Analise Sis Lineares 1

EN 2706- Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares

Prof. Marat Rafikov Centro de Engenharia, Modelagem e

Ciências Sociais Aplicadas (CECS) E-mail: marat.rafikov@ufabc.edu.br

EN2706 - Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares

Recomendação: Instrumentação e Controle

Ementa:

1. Apresentação de sistemas dinâmicos lineares multivariáveis.

2. Descrição por equações de estado.

3. Extração dos autovalores e autovetores.

4. Estudo de estabilidade local e global.

5. Critérios de estabilidade de Lyapunov.

6. Linearização de sistemas dinâmicos não-lineares.

7. Matriz de transição de estados.

8. Observabilidade.

9. Controlabilidade.

Monteiro, L.H.A. Sistemas Dinâmicos. 2-a Edição. São Paulo:

Editora Livraria da Física, 2006.

Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno. 5-a Edição. São

Paulo: Pearson & Prentice Hall, 2010.

Zill, D.G. Equações diferenciais com aplicações em

modelagem. São Paulo: Thomson, 2003.

Bibliografia

Sistemas Lineares: Introdução

Sistemas Lineares: Introdução

Um sistema linear pode ser modelado por uma equação diferencial linear de ordem n ou por um sistema de equações lineares. A forma geral de uma equação diferencial linear de ordem n é seguinte:

)(... 012

)1(

1

)( tfxaxaxaxax n

n

n

(1)

A forma geral de um sistema de equações lineares:

)(tFAXX (2)

onde X e F são vetores de dimensão n, A é matriz de dimensão

nxn.

Apresentação de sistemas dinâmicos lineares multivariáveis

Exemplo 1

Apresentação de sistemas dinâmicos lineares multivariáveis

Descrição por equações de estado

A equação diferencial linear de ordem n

)(... 012

)1(

1

)( tfxaxaxaxax n

n

n

(1)

pode ser reescrita na forma de um sistema de n equações

lineares

)(tFAXX (2)

introduzindo n novas variáveis que chamaremos de variáveis de

estado . A escolha destes variáveis não é única. Para a equação

(1) vamos definir as variáveis como:

Descrição por equações de estado

xx 1

xx 2

. . . . . )1( n

n xx

Então, a equação (1) pode ser reescrita como

32

21

xx

xx

(3)

. . . . .

)(... 12110 tfxaxaxax nnn

Descrição por equações de estado

Escrevendo em forma vetorial - matricial temos:

)(tFAXX

onde

nx

x

x

X...

2

1

,

110 ...

............

0...00

0...10

naaa

A,

)(

...

0

0

)(

tf

tF

Descrição por equações de estado

yx 1

dtdyx /2

Então, a equação (4) pode ser reescrita como

mtumxbmxkdtdx

xdtdx

/)(///

/

212

21

(5)

Exemplo 1. Sistema massa-mola-amortecedor

(4)

Descrição por equações de estado

Descrição por equações de estado

Exemplo 2. Sistema de carrinhos interligados

Descrição por equações de estado

Descrição por equações de estado

Exercício 1. Considere o sistema mecânico,

apresentado na figura a direita.

Deduza o sistema de duas equações

diferenciais lineares da segunda ordem

que modela este sistema.

Introduzindo as variáveis de estado,

descrever o sistema

na forma de variáveis de estado.

Escrever o sistema em forma

vetorial – matricial.

Descrição por equações de estado

Exercício 2.

Considere o sistema mecânico, apresentado na figura acima. Deduza o sistema de

duas equações diferenciais lineares da segunda ordem que modela este sistema.

Introduzindo as variáveis de estado, descrever o sistema na forma de variáveis de

estado. Escrever o sistema em forma vetorial – matricial.

Estabilidade - Conceito

• O conceito de estabilidade pode ser dado a partir de uma PERTURBAÇÃO do sistema e observação da RESPOSTA do sistema e o ESTADO ESTACIONÁRIO.

Estabilidade - Conceito

• O conceito de estabilidade pode ser ilustrado considerando-se um cone de seção reta circular colocado sobre uma superfície plana.

