Apontamentos de Estruturas Metalicas - Parte I

SECÇÃO DE MECÂNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS

DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METÁLICAS E MISTAS

APONTAMENTOS DE ESTRUTURAS METÁLICAS

DINAR CAMOTIM

CILMAR BASAGLIA

NUNO SILVESTRE

LISBOA, SETEMBRO DE 2010

1

Estruturas Metálicas (de Aço)

1

ESTRUTURAS METÁLICAS (DE AÇO)

1. INTRODUÇÃO

• Em Portugal, as estruturas metálicas são quase exclusivamente utilizadas na construção

de edifícios com fins de natureza industrial e/ou comercial (instalações fabris, armazéns,

centros comerciais, pavilhões gimnodesportivos, etc.). Utilizam-se ainda frequentemente

em pontes de pequeno porte e em passadiços para peões.

Figura 1.1 – Estruturas de edifícios industrial e comercial

• Recentemente, tem-se observado a utilização de estruturas metálicas em várias obras

“de prestígio” (e.g., na Expo 98), com grande impacto estético/visual, e ainda na reparação

de estruturas deterioradas (constituídas por diversos materiais: betão, madeira, etc.).

Figura 1.2 – Edifícios (i) “Turning Torso” (Suécia) e (ii) “Burj Al Arab” (Dubai)

• É (ainda) rara a utilização de estruturas metálicas em edifícios destinados a habitação

ou a escritórios, apesar de esta tendência esteja a mudar lentamente. Existem várias razões

para este facto, nomeadamente razões de natureza económica/comercial (não científica).

Estruturas Metálicas (de Aço)

2

Figura 1.3 – Estruturas de edifícios destinados a habitação

• Tem-se ainda assistido recentemente a um incremento significativo da construção mista –

elementos estruturais em que o aço e o betão (armado) trabalham conjuntamente.

Figura 1.4 – Estruturas mistas aço-betão

• O objectivo da primeira parte da disciplina de Estruturas Metálicas e Mistas (EMM)

consiste em fornecer os conhecimentos necessários para o dimensionamento e verificação

de segurança de estruturas constituídas por um conjunto de pórticos planos, nomeadamente

edifícios industriais correntes.

Figura 1.5 – Pórticos planos com divesas configurações

Estruturas Metálicas (de Aço)

3

Figura 1.6 – Estrutura tridimensional constituída por um conjunto de pórticos planos

• Procurar-se-á proporcionar uma familiarização com a filosofia, os fundamentos e a

aplicação das disposições do novo Eurocódigo 3, o qual está já em vigor no nosso país com

o estatuto de Norma Europeia (EN). Após um “período experimental”, que se estenderá até

2012-2013, a utilização deste regulamento passará a ser obrigatória em todos os países da

Comunidade Europeia.

• Algumas disposições do Eurocódigo 3 (versões ENV ou EN) foram já introduzidas na

disciplina de Estruturas Metálicas e/ou de Dimensionamento de Estruturas.

• O Eurocódigo 3 (EC3) – Dimensionamento de Estruturas de Aço – é um de um conjunto

de dez regulamentos estruturais europeus. É constituído pelos seguintes 17 documentos,

os quais se encontram agrupados em 6 “Partes”:

(i) Parte 1.1: Regras Gerais e Regras para Edifícios

(ii) Parte 1.2: Segurança ao Fogo

(iii) Parte 1.3: Elementos e Chapas Enformados a Frio

(iv) Parte 1.4: Aços Inoxidáveis

(v) Parte 1.5: Estruturas Laminares Planas (carregadas no seu próprio plano)

(vi) Parte 1.6: Cascas

(vii) Parte 1.7: Estruturas Laminares Planas Carregadas Transversalmente

(viii) Parte 1.8: Ligações

(ix) Parte 1.9: Fadiga

(x) Parte 1.10: Tenacidade

Estruturas Metálicas (de Aço)

4

(xi) Parte 1.11: Estruturas com Elementos Traccionados

(xii) Parte 1.12: Aços de Alta Resistência.

(xiii) Parte 2: Pontes

(xiv) Parte 3: Torres, Mastros e Chaminés

(xv) Parte 4: Reservatórios, Silos e Condutas

(xvi) Parte 5: Estacas

(xvii) Parte 6: Estruturas de Aparelhos de Elevação

• Nesta disciplina apenas se vão abordar disposições contidas nas Partes 1.1 (regras gerais e

regras para edifícios), 1.5 (estruturas laminares planas) e, eventualmente, 1.8 (ligações).

Note-se que algumas das Partes referidas atrás não se encontram ainda traduzida em

português – encontram-se em vários “estágios de evolução” (muito provavelmente,

algumas delas não chegarão msmo a ser traduzidas).

• Apresentar-se-ão ainda vários anexos da Parte 1.1 da versão anterior do EC3 (ENV

– estatuto de Pré-Norma Europeia), os quais deixaram de figurar na nova versão (EN).

• Para além destes apontamentos, fundamentais para o acompanhamento da primeira parte

desta disciplina (Estruturas Metálicas), referem-se ainda os livros (i) “Estabilidade

Estrutural”, de António Reis e Dinar Camotim, (ii) “Manual de Dimensionamento de

Estruturas Metálicas”, de Rui Simões, e (iii) “Manual de Dimensionamento de Estruturas

Metálicas: Métodos Avançados”, de Luís Simões da Silva e Helena Gervásio. Enquanto o

primeiro contém princípios fundamentais de estabilidade estrutural e métodos de análise

não-linear de estruturas (esbeltas), o segundo e terceiro abordam e ilustram a aplicação

das disposições das Partes 1.1 e 1.5 do EC3.

• A restante bibliografia fornecida na disciplina tem um carácter mais abrangente e destina-

se a proporcionar conhecimentos fundamentais e/ou especializados sobre tópicos

relacionados com a análise e o dimensionamento de estruturas metálicas (de aço).

Estruturas Metálicas (de Aço)

5

2. SISTEMATIZAÇÃO DAS DISPOSIÇÕES DO EC3 RELATIVAS A PÓRTICOS PLANOS

• A utilização do EC3 para dimensionar e verificar a segurança de pórticos planos envolve

o cumprimento sequencial de um certo número de etapas que não se encontram explicita

e/ou adequadamente identificados no texto do EC3.

• Identificam-se e descrevem-se sucintamente as várias etapas, definidas de modo a

minimizar o (inevitável) grau de interdependência entre elas. Em seguida, trata-se cada

uma delas separadamente, introduzindo os conceitos fundamentais e ilustrando a aplicação

das respectivas disposições regulamentares.

• Pode dizer-se que, para cada combinação de acções relevante, o Dimensionamento e

a Verificação da Segurança (DVS) de um pórtico plano envolve as seguintes etapas:

(I) Classificação do Pórtico

- Necessidade de considerar efeitos de 2ª ordem (equilíbrio na configuração deformada

– não linearidade geométrica)

- Secção das barras (fenómenos de encurvadura local – esbelteza das paredes)

Classe 1: Análise plástica (com formação de rótula plástica)

Classe 2: Análise plástica (sem formação de rótula plástica)

Classe 3: Análise elástica (secção bruta)

Classe 4: Análise elástica (secção efectiva − “enfraquecida”)

Rigidez (análise elástica)

- Ligações

Resistência (análise plástica)

(II) Consideração das Imperfeições

- Imperfeições Globais (do pórtico)

- Imperfeições Locais (das barras)

- Forças Equivalentes às Imperfeições

Estruturas Metálicas (de Aço)

6

(III) Escolha do Método de Análise Global

- Análise Elástica

Rígido-Plastica

- Análise Plástica Elástica-Perfeitamente Plástica (conceito de rótula plástica − RP)

Elasto-Plástica (espalhamento)

(IV) Cálculo dos Esforços de Dimensionamento

- Análise de 1ª ordem (geometricamente linear)

- Análise de 2ª ordem (geometricamente não-linear − várias possibilidades)

(V) Verificação da Estabilidade do Pórtico

- Escolha e cálculo dos comprimentos de encurvadura das barras comprimidas

(VI) Verificação da Segurança das Barras

- Tensões Directas (secções)

- Fenómenos de Instabilidade (barras e/ou troços livres de barra – contraventamento)

- Outros Fenómenos

(VII) Verificação da Segurança das Ligações corte

Parafusos tracção

corte + tracção

Conjuntos de parafusos

- Ligações soldadas – tipos de cordões de soldadura

- Ligações mistas – parafusos + soldadura

(VIII) Verificação da Deformabilidade do Pórtico Deslocamentos

- Estados Limites de Utilização (Serviço) Vibrações

- Ligações aparafusadas

Estruturas Metálicas (de Aço)

7

• Para combinações de acções que incluam uma acção sísmica, há ainda que satisfazer as

disposições relevantes do Eurocódigo 8 (EC8). Estas disposições serão abordadas na

disciplina de “Dinâmica e Engenharia Sísmica”.

