabela 80 – Valores para peso real e peso aparente

Peso real Peso aparente

18 10

30 23

42 33

62 60

73 91

97 98

120 159

Tabela 81 – Valores para xi e yi

xi yi

11 13

14 14

19 18

19 15

22 22

28 17

30 24

31 22

34 24

37 25

Determine:

a) O diagrama de dispersão.

b) O coeficiente de Pearson.

118

Unidade II

Revi

são:

Jul

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- D

iagr

amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

Resolução:

a)

200

150

100

50

00 20 40 60 80 100 120 140

Figura 21

Tabela 82

xi yi xi.yi xi² yi²

18 10 180 324 100

30 23 690 900 529

42 33 1386 1764 1089

62 60 3720 3844 3600

73 91 6643 5329 8281

97 98 9506 9409 9604

120 159 19080 14400 25281

442 474 41205 35970 48484

r = −

− ⋅ −

7 41205 442 474

7 35970 442 7 48484 4742 2

. .

( . ( ) ) ( . ( ) )

r = 0,886 (correlação positiva forte)

b)

30

25

20

15

10

5

00 5 10 15 20 25 30 35 40

yi

Figura 22

119

Revi

são:

Jul

iana

- D

iagr

amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

ESTATÍSTICA

Tabela 83


11 13 143 121 169

14 14 196 196 196

19 18 342 361 324

19 15 285 361 225

22 22 484 484 484

28 17 476 784 289

30 24 720 900 576

31 22 682 961 484

34 24 816 1156 576

37 25 925 1369 625

245 194 5069 6693 3948

r = −

− ⋅ −

10 5069 245 194

10 6693 245 10 3948 1942 2

. .

( . ( ) ) ( . ( ) )

r = 0,981 (correlação positiva muito forte)

Questão 22. Foi feita uma pesquisa contando com a participação de seis adolescentes de 14 anos. Nessa pesquisa, foram feitas duas indagações:

• Quantos livros você leu no mês de março?

• Por quantas horas você jogou video game no mês de março?

Os resultados estão listados a seguir:

Tabela 84 – Resultados da pesquisa com os adolescentes

Número de horas jogando video game Número de livros lidos

16 6

30 4

60 4

100 2

120 1

150 0

120

Unidade II

Revi

são:

Jul

iana

- D

iagr

amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

Determine o diagrama de dispersão e o coeficiente de Pearson.

Resolução:

7

6

5

4

3

2

1

0

yi

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Figura 23

Tabela 85


16 6 96 256 36

30 4 120 900 16

60 4 240 3600 16

100 2 200 10000 4

120 1 120 14400 1

150 0 0 22500 0

476 17 776 51656 73

121

Revi

são:

Jul

iana

- D

iagr

amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

ESTATÍSTICA

r = ⋅ − ⋅

⋅ − ⋅ ⋅ −

6 776 476 17

6 51656 476 6 73 172 2( ( ) ) ( ( ) )

r = - 0,975 (correlação negativa muito forte)

Questão 23. Em uma escola, o professor fez uma pesquisa contando com a participação de cinco alunos. Nessa pesquisa, foram feitas duas indagações:

• Por quantas horas você estudou para a prova de Matemática?

• Que nota você tirou na prova de Matemática?

Os resultados estão listados a seguir:

Tabela 86 – Resultado da pesquisa com os alunos

Tempo de estudo (em horas) Nota da prova

0 2

1 5

2 6

3 7

4 10

Determine o diagrama de dispersão e o coeficiente de Pearson.