• Se o cone estiver repousando sobre a base e for deslocado ligeiramente, retornara a sua posição de equilíbrio original. Esta posição e resposta são ditas estáveis.

• Se o cone estiver apoiado sobre a geratriz e for deslocado ligeiramente, ele rola sem nenhuma tendência a abandonar o apoio sobre a geratriz. Esta posição e designada como a estabilidade neutra.

• Se o cone for apoiado sobre o vértice e abandonado, ele cai para um dos lados. Esta posição e dita instável [1].

• Se um sistema for instável, a resposta transitória e os erros de estado estacionário deixam de ter significado.

Estabilidade - Conceito

estável neutro instável

Estabilidade - Conceito

estável neutro instável

Estabilidade - Conceito

estável neutro instável

Estabilidade segundo Lyapunov

• A estabilidade e uma das características mais importantes dos sistemas dinâmicos

• Se o sistema é LINEAR e invariante no tempo, temos a disposição vários critérios de estabilidade. Entre eles o critério de estabilidade de Nyquist, o critério de Routh (no domínio da freqüência). Se o sistema e não linear, ou linear variante do tempo, esses critérios de estabilidade não podem ser usados.

Estabilidade segundo Lyapunov

• O segundo método de Lyapunov (denominado método direto de Lyapunov) é o método mais geral para determinar a estabilidade de sistemas não lineares e/ou variantes no tempo.

• Também usado para determinar a estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo.

• Aplica-se para sistemas de qualquer ordem.

• Usando o segundo método de Lyapunov, podemos determinar estabilidade de um sistema sem resolver as equações de estado. Isto e uma vantagem porque a solução de equações de estado não lineares é geralmente muito difícil [2; 3].

Estabilidade segundo Lyapunov

• Em 1892 A. M. Lyapunov apresentou dois métodos (chamados primeiro e segundo método) para determinar a estabilidade de sistemas dinâmicos descritos por equações diferenciais ordinárias.

• O primeiro método consiste em todos os procedimentos nos quais utilizam-se a forma explicita das soluções das equações diferenciais.

• O segundo método não requer as soluções das equações diferenciais.

Estabilidade segundo Lyapunov

Estabilidade segundo Lyapunov

Estabilidade segundo Lyapunov

Estabilidade segundo Lyapunov

Estabilidade segundo Lyapunov

Estabilidade segundo Lyapunov

Estabilidade segundo Lyapunov

Estabilidade segundo Lyapunov

Estabilidade segundo Lyapunov

Estabilidade segundo Lyapunov

Estabilidade segundo Lyapunov

A equação característica da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea tem a seguinte forma:

0baλλ2 (4)

A equação (4) possui duas raízes 1 e 2 . Dependendo de valores das raízes existem

3 casos da solução geral da equação (3).

Caso 1. As raízes 1 e 2 são reais, distintas.

A solução geral da equação (3) tem a seguinte forma:

tt

C 21 eeCx(t) 21

(5)

Analisando a solução (5) podemos concluir que a solução do sistema (3) é assintoticamente estável se as raízes da equação característica (4) são negativas. Neste caso a solução (5) tende a 0 quando t . Se pelo menos uma raiz é positiva, então, a solução do sistema (3) é instável.

Para encontrar valores de constantes de integração

21 eC C temos que usar as condições iniciais

00 x(0)xexx(0) . Diferenciando (5), temos:

ttC 21 eeC(t)x 2211

(6)

Então, para t = 0 de (5) e (6) temos:

22110

210

Cx

Cx

C

C

(7)

de onde segue:

12

0102

12

0021

xx

xxC

C

Exemplo 1. Considere a equação (3) com coeficientes a = -5 e b =

6. As raízes da equação característica neste caso são 21 e

32 . A solução tt 32 e813ex(t) da equação (3) é instavel.

Exemplo 2. Considere a equação (3) com coeficientes a = 5 e b = 6. As

raízes da equação característica neste caso são 21 e 32 . A

solução tt 32 e1217ex(t) da equação (3) é estavel.

Caso 2. As raízes 1 e 2 são reais, iguais 1 = 2 = .