• De uma maneira um pouco simplista, pode dizer-se que o processo de DVS de um

pórtico plano pode subdividir-se nos seguintes grandes blocos:

Dados: Geometria + Acções

Esforços de Dimensionamento

Comprimentos de Encurvadura

VS das

Barra

VS das

Ligações

Deformabilidade

(I) – (V)

(VI) (VII)

Estados Limites Últimos (ELU)

Estados Limites de Serviço (ELS) (ou de Utilização)

• Inicialmente, aborda-se a Verificação da Segurança (VS) das barras, admitindo conhecidos

os valores dos esforços de dimensionamento e dos comprimentos de encurvadura.

• Abordam-se em seguida os aspectos relacionados com a determinação dos esforços

de dimensionamento e dos comprimentos de encurvadura.

• Finalmente, no caso de haver ainda tempo disponível, apresentam-se alguns conceitos

relativos à VS das ligações.

Estruturas Metálicas (de Aço)

8

3. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DAS BARRAS

3.1 CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS

• A geometria da secção transversal dos perfis é, muitas vezes, condicionada pelos requisitos

específicos de uma determinada aplicação, o que faz com que existam secções com uma

enorme variedade de formas e dimensões (sobretudo no caso dos perfis enformados

a frio). A figura 3.1 mostra as geometrias das secções de alguns dos perfis de aço utilizados

com mais frequência em estruturas de edifícios: secções em U, C, Z, “hat”, “rack” e I.

Figura 3.1 – Geometria das secções dos erfis em U, C, Z, “hat”, “rack” e I

• A classificação de uma secção está relacionada com a sua resistência e capacidade de

rotação quando submetida a tensões normais. Essa classificação depende das dimensões e

da tensão de cedência dos seus elementos (paredes) comprimidos, os quais podem ser

(i) interiores (ambas as extremidades apoiadas) ou (ii) salientes (uma extremidade

apoiada e a outra livre).

Elementos salientes

Elemento interior

Elemento interior

Figura 3.2 – Defnição dos elementos (paredes) interiores e salientes de uma secção

• Esta classificação destina-se a permitir avaliar a resistência última e a capacidade de rotação

da secção, tomando em consideração a possibilidade da ocorrência de fenómenos de

encurvadura local (das paredes da secção – a abordar mais adiante).

Estruturas Metálicas (de Aço)

9

• O EC3 considera 4 Classes de Secção, as quais se caracterizam em seguida (aprsenta-se a

exemplificação para o caso de uma secção a flexão pura)

4 3 2 1

σ

ε

(σcr)EL

Encurvadura Local

(i) Classe 1 – secções em que se pode atingir a resistência plástica e, para além disso,

existe capacidade de rotação suficiente para que se forme uma rótula plástica.

ϕpl ϕ

Mpl

M

EL

ϕpl ϕ

Mpl

M

EL

fy

fy

Mpl

(ii) Classe 2 – secções em que se pode atingir resistência plástica, mas sem ser possível

garantir capacidade de rotação suficiente para que se forme uma rótula plástica

(é necessário efectuar a verificação, a qual depende da ordem de formação das rótulas

plásticas na estrutura m análise).

fy

fy

Mpl

ϕpl ϕ

Mpl

M

EL

ϕpl ϕ

Mpl

M

EL

Estruturas Metálicas (de Aço)

10

(iii) Classe 3 – secções onde se pode atingir apenas a resistência elástica (tensão de

cedência na fibra mais solicitada), em virtude de os fenómenos de encurvadura

local impedirem que se chegue à resistência plástica.

fy

fy

Mel

ϕ

Mpl

M

EL Mel

ϕ

M

EL Mel

ϕel

(iv) Classe 4 – secções onde a ocorrência (prematura) de fenómenos de encurvadura local

faz com que não se atinja sequer a tensão de cedência na fibra mais solicitada.

fy

σmax < fy

Mmax < Mel ϕ

Mpl

M

EL

Mel Mmax

ϕ

Mpl

M

EL

Mel

O processo de dimensionamento das secções de classe 4 envolve a substituição

da secção bruta por uma secção efectiva, a qual é posteriormente tratada como uma

secção de classe 3.

fy

fy

Zona não efectiva

da secção

σ

σ

Estruturas Metálicas (de Aço)

11

Estruturas Metálicas (de Aço)

12

ANEXO: FENÓMENOS DE ENCURVADURA LOCAL

• Os “fenómenos de encurvadura local”, de grande importância no dimensionamento de

estruturas metálicas constituídas por perfis com paredes muito esbeltas (por exemplo, as

vigas de alma cheia ou os perfis enformados a frio), consistem na encurvadura das

paredes dos perfis, enquanto os respectivos eixos permanecem indeformados (rectos).

Deste modo, é indispensável utilizar conceitos de estabilidade de placas para efectuar a

verificação da segurança das barras em relação a estados limites últimos que envolvam este

tipo de fenómenos de encurvadura.

• A figura A.1 ilustra fenómenos de encurvadura local em barras de aço com secção em I.

Figura A.1 – Fenómenos de encurvadura local em barras com secção em I.

A.1 PLACAS UNIFORMEMENTE COMPRIMIDAS E SIMPLESMENTE APOIADAS

• A tensão crítica de bifurcação elástica de uma placa quadrada “ideal” (geometricamente

“perfeita”) simplesmente apoiada e uniformemente comprimida é dada por

2

2

2

crb

t

v112

E4

−=

)(

πσ , (A.1)

onde (i) E é o módulo de elasticidade, (ii) v é o coeficiente de Poisson e (iii) b e t

são a largura/comprimento e a espessura da placa. A bifurcação ocorre num modo

de instabilidade (ou encurvadura) caracterizado por uma semi-onda tanto na direcção

longitudinal (a da compressão) como na direcção transversal.

Estruturas Metálicas (de Aço)

13

σ/σcr

1

δ

σ

b

σ b

b

b

Figura A.2 – Bifurcação de equilíbrio e modo de encurvadura de uma placa quadrada

“ideal” simplesmente apoiada e uniformemente comprimida

• Em “placas longas” (a >>b − em termos práticos, basta que se tenha a > 4 b), como é o caso

das paredes das barras metálicas com secção de parede fina, os valores de σcr são

(praticamente) independentes do comprimento da placa (a) e do grau de restrição à

rotação dos bordos transversais (de comprimento b). Esta característica deve-se ao facto

de o modo de encurvadura da placa envolver uma combinação de (i) várias semi-ondas

longitudinais, de comprimento igual à sua largura, com (ii) uma única semi-onda

transversal. Deste modo, pode dizer-se que uma placa longa se comporta como um

“conjunto” de placas quadradas ligadas entre si, conforme mostra a figura A.3, o que quer

dizer que os resultados relativos a placas quadradas são também válidos para placas longas.

σσσ

a >>b

b

b

σ b

b

b b

b b bb

Placa quadrada Placa longa

Figura A.3 – Modo de encurvadura de uma placa quadrada e uma placa longa

• A título de exemplo, a figura A.4 mostra dois elementos estruturais constituídos por

placas longas e submetidos a compressão: (i) uma coluna tubular e (ii) um painel reforçado.

Em ambos os casos, podem obter-se estimativas (em geral, conservativas) da tensão crítica

das placas/paredes através de (A.1), pois são placas longas cujos bordos longitudinais se

admitem (conservativamente) como simplesmente apoiados (i.e., sem restrição à rotação).

Estruturas Metálicas (de Aço)

14

(a) (b)

Figura A.4 – Elementos estruturais constituídos por placas longas: (a) coluna tubular e (b) painel reforçado.

• As placas comprimidas têm, em regime elástico, um comportamento de pós-encurvadura

(trajectória de equilíbrio) estável caracterizado por uma elevada “resistência pós-crítica” (ou

“resistência de pós-encurvadura”). Isto significa que, mesmo após ocorrer a encurvadura

(bifurcação), a placa pode ainda suportar um aumento de carga considerável sem apresentar

deslocamentos significativos. O comportamento de pós-encurvadura de uma placa

(quadrada ou longa) comprimida “ideal” (sem imperfeições geométricas) é definido por

2

2

cr t

qv1

8

31

−+= )(σσ

, (A.2)

onde σ é a tensão aplicada e q o deslocamento transversal máximo por ela provocado.

A trajectória de pós-encurvadura da placa está representada na figura A.5, onde se mostra

também as distribuições das tensões de compressão na placa antes e depois da bifurcação.