122

Unidade II

Revi

são:

Jul

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- D

iagr

amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

Resolução:

12

10

8

6

4

2

0

yi

0 1 2 3 4 5

Figura 24

Tabela 87


0 2 0 0 4

1 5 5 1 25

2 6 12 4 36

3 7 21 9 49

4 10 40 16 100

10 30 78 30 214

r = ⋅ − ⋅

⋅ − ⋅ ⋅ −

5 78 10 30

5 30 10 5 214 302 2( ( ) ) ( ( ) )

r = - 0,976 (correlação positiva muito forte)

Questão 24. Dadas as tabelas de dados experimentais a seguir, determine o coeficiente de correlação:

a)Tabela 88 – Peso (em toneladas) e quantidade de peças com defeito

Peso (ton) Nº de peças defeituosas

1 2

1,5 4

2 5

2,5 8

3 9

123

Revi

são:

Jul

iana

- D

iagr

amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

ESTATÍSTICA

b)

Tabela 89 – Número de casos de problemas respiratórios considerando a temperatura (em graus Celsius)

Temperatura (°C) N° de casos de problemas respiratórios

7 18

13 11

19 8

25 5

31 2

c)

Tabela 90 – Nota no exame de acordo com o tempo de estudo (em horas)

Tempo de estudo (h) Nota no exame

2 4

4 5

6 7

8 7

10 9

d)

Tabela 91 – Tempo de preparo (em minutos) de acordo com a temperatura (em graus Celsius)

Temperatura (°C) Tempo de preparo (min)

70 14

80 11

90 8

100 7

110 5

124

Unidade II

Revi

são:

Jul

iana

- D

iagr

amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

Resolução:

a)Tabela 92


1 2 2 1 4

1,5 4 6 2,25 16

2 5 10 4 25

2,5 8 20 6,25 64

3 9 27 9 81

10 28 65 22,5 190

r = −

− ⋅ −

5 65 10 28

5 22 5 10 5 190 282 2

. .

( . , ( ) ) ( . ( ) )


b)Tabela 93


7 18 126 49 324

13 11 143 169 121

19 8 152 361 64

25 5 125 625 25

31 2 62 961 4

95 44 608 2165 538

r = −

− ⋅ −

5 608 95 44

5 2165 95 5 538 442 2

. .

( . ( ) ) ( . ( ) )


125

Revi

são:

Jul

iana

- D

iagr

amaç

ão: F

abio

- 1

7-08

-12

ESTATÍSTICA

c)Tabela 94


2 4 8 4 16

4 5 20 16 25

6 7 42 36 49

8 7 56 64 49

10 9 90 100 81

30 32 216 220 220

r = −

− ⋅ −

5 216 30 32

5 220 30 5 220 322 2

. .

( . ( ) ) ( . ( ) )


d)Tabela 95


70 14 980 4900 196

80 11 880 6400 121

90 8 720 8100 64

100 7 700 10000 49

110 5 550 12100 25

450 45 3830 41500 455

r = −

− ⋅ −

5 3830 450 45

5 41500 450 5 455 452 2

. .

( . ( ) ) ( . ( ) )


126

FiguRAS E iluSTRAçõES

Figura 2

RAMOS, A. W. Estatística. São Paulo: Escola Politécnica da USP, 2005. p. 39.

Figura 3


Figura 4


Figura 5

CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2004. p. 69.

Figura 6


Figura 7

BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão empresarial. São Paulo: Atlas, 2007. p. 68.

Figura 8

BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão empresarial. São Paulo: Atlas, 2007. p. 69.

Figura 9


Figura 10


REFERêNCiAS

AKANIME, C. T. Estatística descritiva. São Paulo: Érica, 1998.

BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão empresarial. São Paulo: Atlas, 2007.

127

CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2004.

MARIANO, M. V. Estatística descritiva. São Paulo: Unip, 2010.

______. Estatística indutiva. São Paulo: Unip, 2010.

MOORE, D. S. Introdução à prática da Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2002.

MORETTIN, L. G. Estatística básica. São Paulo: Makron Books, 1999.

RAMOS, A. W. Estatística. São Paulo: Escola Politécnica da USP, 2005.

128

129

130

131

132

Informações:www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000

Documents

Estatística aplicada ao Serviço Social unid II