A solução geral da equação (3) tem a seguinte forma:

tt

tC

eeCx(t) 21 (8)

Neste caso

0e

1lim

elim)e(lim

tttt

t

t

tt

Analisando a solução (8) podemos concluir que a solução do

sistema (3) é assintoticamente estável se as raízes da equação

característica (4) são negativas. Neste caso a solução (5) tende a 0

quando t .

Se as raízes são positivas, então, a solução do sistema (3) é

instável.

Exemplo 3. Considere a equação (3) com coeficientes a = -10 e b

= 25. As raízes da equação característica neste caso são 1 52 .

A solução tt t 55 e235ex(t) da equação (3) é instavel.

Exemplo 4. Considere a equação (3) com coeficientes a = 10 e b

= 25. As raízes da equação característica neste caso são

1 52 . A solução tt t 55 e275ex(t) da equação (3) é estavel.

Caso 3. As raízes 1 e 2 são complexas conjugadas a seguinte

forma:

j

Neste caso a solução geral da equação (3) tem a seguinte forma:

tCt tt senecoseCx(t) 21 (9)

Levando em conta que as funções cos e sen em (9) são limitadas

e não influem na estabilidade, podemos concluir que a solução do

sistema (3) é assintoticamente estável se a parte real das raízes da

equação característica (4) é negativa. Neste caso a solução (9)

tende a 0 quando t .

Se a parte real das raízes é positiva, então, a solução do sistema

(3) é instável.

Exemplo 5. Considere a equação (3) com coeficientes a = -4 e b

= 53. As raízes da equação característica neste caso são

j721 j722 . A solução )7sen1429.17cos5(ex(t) 2 ttt da

equação (3) é instavel.

Exemplo 6. Considere a equação (3) com coeficientes a =

4 e b = 53. As raízes da equação característica neste caso

são j721 j722 . A solução

)7sen1429.17cos5(ex(t) 2 ttt da equação (3) é estável.

A equação diferencial de ordem n homogênea tem a seguinte forma:

0... 012

)1(

1

)(

xaxaxaxax n

n

n (10)

Sua equação característica tem a seguinte forma:

0... 01

2

2

1

1

aλaλaλaλ n

n

n (11)

A equação (11) possui n raízes nii ,...,1, .

Se as partes reais de todas as raízes são negativas, então, a solução do sistema (11) é estável. Se pelo menos uma parte real das raízes é positiva, então, a solução do sistema (11) é instável.

Estabilidade da equação diferencial de ordem n homogênea

AXX (1) Para um sistema de dimensão 2 temos:

2

1

x

xX ,

2221

1211

aa

aaA (2)

A equação característica:

02221

1211

aa

aa (3)

Calculando determinante, obtemos:

0)( 211222112211

2 aaaaaa (4) As raízes de (4) são:

j (5)

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas

Extração dos autovalores e autovetores

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas

Método Indireto de Lyapunov

Considere o seguinte sistema não-linear:

)(xfx (6) onde x e f são vetores de dimensão n. O seguinte sistema chama-se linearizado:

xAx (7) onde A é matriz jacobiana:

Estabilidade de sistemas não-lineares

n

nnn

n

n

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

A

...

............

...

...

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

. (8)

Então, denotando com i os autovalores de A (i = 1, ..., n),

podemos concluir: - A origem é assintoticamente estável se 0Re , para todo i .

- A origem é instável se 0Re , para um ou mais autovalores de A.

Estabilidade de sistemas não-lineares

Bibliografia

• [1] R. C. Dorf, R. H. Bishop, Sistemas de Controle Modernos, LTC, Brasil, 2001.

• [2] K. Ogata, Engenharia de Controle Moderno, Pearson & Prentice Hall, Brasil, 2008.

• [3] A. S. Lordelo, Notas de aula: Instrumentação e controle, UFABC, 2009.

• [4] Meza, M.E.M. Notas de Aula: Instrumentação e Controle, UFABC, 2009.

• Agradecimentos aos professores doutores Alfredo Del Sole Lordelo e Magno E.M. Meza que gentilmente disponibilizaram as suas Notas de Aula

BC 1507- Instrumentação e Controle 55