Observa-se que as tensões permanecem uniformes até à bifurcação, passando a exibir um

andamento não linear após essa occorrência − dá-se uma redistribuição das tensões normais

longitudinais, caracterizada por uma “transferência” da zona central (mais flexível ou

“fraca”) para a vizinhança dos bordos longitudinais (zona mais rígida ou “forte”). Por outro

lado, a figura A.6 mostra as distribuições das tensões normais longitudinais (σx) e

transversais (σy) instaladas na placa na fase de pós-encurvadura. Para além da redistribuição

de σx, já referida, desenvolvem-se também tensões transversais de tracção na zona central

da placa, as quais têm um papel crucial na resistência de pós-encurvadura (a tracção

transversal aumenta a rigidez de flexão da zona central da placa − analogia com um cabo).

Estruturas Metálicas (de Aço)

15

δ

σ/ crσ

crσ

Figura A.5 – Distribuições das tensões de compressão na placa antes e depois da bifurcação

Figura A.6 – Distribuição de tensões, na fase de pós-encurvadura, de uma placa quadrada

• A figura A.7 compara qualitativamente as trajectórias de equilíbrio de colunas e placas

“ideais” comprimidas. Observa-se que a resistência de pós-encurvadura das placas é

muito superior à das colunas (quase desprezável), o que justifica a diferença entre os

métodos de dimensionamento destes dois elementos estruturais. Enquanto é aceitável

σ/σcr

1

Trajectória Fundamental

Trajectórias de Pós-encurvadura

Bifurcação

q/t

Coluna

Placa

Figura A.7 – Trajectórias de equilíbrio de placas e colunas uniformemente comprimidas

Estruturas Metálicas (de Aço)

16

admitir que σcr é a máxima tensão (carga) que as colunas podem suportar, essa hipótese é

claramente demasiado (excessivamente) conservativa no caso das placas.

• Põe-se então a seguinte questão, de grande importância para o dimensionamento de estruturas

metálicas constituídas por perfis de parede fina: qual o valor da tensão (carga), já em fase

de pós-encurvadura, que corresponde ao estado limite último da placa (colapso iminente)?

Na grande maioria dos regulamentos de estruturas metálicas, a resposta a esta questão

envolve o conceito de “largura efectiva”.

A.1.1 CONCEITO DE LARGURA EFECTIVA

• A resposta mais lógica à questão colocada no ponto anterior consiste em admitir que o

estado limite último da placa corresponde a atingir-se a tensão de cedência (fy) na

fibra mais solicitada. Esta situação está representada na figura A.8. Note-se que, ao admitir

esta hipótese se está a desprezar a “reserva de resistência elasto-plástica” da placa (o

colapso dá-se quando se atinge um ponto limite da trajectória). Esta resistência adicional, de

difícil determinação (é necessário um método numérico que contabilize o espalhamento da

plasticidade), é pequena e pode ser encarada como um “factor de segurança” − a figura A.8

ilustra este facto.

δ

σ

σmax = f yσmax = f y

Colapso

Reserva de resistênciaelasto-plástica

Figura A.8 – Estado último (cedência da fibra mais solicitada) e colapso da placa quadrada

• Subsiste a (muito importante) questão de saber para que carga (isto é , em que ponto da

trajectória de pós-encurvadura) se tem σmax=fy. Para resolver este problema, von Karman

sugeriu uma metodologia aproximada baseada nas seguintes duas ideias fundamentais (uma

delas é uma hipótese simplificativa que foi posteriormente validada experimentalmente):

Estruturas Metálicas (de Aço)

17

IDEIA 1: Substituir a secção bruta com uma distribuição de tensões variável por uma

“secção efectiva” submetida a uma distribuição de tensões uniforme (ambas estaticamente

equivalentes ao esforço de compressão actuante) − a secção efectiva obtém-se removendo

material da zona central da placa (a zona mais “fraca”). No estado limite último da

placa, o valore do esforço normal (Nu) é então dado por

b

b /2e

b /2e

fy fyfy fy

u

b

0u tbdytyN σσ == ∫ )( (secção bruta) yeu ftbN = (secção efectiva)

onde uσ é a tensão média da placa no estado limite último (ou “colapso”). Igualando as

duas expressões, obtém-se

ye

u fb

b=σ

expressão que relaciona a tensão média no colapso com a largura efectiva.

DIFICULDADE: Para determinar o valor de be é necessário conhecer a distribuição de

tensões instalada na placa ( )( yσ ), no estado último da placa (σmax=fy). Por outras palavras,

apenas se “substituiu o conceito de “pós-encurvadura” pelo conceito de “largura efectiva”,

mas sem dimnuir a complexidade do problema a resolver. Para simplificar o problema, é

indispensável a segunda “ideia” que se apresenta a seguir. Antes disso, apresenta-se na

figura A.9, a título ilustrativo, a variação “exacta” da largura efectiva com a tensão aplicada

(σm é a tensão média actuante na placa).

1 σm / σcr

1

0.5

be / b

Figura A.9 – Variação da largura efectiva com a tensão actuante (placa simplesmente apoiada)

Estruturas Metálicas (de Aço)

18

IDEIA 2 (Hipótese Simplificativa): Na placa com a secção efectiva a encurvadura ocorre

precisamente quando se atinge a tensão de cedência, isto é, tem-se σcre=fy. Logo, vem

2

2

2

crb

t

v112

E4

−=

)(

πσ (placa real)

2

e

2

2

creb

t

v112

E4

−=

)(

πσ (placa efectiva − fictícia)

Utilizando agora a hipótese simplificativa , tem-se

y

2

e

cr

2

e

2

2

cre fb

b

b

t

v112

E4 =

=

−= σ

πσ

)( ⇒

y

cre

fb

b σ= (mas sempre < 1)

Finalmente, utilizando a relação da página anterior, vem

ycrye

u ffb

bσσ ==

expressão que permite determinar (aproximadamente) a tensão média no colapso a partir

de duas quantidades fáceis de calcular − deste modo, evita-se a necessidade de

conhecer o comportamento de pós-encurvadura da placa.

A.2 PLACAS SUBMETIDAS A OUTRAS DISTRIBUIÇÕES DE TENSÕES

No caso de placas submetidas a outras distribuições de tensões, definidas por um

parâmetro ψ=σ1 / σ2, onde σ1 é a máxima tensão de compressão e σ2 é a tensão actuante na

outra extremidade da placa, é necessário introduzir, na expressão que fornece uσ , o

valor correcto de σcr, o qual é dado pela expressão genérica

σ1 σ1

σ1ψ(ψ > 0) (ψ < 0)

σ2= σ1ψσ2=

2

2

2

crb

t

v112

Ek

−=

)(

πσ σ , (A.3)

Estruturas Metálicas (de Aço)

19

onde kσ é um coeficiente de encurvadura que depende da distribuição das tensões actuantes

e pode ser encontrado na literatura (por exemplo, nas tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5). A título

ilustrativo, refira-se que (i) kσ=4.0 para a compressão pura (ψ=1 − problema estudado) e

(ii) kσ=23.4 para a flexão pura (ψ= −1 ).

A.3 PLACAS COM OUTRAS CONDIÇÕES DE FRONTEIRA

• A expressão (A.3) também se aplica a placas com outras condições de fronteira (apoio)

− é válida para placas com combinações arbitrárias de distribuições de tensões actuantes

e condições de apoio. Os valores de kσ podem ser encontrados na literatura,

nomeadamente nas tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 (para duas condições de apoio: (i) quatro

bordos simplesmente apoiados e (ii) três bordos simplesmente apoiados e um bordo

livre). A tabela A.1 ilustra alguns valores de coeficientes de encurvadura.

Condições de Fronteira Carga Coeficiente de

encurvadura (kσ)

Compressão Uniforme

4.0

Compressão Uniforme

0.43

Flexão Pura 23.9

Tabela A.1 – Valores de kσ

A.4 ESBELTEZA NORMALIZADA DE PLACA − LARGURA EFECTIVA

• Tal como as restantes esbeltezas normalizadas (de coluna, de viga, etc.), a “esbelteza

normalizada de (uma) placa”, definida como

cr

y

p

f

σλ =

é uma grandeza que traduz a importância relativa da plasticidade e da instabilidade no

colapso da placa. Assim, enquanto (i) valores baixos e elevados de pλ (em relação a 1.0)

indicam colapsos governados pela plasticidade e pela instabilidade, respectivamente, (ii) um

Estruturas Metálicas (de Aço)

20

valor de pλ próximo de 1.0 significa que ambos os fenómenos têm uma influência

significativa no colapso da placa.

• No caso de uma placa constituída por uma aço com E=210 GPa (103 N/mm

2), tomando

em consideração (A.3) e fazendo [ ] 50

y MPaf235.)(/=ε , o valor de pλ é dado por

σε

λk428

tbp

.

/=

expressão que figura no EC3 e a partir da qual se obtém directamente o valor da

largura efectiva da placa no seu estado limite último (be).

• Tem-se então que bbe ρ= , onde ρ é um coeficiente (ou factor) de redução. Pode

mostrar-se que este coefciente de redução relaciona também os valores de Nu (esforço

normal último) e Npl (esforço normal de plastificação ou resistência plástica). De facto,

plye

yeu Nftbb

bftbN ρ===

• Com base neste conceito, von Karman propôs a seguinte fórmula para determinar a

resistência útima de uma placa (a qual corresponde à curva da figura abaixo)

≥=

≤=

1se1

1se1

p

p

p

λλ

ρ

λρ

1

ρ

λp

1

fy fy

σcr

σcr

σ

σ

δ

δ

1 / λp

Note-se que os dois troços da curva correspondem ao colapso de placas em que se tem

(i) σcr > fy (troço horizontal) e (ii) (i) fy >σcr (troço horizontal) expressão que figura

no EC3 e a partir da qual se obtém directamente o valor da largura efectiva da placa

Estruturas Metálicas (de Aço)

21

no seu estado limite último (be). Para além disso, é importante realçar a semelhança

formal entre a fórmula de von Karman e a expressão da curva de dimensionamento

de colunas perfeitas, estudada na disciplina de Estruturas Metálicas. A única (e muito

importante) diferença reside na troca de “ 21 λ/ ” (colunas) por “ p1 λ/ ” (placas), o que

traduz o facto de o dimensionamento de colunas não contabilizar qualquer resistência

de pós-encurvadura (a curva de colunas fica “abaixo” da de placas − ver a figura A.11).

A.5 PLACAS “REAIS” (COM IMPERFEIÇÕES)

• No caso das placas “reais”, as quais possuem imperfeições geométricas (sobretudo) e

tensões residuais, deixa de ocorrer bifurcação de equilíbrio. O conjunto “trajectória

fundamental + trajectória de pós-encuvadura” das placas “ideais” é substuído por uma

trajectória de equilíbrio não linear, à qual estão associados deslocamentos de flexão

desde o início do carregamento, conforme mostra a figura A.10.

• Como, para um determinado nível de carregamento, existem maiores deslocamentos na

placa “real” que na placa “ideal”, o correspondente estado limite último é atingido

para uma carga mais baixa − ver a figura A.10.

Placa “real”

Placa “ideal”

σmax = fy

σ

q

σcr

Figura A.10 – Trajectórias de equilíbrio e estados limites últimos das placas “ideais” e “reais”

• Para contabilizar a diminuição da carga última, devido à presença das imperfeições

geométricas e das tensões residuais, Winter propôs, com base num elevado número de

resultados experimentais, a substituição (modificação) da fórmula de von Karman por

≥−

=

≤=

6730se220

6730se1

p2

p

p

p

..

.

λλ

λρ

λρ

Estruturas Metálicas (de Aço)

22

expressão que ainda hoje figura em vários regulamentos, nomedamente no EC3. Deve

referir-se, no entanto, que os valores do coeficiente 0.22 e da esbelteza limite 0.673

têm sofrido variações resultantes de estudos mais recentes (a título de curiosidade, é

interessante mencionar que Winter propôs originalmente o valor 0.25 para o coeficiente).

• Finalmente, a figura A.11 mostra uma comparação entre as curvas de dimensionamento (i)

de von Karman, (ii) de Winter e (iii) baseada na carga crítica de bifurcação (semelhante

à curva de dimensionamento de colunas). É interessante observar que, para valores de pλ

superiores a cerca de 1.3, a curva de Winter (placas “reais”) passa a estar acima da

curva baseada na tensão crítica de bifurcação (placas “ideais” ), facto que reflecte a

contabilização da resistência de pós-encurvadura (note que a diferença aumenta com pλ ).

Figura A.11 – Comparação entre curvas de dimensionamento de von Karman, de Winter e

baseada na tensão crítica de bifurcação.

Estruturas Metálicas (de Aço)

23

3.2 DETERMINAÇÃO DA CLASSE DE UMA SECÇÃO

• A determinação da classe de uma secção faz-se classificando os seus elementos (paredes)

comprimidos, através das Tabelas 5.2 do EC3-1-1 (ver figs. 3.2 a 3.4) e com base

nos diagramas das tensões actuantes.

• A classificação faz-se com base na esbelteza dos elementos b/t, envolve o parâmetro

yf235 /=ε e o coeficiente de encurvadura kσ. Depende ainda do tipo de elemento, o

qual pode ser interior (tratado como simplesmente apoiado) ou saliente (tratado como

apoiado-livre).

• Os valores limites de esbelteza dos elementos comprimidos são fixados com base em

análises estatísticas de resultados experimentais e/ou numéricos, os quais contabilizam a

influência de imperfeições geométricas iniciais, tensões residuais, etc.

• A classe de uma secção é maior das classes dos seus elementos comprimidos.

• A classe de uma barra é maior das classes das suas secções.

• A classe de uma secção depende (i) dos esforços que nela actuam, no estado limite último,

e (ii) do aço que a constitui (ver tabelas).

• A determinação da classe de uma secção submetida a flexão composta não é imediata –

conservativamente, pode sempre considerar-se o caso da compressão pura.

• Um grande número de perfis laminados correntes (formados por aços de resistência

“normal”) são de classe 1 ou 2 para qualquer solicitação (e.g., ver a tabela da fig. 3.5).

• Os perfis soldados e as chapas utilizadas na construção mista têm frequentemente secções

de classe 3 ou 4.

Estruturas Metálicas (de Aço)

24

Figura 3.2

Estruturas Metálicas (de Aço)

25

Figura 3.3

Estruturas Metálicas (de Aço)

26

Figura 3.4

Estruturas Metálicas (de Aço)

27

Figura 3.5

Estruturas Metálicas (de Aço)

28

EXEMPLO ILUSTRATIVO

IPE 550

Aço S235 (fy=235 MPa = 235N/mm2) ⇒ ε=1

Área A=13440 mm2

d=46

8mm

b=210mm

ft =17.2mm

t =11.1mmw

Classificar a secção representada, quando submetida a flexão em torno do eixo de maior

inércia composta com compressão de valor NEd=1300kN (Caso I) ou NEd=750kN (Caso II) RESOLUÇÃO

• Classificação do Banzo Comprimido

Compressão uniforme

45992

111210

2

tbc w .

.=

−=

−= (desprezando os raios de concordância)

99785217

4599

t

c

f

=<== ε..

. ⇒ Banzo de classe 1

• Classificação da Alma

4242242111

468

t

c

w

=>== ε..

⇒ Alma de classe 4 à compressão pura (classificação conservativa)

∴ Nada se pode concluir

(i) Determinação da classe da secção para NEd=1300kN (Caso I)

Hipótese 1: Distribuição plástica de tensões no estado limite último da secção (classe 1 ou 2)

- Cálculo do esforço normal de plastificação da alma

Estruturas Metálicas (de Aço)

29

kN122110235111468fdtN 3

ywwpl =×××== −.,

Como Npl,w=1221kN < NEd=1300kN, a alma estaria submetida a compressão uniforme e,

portanto, seria de classe 4 – esta conclusão estaria em contradição com a hipótese admitida, pois

numa secção de classe 4 não pode existir uma distribuição plástica de tensões.

Hipótese 2: Distribuição elástica de tensões no estado limite último da secção (classe 3 ou 4)

- Determinação da relação entre tensões ψ

h c

2h

h1

ψ fy

yf

- Determinação das alturas h1 e h2

mm45022172468h .. =×+= (desprezando os raios de concordância)

mm854261771

4502h1 .

.

.== mm5575hhh 12 .=−=

- Determinação da relação entre tensões na alma ψw

1141021785426

2175575w −>−=

−

−−= .

)..(

)..(ψ

36671410330670

42

330670

42242

t

c

ww

......

. =×−

=+

<=ψ

ε ⇒ Alma de classe 3

∴ Secção de classe 3

(ii) Determinação da classe da secção para NEd=750kN (Caso II)

Hipótese 1: Distribuição plástica de tensões no estado limite último da secção (classe 1 ou 2)

Parcela da flexão

Parcela da compressão

Eliminando σf A

Nf Ed

fy += σ

A

Nf Ed

fy +−= σψ

1770123513440

10130021

fA

N2 3

y

Ed .−=−×

××=−=ψ

Estruturas Metálicas (de Aço)

30

Como Npl,w=1221kN > NEd=750kN, a linha neutra plástica cruza a alma, como mostra a figura

3.18. Assim, o primeiro passo consiste em determinar a zona plastificada da alma devido ao

esforço normal, i.e.,

ywNEd ftcN = ⇒ mm52287235111

10750c

3

N ..

=×

×=

mm763772

52287468

2

c

2

c NC .

.=

+=+=α

Em seguida, determina-se o parâmetro α, o qual corresponde à relação entre a altura da zona

da alma comprimida (αc) e a altura total da alma (c).

508070468

76377

c

C ...

>===α

α

7411807013

396

113

396242

t

c

w

..

. =−×

=−

>=α

ε

05481807013

456

113

456242

t

c

w

..

. =−×

=−

<=α

ε ⇒ Alma de classe 2

∴ Secção de classe 2

h

fy

c

yf fy

yf

fy

αc cN

Zona da alma plastificadadevido a N =750kNEd

Zona da secção plastificadadevido ao momento flector

Figura 3.6 − Zonas plastificadas da secção devido ao esforço normal e ao momento flector

Estruturas Metálicas (de Aço)

31

3.3 RESISTÊNCIA A TENSÕES DIRECTAS

3.3.1 TENSÕES NORMAIS (NEd + My,Ed + Mz,Ed)

• Secções de Classe 1 e 2

- Resistência Plástica

- Critérios (diagramas) de interacção não lineares

Resistência plástica (a forma do diagrama varia de secção para secção)

Resistência plástica (aproximação linear – conservativa)

Resistência elástica

1

1

M / Mpl

N / Npl

Figura 3.7 – Critérios (diagramas) de interacção não lineares

No caso mais geral (comportamento tridimensional), existem N+My+Mz. É habitual serem

desenvolvidos critérios de interacção planos MN,y – MN,z, em que a presença do esforço

normal já está “embebida” nos valores de MN,y e MN,z. Em alternativa, pode utilizar-se um

critério (diagrama) de interacção espacial (tridimensional).

• Secções de Classe 3

- Resistência Elástica

- Critérios (diagramas) de interacção lineares equivalente a ydEdx f≤,σ , (3.10)

onde 0Myyd ff γ/= e 0Mγ é o coeficiente parcial de segurança (para o qual o EC3-1-1

propõe o valor 1.0).

Estruturas Metálicas (de Aço)

32

1

1

M / Mel

N / Nel

Figura 3.8 – Critério de interacção linear

• Secções de Classe 4

- Resistência Elástica da secção efectiva

• Critérios que envolvem secções efectivas correspondentes à actuação individual de

cada um dos esforços actuantes (NEd, My,Ed, Mz,Ed)

• Equivalência a ydEdx f≤,σ 0Myyd ff γ/= , (3.11)

na reunião das secções efectivas.

• Já se estudaram, na disciplina de Estruturas Metálicas, as VS das secções de Classe 1 e 2.

• A VS das secções de Classe 3 envolve apenas a resistência elástica e resume-se a um

simples problema de Resistência de Materiais.

• A VS das secções de Classe 4 é qualitativamente semelhante à das secções de Classe 3,

mas requer o conhecimento prévio das características geométricas da(s) secção (ões)

efectivas envolvidas − propriedades efectivas.

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO DE CLASSE 2)

Verificar a segurança da secção

Estruturas Metálicas (de Aço)

33

d=hw=249.6mm A=45.94cm2

tw=6.6mm Wpl.y=484cm3

b=135mm Wpl.z=96.95cm3

tf=10.2mm

de aço S235 (fy=235MPa), sujeita aos esforços NEd=580kN, My,Ed=25.5 kNm e Mz,Ed=16.4 kNm

RESOLUÇÃO

• Necessidade de contabilizar a redução de Mpl.y,Rd devida a NEd – EC3-1-1 (6.2.9.1)

kN59107901

102354594AfN

3

0M

y

Rdpl .., =

××==

−

γ

NEd=580kN > 0.25Npl,Rd=270kN

kN56193101

23566624950

fth50N50kN580N

3

0M

yww

RdwplEd ...... ,, =××××==>= −

γ

∴ É necessário reduzir Mpl.y,Rd (bastava uma das condições)

• Necessidade de contabilizar a redução de Mpl.z,Rd devida a NEd – EC3-1-1 (6.2.9.1)

kN12387101

235666249

fthNkN580N

3

0M

yww

RdwplEd ...,, =×××==>= −

γ

∴ É necessário reduzir Mpl.z,Rd

• Como a secção está submetida a flexão desviada, adopta-se o critério

1M

M

M

M

RdzN

Edz

RdyN

Edy ≤

+

βα

,,

,

,,

,

onde (i) MN,y,Rd e MN,z,Rd são momentos plásticos reduzidos pela presença de NEd e (ii) α e β são constantes que dependem do tipo da secção Secção em I: 1βmasn5β;2α ≥==

5370591079

580

N

Nn

Rdpl

Ed ..,

=== ⇒ β=2.685 > 1.0

IPE 270

Estruturas Metálicas (de Aço)

34

Estruturas Metálicas (de Aço)

35

Estruturas Metálicas (de Aço)

36

).(

)(,,,,

a501

n1MM RdyplRdyN −

−=

kNm7411301

1023510484fWM

63

0M

yypl

Rdypl ..

,,, =

×××=

×=

−

γ

{ } 40104010509445

0215132944550

A

bt2A50a

f ..,.min.

...,.min,.min ==

××−

=

−

=

)(.)..(

).(. ,,, EdyRdyN MkNm8765

4010501

5370174113M >=

×−

−=

n ≤ a: MN,z,Rd=Mpl,z,Rd

n > a: MN,z,Rd=Mpl,z,Rd

−−

−2

a1

an1

n=0.537 e a=0.401 ⇒ n > a

kNm782201

10235109596fWM

63

0M

yzpl

Rdzpl ..

.,,, =

×××=

×=

−

γ

)(..

..,,,,, Edz

2

RdzplRdzN MkNm612140101

401053701MM >=

−

−−=

Finalmente, tem-se

1M

M

M

M

RdzN

Edz

RdyN

Edy ≤

+

βα

,,

,

,,

, ⇒ 1627047701506121

416

8765

22568522

<=+=

+

...

.

.

.

..

∴ A segurança da secção está verificada

• Nota: Se se utilizasse o critério linear (mais simples) – EC3-1-1 6.2.1 (7)

148117200224053707822

416

74113

525

591079

580

M

M

M

M

N

N

Rdzpl

Edz

Rdypl

Edy

Rdpl

Ed >=++=++=++ .....

.

.

.

.,,

,

,,

,

,

∴ A segurança da secção não seria verificada (o critério linear é muito conservativo)

Estruturas Metálicas (de Aço)

37

3.3.1.1 SECÇÕES DE CLASSE 4

• A VS das secções de Classe 4 requer, no caso mais geral, o conhecimento dos valores

das seguintes características geométricas:

(i) Área Efectiva Aeff

(ii) Excentricidades eNy e eNz (afastamento em relação ao eixo – nova posição de G)

(iii) Módulo de flexão efectiva Weff,y,min (fibra com tensão máxima)

(iv) Módulo de flexão efectiva Weff,z,min (fibra com tensão máxima)

• Os valores de Aeff, eNy e eNz são determinados numa secção efectiva obtida admitindo

que na secção bruta actua apenas Nc,Ed (esforço nomal de compressão)

• O valor de Weff,y,min é determinado numa secção efectiva obtida admitindo que na secção

bruta actua apenas My,Ed.

• O valor de Weff,z,min é determinado numa secção efectiva obtida admitindo que na secção

bruta actua apenas Mz,Ed.

• Deste modo, constata-se que, no caso mais eral, existem três secções efectivas diferentes.

A figura 3.9 ilustra as secções efectivas de uma secção em I com banzos iguais.

Figura 3.9 – Tipos de secções efectivas numa secção em I

• Em secções bissimétricas e monossimétricas tem-se eNy=eNz=0 e eNy=0 ou eNz=0.

Estruturas Metálicas (de Aço)

38

3.3.1.1.1 DETERMINAÇÃO DE UMA SECÇÃO EFECTIVA

• Passos

(i) Determinar os valores de ψ (os quais definem o diagrama das tensões actuantes) nos

elementos (paredes) comprimidos paralelos ao eixo de flexão, com base nos valores dos

esforços actuantes e nas propriedades da secção bruta.

(ii) Determinar os valores e a localização das larguras efectivas nos elementos comprimidos

paralelos ao eixo de flexão, através do seguinte procedimento:

(a) A partir do valor de ψ, determinar o coeficiente de encurvadura kσ , através das

tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5.

(b) A partir do valore de kσ, determinar a esbelteza normalizadas de placa pλ ,

através da expressão

σεσ

λk428

tbf

cr

y

p.

/== . (3.12)

(c) A partir dos valores de pλ e ψ, determinar o factor de redução ρ, através de expressões

que dependem de o elemento ser interno ou saliente:

- Elementos Internos

ρ=1.0 para 6730p .≤λ

2

p

p 30550

λ

ψλρ

)(. +−= para 6730p .>λ [com 03 ≥+ )( ψ )]

- Elementos Salientes

ρ=1.0 para 7480p .≤λ

2

p

p 1880

λ

λρ

).−= ρ=1.0 para 7480p .>λ

Estruturas Metálicas (de Aço)

39

Estruturas Metálicas (de Aço)

40

(d) Uma vez conhecido o valor de ρ, determinar os valores das larguras efectivas (bc,eff) dos

elementos comprimidos através das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 − a partir dos

valores de bc,eff , é imediato obter as respectivas áreas efectivas (Ac,eff).

(e) Se for necessário (i.e., se a largura efectiva não for “contínua”), determinar, a partir

de bc,eff, as parcelas que constituem a largura efectiva do elemento comprimido

(be1 e be2), também através das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5.

(iii) Determinar os valores de ψ nos elementos (paredes) comprimidos perpendiculares ao

eixo de flexão, com base nos valores dos esforços actuantes e nas propriedades de uma

“secção fictícia”, constituída pelas respectivas áreas brutas e pelas áreas efectivas

dos elementos paralelos ao eixo de flexão (já determinadas em (ii)).

(iv) Determinar os valores e a localização das larguras efectivas nos elementos comprimidos

perpendiculaes ao eixo de flexão, através do procedimento descrito em (ii).

(v) Determinar a(s) propriedade(s) efectiva(s) relevante(s).

• NOTA: No caso de uma secção submetida a compressão pura, tem-se sempre ψ = 1.

3.3.1.1.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

• Flexão desviada composta com tracção

0M

y

yd

zeff

Edz

yeff

EdyEdf

fW

M

W

M

A

N

γ=≤++

min,,

,

min,,

, . (3.13)

• Flexão desviada composta com compressão

0M

y

yd

zeff

NzEdEdz

yeff

NyEdEdy

eff

Edf

fW

eNM

W

eNM

A

N

γ=≤

++

++

min,,

,

min,,

, . (3.14)

• OBSERVAÇÕES

(i) A aplicação das equações de interacção faz-se para a fibra mais solicitada pertencente

à reunião de todas (no máximo três) secções efectivas. Os valores de Weff,y,min e

Weff,z,min dizem respeito a essa fibra.

Estruturas Metálicas (de Aço)

41

(ii) No caso de a fibra mais solicitada não pertencer a alguma das secções efectivas, o

valor da parcela associada ao esforço correspondente será nulo.

(iii) Os sinais das parcelas dependem da combinação de compressões e tracções, a qual

varia de caso para caso. Não podem “somar-se” compressões e tracções e é

conveniente adoptar a convenção de atribuir sinal positivo à tensão “dominante”

(compressão ou tracção).

EXEMPLO ILUSTRATIVO

Verificar a segurança da secção

10

400

6

10

800

300

y

zG

(mm)z

zG=444.32 mm (medido a partir da base)

formada por três chapas de aço S355 (fy=355MPa) soldadas entre si (cordões de soldadura de

largura a=6 mm), sujeita aos esforços NEd=390kN (compressão ou tracção) e My,Ed=630 kNm

(momento flector positivo)

RESOLUÇÃO

- 8140355

235

f

235

y

.===ε

- Área: 2mm11800680010300400A =×+×+= )(

- Cordões de soldadura: a=6mm ⇒ mm49826a .==

a

a

6 mm

Estruturas Metálicas (de Aço)

42

(I) Determinação de Aeff e eNy (NEd)

• Secção Efectiva do Banzo Superior

mm51188249826400c ./).( =×−−=

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=0.43

kσ=0.43 ⇒ ( )

748024414308140428

1051188

K428

tc f

p .....

)/.(

.

/>=

××==

σελ

68201880

2

p

p ..

=−

=λ

λρ

mm56128511886820cb effc ..., =×== ρ

mm128049826561282a2tb2b weffcbanzoe ...)( ,sup. =×++×=++=

• Secção Efectiva do Banzo Inferior

mm51138249826300c ./).( =×−−=

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=0.43

kσ=0.43 ⇒ ( )

748091404308140428

1051138

K428

tc f

p .....

)/.(

.

/>=

××==

σελ

86901880

2

p

p ..

=−

=λ

λρ

mm37120511388690cb effc ..., =×== ρ

mm7226349826371202b banzoe ...)( inf. =×++×=

• Secção Efectiva da Alma

mm027834982800b .).( =×−=

ψ=1.0 (alma uniformemente comprimida) ⇒ kσ=4.0

Estruturas Metálicas (de Aço)

43

kσ=4.0 ⇒ ( )

6730823248140428

602783

K428

tb wp ..

..

)/.(

.

/>=

××==

σελ

32708232

13055082323055022

p

p ..

)(..)(.=

+−=

+−=

λ

ψλρ

mm05256027833270bb effc ..., =×== ρ

mm03128b50bb effc2e1e .. , ===

mm5213649803128b almae ...)( =+= (junto de cada banzo)

A figura abaixo mostra a secção efectiva determinadas.

136.52

136.52

263.72

• Cálculo da área efectiva (Aeff) e da excentricidade (eNy)

2

eff mm447076652136210722631280A .).()..( =××+×+=

mm37419447076

67474152136267852136105722638151280z effG .

.

)....()..()( =

××+×+××+×=

mm95243741932444eNy ... =−= (↓)

(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed)

• Secção Efectiva do Banzo Superior

mm128049826561282b be ...)( sup. =×++×= (idêntico ao caso anterior)

Estruturas Metálicas (de Aço)

44

• Secção Efectiva da Alma

- Cálculo de ψ na alma

280.1

1σ

σ = ψ2 1σ

2mm106016800103001280A =×+×+=′ ).(

mm4040210601

41068001053008151280zG .

).(=

××+××+×=′

962040402498810

4981040402.

..

)..(−=

−−

−−−=ψ

- Cálculo de ρ na alma

9620.−=ψ ⇒ 9122789296817k 2 .... =+−= ψψσ (Tabela 4.1 do EC3-1-5)

9122k .=σ ⇒ ( )

6730179191228140428

602783

K428

tb wp ..

...

)/.(

.

/>=

××==

σελ

76801791

96203055017913055022

p

p ..

).(..)(.=

−−=

+−=

λ

ψλρ

- Cálculo de bc e das parcelas be1 e be2

mm0939996201

02783

1

bbc .

.

.=

+=

−=

ψ

Estruturas Metálicas (de Aço)

45

mm50306093997680bb ceff ... =×== ρ

mm61225030640b40b eff1e .... =×==

mm91835030660b60b eff2e .... =×==

mm091314986122abb 1ealmae ...)( sup, =+=+=

mm3257649809399027839183abbb t2ealmae ..)..(.)( inf, =+−+=++=

A figura abaixo mostra a secção efectiva determinada.

280.1

131.09

576.32

300

• Cálculo do Módulo de Flexão Efectivo (Weff,y,min)

)basedapartiramedido(.

)(

mm67389

6131.09)(576.3210280.1)(300

65.55)-(8106131.06298.166576.3210815)280.15(300z effG

=

=×++×+

××+××+××+×=

4

22

22

3333

effy

mm1175472955

6738955658106091311629867389632576

6738981510128038410300

12

091316

12

325766

12

101280

12

10300I

=

=−−××+−××+

+−××+××+

+×

+×

+×

+×

=

)..(.)..(.

).(.

...)(

3effy

yeff mm72273156167389820

IW .

).(

)()( supmin,, =

−=

3effy

yeff mm714301658567389

IW .

).(

)()( infmin,, ==

Estruturas Metálicas (de Aço)

46

(III) Verificação da Segurança

MPa35501

355ff

0M

y

yd ===.γ

• NEd=390kN (Compressão) - Fibras superiores

01815066001550

355722731561

95241039010630

355447076

10390

fW

eNM

fA

N 363

ydyeff

NyEdEdy

ydeff

Ed

....

.

.

.)( supmin,,

,

<=+=

=×

××+×+

×

×=

++

∴ A segurança da secção está verificada

• NEd=390kN (Tracção) - Fibras superiores

01557065000930355722731561

10630

35511800

10390

fW

M

Af

N 63

ydyeff

Edy

yd

Ed .....)( supmin,,

, <=+−=×

×+

×

×−=+−

∴ A segurança está verificada - Fibras inferiores

016810588009303557143016585

10630

35511800

10390

fW

M

Af

N63

ydyeff

Edy

yd

Ed .....)( infmin,,

, <=+=×

×+

×

×=+−

∴ A segurança está verificada

• NOTA: As fibra mais solicitada são as inferiores, que não correspondem ao valor mínimo do

módulo de flexão efectivo. Por outro lado, como a compressão é sempre mais penalizadora

que a tracção, não havia qualquer dúvida que a segurança da secção seria verificada.

EXEMPLO ILUSTRATIVO

Verificar a segurança da chapa de pavimento misto representada na figura 3.10 durante a

fase construtiva (i.e., enquanto o betão está “fresco” e, portanto, não desempenha

funções resistentes − traduz-se apenas por uma acção).

Estruturas Metálicas (de Aço)

47

L=2.60 m

p

b/2 b/2bc c

a

t

a = 150.0mm b = 60.5mm h = 54.0 mmc = 14.5mm t = 1.0mm

h

H

Secção Transversal

Betão

H = 120mm

y yGZ

Figura 3.10 – Geometria, dimensões e acções da chapa de pavimento misto

Estruturas Metálicas (de Aço)

48

RESOLUÇÃO

(I) Dados - Chapa de pavimento: HI Bond 55 com fy=320MPa

8570320

235.==ε

- Valor do momento actuante máximo

mmkN4382250925010898312p 3 //.)...( =×+××= − (carga uniformemente distribuída) Chapa Betão Coeficiente de majoração

mkNm0938

62438251M

2

Edy /...

., =×

×= (momento máximo − meio vão)

(II) Características Geométricas da Secção Bruta - Área

º..

031554

514arctg ==α mm91.55

º03.15cos

54= (comprimento das paredes inclinadas)

2mm83232019155256025302A ..)...( =××+××= (célula com 150mm de largura)

mmm21552m150

83232A 2 /.

)(.

.== (área por metro de largura)

- Centro de gravidade zG=27mm (a partir da linha média) - Momento de inércia:

Ia=Ibcos2α + Icsen

2α αaa

b

c

c

Estruturas Metálicas (de Aço)

49

[ ] )célulapor(....

).(..

).(cos..

....

4

23

23

23

y

mm291153893130791358420888219

0315sen12

019155

031512

01915522701560

12

015602I

=+×+=

=

×

×+

+×

××+

××+

××=

mmm9769261150

29115389I 4

y /..

.==

(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed)

• Secção Efectiva do Banzo Superior

mm559502560c ... =×−=

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=4.0

kσ=4.0 ⇒ ( )

67302221048570428

01559

K428

tc f

p .....

)./.(

.

/>=

××==

σελ

67102221

13055017913055022

p

p ..

)(..)(.=

+−=

+−=

λ

ψλρ

mm92395596710cb effc ..., =×== ρ

mm9619923950b50bb effc2e1e .... , =×===

be1

be2e1b = = 19.96mm

e1b

• Secção Efectiva das Almas

- Cálculo de ψ nas almas

[ ] )célulapor(..)..(.. 2mm24213010192399155225302A =×++×+×=′

)secçãodabasedapartiramedido(..

.)..(......

mm0225

24213

5540192395270191552500125302zG

=

=×++×××+×××

=′

Estruturas Metálicas (de Aço)

50

8290022453

0224

1

2 .).(

.−=

−

−==

σσ

ψ

- Cálculo de bc e das parcelas be1 e be2

8290.−=ψ ⇒ 7519789296817k 2 .... =+−= ψψσ (Tabela 4.1 do EC3-1-5)

mm91545029155b ... =×−=

7519k .=σ ⇒ ( )

6730508075198570428

019154

K428

tb wp ..

...

)./.(

.

/<=

××==

σελ

∴ A alma é toda efectiva

• Cálculo de Weff,y,min (zG)eff = 25.02 mm

[ ])célulapor(.....

)..(..)..(

)..(..)..(....

)(

4

2

223

effy

mm464981329442785703933895439363740425

0225527019155313079135842

02255540192405002250156012

01560I

=+++=

=−××++×+

+−××+−××+×

=

mmm427654216150

46498132I 4

effy /..

.)( ==

(III) Verificação da Resistência

014430

01

32076221821

10093

fW

M 6

ydmimyeff

Edy ..

..

.

,,

, <=×

×=

∴ A resistência da chapa está verificada

3.3.2 TENSÕES TANGENCIAIS (Vz,Ed + Vy,Ed)

• Secções de Classe 1, 2, 3 ou 4 (a classificação das secções não tem qualquer relação com

a resistência às tensões tangenciais)

• O valor de cálculo do esforço transverso VEd deve satisfazer a condição

Estruturas Metálicas (de Aço)

51

01V

V

Rdc

Ed .,

≤ , (3.15)

onde Vc,Rd é o valor de cálculo da resistência da secção ao esforço transverso. No

caso do dimensionamento plástico, Vc,Rd é igual a Vpl,Rd (valor de cálculo da resistência

plástica), dado por

0M

yv

RdplRdc

3fAVV

γ

)/(,, == , (3.16)

onde Av é a área de corte da secção, a qual depende da sua geometria e do sentido de

actuação esforço transverso.

• O dimensionamento elástico é conservativo e, por esse motivo, só se adopta quando tal é

indispensável, nomeadamente na verificação da segurança de secções de Classe 3 ou 4

submetidas a combinações de esforço transverso, momento flector e/ou momento torsor.

• O valor de Vc,Rd=Vel,Rd obtém-se a partir da condição

0,1)3(f 0My

Ed ≤γ

τ , (3.17)

onde τEd é determinado através de expressão (já conhecida da Resistência de Materiais)

tI

SVEdEd =τ . (3.18)

• Em secções em I ou H em que a relação entre Af (área de um banzo) Aw (área da alma)

satisfaz a condição 60AA wf ./ ≥ , a tensão tangencial na alma (provocada por um esforço

transverso paralelo a ela) pode ser determinada, aproximadamente, através da expressão

w

EdEd A

V=τ . (3.20)

Estruturas Metálicas (de Aço)

52

Estruturas Metálicas (de Aço)

53

Estruturas Metálicas (de Aço)

54

3.3.3 TENSÕES NORMAIS (NEd + My,Ed + VY,Ed) + TENSÕES TANGENCIAIS (VZ,Ed + VY,Ed)

• O EC3 estipula que, no caso de se ter RdplEd V50V ..≤ (o esforço transverso actuante não

excede 50% da resistência plástica da secção ao corte), a influência do esforço transverso

pode ser desprezada e a resistência da secção é condicionada unicamente pelas tensões

normais (situação já abordada na secção 3.3.1).

• Se RdzplEdz V50V ,,, .> e/ou RdyplEdy V50V ,,, .> o EC3 preconiza que a influência do esforço

transverso (i) tem que ser considerada e (ii) pode ser traduzida por uma redução da tensão

de cedência do aço na(s) respectiva(s) área(s) de corte Av,z e/ou Av,y. Essa redução da

tensão de cedência é definida por:

Av,z : fy → (1-ρz) fy com

2

Rdzpl

Edz

z 1V

V2

−=

,,

,ρ (3.21)

Av,y : fy → (1-ρy) fy com

2

Rdypl

Edy

y 1V

V2

−=

,,

,ρ . (3.22)

• Verifica-se então a resistência às tensões normais de uma secção transversal “enfraquecida”

(pela redução da tensão de cedência) em uma ou em ambas as áreas de corte.

• Observe-se que a redução da tensão de cedência pode fazer baixar a classe da secção.

Para além disso, nas secções de Classe 4 (sem e com redução de fy), a presença de esforço

transverso superior a 50% da resistência plástica da secção influencia as propriedades

efectivas (“aproxima-as” das propriedades brutas).

• No caso de secções de Classe 3 ou 4, as quais apenas podem atingir uma resistência

elástica, pode adoptar-se um procedimento alternativo: verificar a resistência da secção

através do bem conhecido critério de von-Mises, cuja expessão é

0M

y

yd

2

Ed

2

EdEdcomp

ff3

γσσσ =≤+=, . (3.23)

No caso das secções de Classe 4, o valor de Edσ é nula nas zonas não efectivas da secção.

Estruturas Metálicas (de Aço)

55

Estruturas Metálicas (de Aço)

56

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO DE CLASSE 1)

Verificar a segurança da secção de um perfil IPE 270 de aço Aço S235 (fy=fyd=235MPa)

cujas caracteristicas geométricas são

A=45.95 cm2 hw=249.6 mm tw=6.6 mm Wpl,y=484 cm

3 Av,z=22.14 cm3 ,

a qual se encontra submetida à combinação de esforços My,Ed=105 kNm e

Vz,Ed=210 kN, a qual ocorre tipicamente em apoios intermédios de vigas contínuas.

RESOLUÇÃO

)(..

)/.(.)/(,

,,, Edz

0M

yzv

Rdzpl VkN430001

352314223fAV >=

×==

γ

kN2150V50kN210V RdzplEdz .. ,,, =>=

∴∴∴∴ É necessário considerar a interacção entre tensões normais e tangenciais

• No caso das secções em I com banzos iguais submetidas a flexão em torno do eixo de

maior inércia, o EC3-1-1 preconiza explicitamente a utilização da expressão

0M

w

2

wzypl

RdVy

t4

AW

Mγ

ρ

−

=,

,, com Aw=hwtw (área da alma) − em geral, tem-se Aw < Av,z

para estimar o momento resistente da secção, tomando em consideração a influência

do esforço transverso. No entanto, apesar de designar esse momento resistente por

“plástico”, estipula que ele deve ser limitado pela condição

Wpl,y fy / γM0 (Classe 1 ou 2)

=≤ RdC,y, RdV,y, MM Wel,y fy / γM0 (Classe 3)

Weff,y fy / γM0 (Classe 4)

Como a aplicação desta disposição ao caso das secções de Classe 3 ou 4 parece não fazer

sentido (o momento resistente da secção sem esforço transverso é “elástico”), ela será

apenas considerada em secções de classe 1 e 2.

Estruturas Metálicas (de Aço)

57

Estruturas Metálicas (de Aço)

58

159014300

21021

V

V222

Rdzpl

Edz

z ..,,

, =

−×

=

−=ρ

).(... ,2

zv

22

w cm1422Acm471610666249A =<=××= −

kNm911091001

235

664

4716159010484M

62

3

RdVy ...

..,, =××

×

×−×= −

kNm9109MkNm105M RdVyEdy .,,, =<=

∴ A resistência da secção está verificada

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO DE CLASSE 4)

Verificar a segurança da secção soldada já considerada anteriormente (ver página 30)

10

400

6

10

800

300

y

zG

(mm)z

zG=444.32 mm (medido a partir da base)

É formada por chapas de aço S355 (fy=355MPa), tem cordões de soldadura de largura a=6 mm

e está sujeita a NEd=390kN (compressão), My,Ed=630 kNm (momento positivo) e Vz,Ed=800 kN.

RESOLUÇÃO

)almaaárea(, dmm48006800A 2

zv =×=

)(..

)/()/(,

,,, Edz

3

0M

yzv

Rdzpl VkN898301

10335548003fAV >=

××==

−

γ

kN9491V50kN800V RdzplEdz .. ,,, =>=

∴∴∴∴ É necessário considerar a interacção entre tensões normais e tangenciais

Estruturas Metálicas (de Aço)

59

3923018983

80021

V

V22

2

Rdzpl

Edz

z ..,,

, =

−×

=

−=ρ

wydyzwy fMPa7215355392301f1f ,, .).()( ≡=×−=−= ρ ⇒ 04417215

235w .

.==ε

fydyfy fMPa355ff ,, ≡== ⇒ 8140355

235f .==ε

(I) Determinação de Aeff e eNy (NEd)

• Secção Efectiva do Banzo Superior

mm51188249826400c ./).( =×−−=

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=0.43

kσ=0.43 ⇒ ( )

748024414308140428

1051188

K428

tc

f

f

p .....

)/.(

.

/>=

××==

σελ

68201880

2

p

p ..

=−

=λ

λρ

mm56128511886820cb effc ..., =×== ρ

mm128049826561282a2tb2b weffcbanzoe ...)( ,sup. =×++×=++=

• Secção Efectiva do Banzo Inferior

mm51138249826300c ./).( =×−−=

ψ=1.0 (banzo uniformemente comprimido) ⇒ kσ=0.43

kσ=0.43 ⇒ ( )

748091404308140428

1051138

K428

tc

f

f

p .....

)/.(

.

/>=

××==

σελ

86901880

2

p

p ..

=−

=λ

λρ

mm37120511388690cb effc ..., =×== ρ

mm7226349826371202b banzoe ...)( inf. =×++×=

Estruturas Metálicas (de Aço)

60

• Secção Efectiva da Alma

mm027834982800b .).( =×−=

ψ=1.0 (alma uniformemente comprimida) ⇒ kσ=4.0

kσ=4.0 ⇒ ( )

6730200240441428

602783

K428

tb

w

wp ..

..

)/.(

.

/>=

××==

σελ

40902002

13055020023055022

p

p ..

)(..)(.=

+−=

+−=

λ

ψλρ

mm26320027834090bb effc ..., =×== ρ

mm13160b50bb effc2e1e .. , ===

mm6216849813160b almae ...)( =+= (junto de cada banzo)

A figura abaixo mostra a secção efectiva determinada.

263.72

168.62

168.62

• Cálculo de Aeff e eNy

2

eff mm647461662168210722631280A .).()..( =××+×+=

mm89418647461

66972562168319462168105722638151280z effG .

.)....()..(

)( =××+×+××+×

=

mm43258941832444eNy ... =−= (↓)

Estruturas Metálicas (de Aço)

61

(II) Determinação de Weff,y,min (My,Ed)

• Secção Efectiva do Banzo Superior

mm128049826561282b be ...)( sup. =×++×= (idêntico ao caso anterior)

• Secção Efectiva da Alma

- Cálculo de ψ na alma

280.1

1σ

σ = ψ2 1σ

2mm106016800103001280A =×+×+=′ ).(

mm4040210601

41068001053008151280zG .

).(=

××+××+×=′

962040402498810

4981040402.

..

)..(−=

−−

−−−=ψ

962.0−=ψ ⇒ 9122789296817k 2 .... =+−= ψψσ (Tabela 4.1 do EC3-1-5)

9122k .=σ ⇒ ( )

673092009196091220441428

602783

K428

tb

w

wp ...

...

)/.(

.

/>≅=

××==

σελ

95409200

96203055092003055022

p

p ..

).(..)(.=

−−=

+−=

λ

ψλρ

Estruturas Metálicas (de Aço)

62

- Cálculo de bc e das parcelas be1 e be2

mm0939996201

02783

1

bbc .

.

.=

+=

−=

ψ

mm73380093999540bb ceff ... =×== ρ

mm291527338040b40b eff1e .... =×==

mm442287338060b60b eff2e .... =×==

mm7816049829152abb 1ealmae ...)( sup, =+=+=

mm866204989338344228abbb t2ealmae ....)( inf, =++=++=

A figura abaixo mostra a secção efectiva determinada.

280.1

300

160.78

620.86

• Cálculo do Módulo de Flexão Efectivo (Weff,y,min)

)basedapartiramedido(.

)(

mm90399

6160.78)(620.8610280.1)(300

80.39)-(8106160.78320.436620.8610815)280.15(300z effG

=

=×++×+

××+××+××+×=

Estruturas Metálicas (de Aço)

63

42

22

23333

effy

mm120065504093993980810678160

4332093996866209399815101280

593991030012

781606

12

866206

12

101280

12

10300I

=−−××+

+−××+−××+

+−××+×

+×

+×

+×

=

)..(.

)..(.).(.

).(...

)(

3effy

fyeff mm99528580219399820

IW .

).(

)()( sup,min,, =

−= (fibras superiores do banzo comprimido)

3effy

almawyeff mm8512927712109399820

IW .

).(

)()( ,min,, =

−−= (fibras superiores da alma)

(III) Verificação da Segurança

• Fibras Superiores do Banzo Comprimido

1778063101470

3559952858021

43251039010630

355647461

10390

fW

eNM

fA

N 363

fydfyeff

NyEdEdy

fydeff

Ed

<=+=

=×

××+×+

×

×=

++

...

.

.

.)( ,sup,min,,

,

,

• Fibras Superiores da Alma

1255101312420

72158512927712

43251039010630

7215647461

10390

fW

eNM

fA

N 363

fydfyeff

NyEdEdy

fydeff

Ed

>=+=

=×

××+×+

××

=+

+

...

..

.

..)( ,sup,min,,

,

,

∴∴∴∴ A segurança da seccção não é verificada (nas fibras superiores da alma)

• Em alternativa, poder-se-ia ter utilizado o critério de von Mises, o que envolveria os

seguintes procedimentos:

(i) Determinar as tensões normais devidas a NEd + My,Sd, o que obrigaria a calcular

as propriedades efectivas da secção (tal como foi feito anteriormente).

(ii) Determinar as tensões tangenciais devidas a Vz,Ed, com base na secção bruta.

(iii) Determinar o ponto da secção onde o valor da tensão de comparação σcomp,Ed é

máximo e comparar esse valor com fyd – como é óbvio, admite-se que a tensão normal

σEd é nula nas zonas não efectivas da secção.

Estruturas Metálicas (de Aço)

64

(iv) Neste caso particular, a máxima tensão de comparação ocorreria na vizinhança do

nó alma-banzo superior – (i) nas fibras superiores do banzo comprimido (ponto 1 −

máxima tensão normal) ou (ii) nas fibras superiores da alma (ponto 2 − tensão

normal um pouco inferior ao valor máximo, mas tensão tangencial cerca do dobro da

anterior – ponto 2). Como a tensão de cedência é menor no ponto 2, este

condiciona a resistência da secção.

2

1

3.3.4 TORÇÃO

• Uma barra com secção de parede fina aberta submetida a um momento torsor T exibe

(i) rotação φ das suas secções transversais em torno do eixo da barra e (ii) deslocamentos

axiais de empenamento u (a secção deixa de estar contida num plano).

u

u

x

y

T

T

φ

Figura 3.11 – Barra submetida a momento torsor T – empenamentos u e rotações φ

• Se as secções puderem empenar livremente, isto é, se (i) os apoios da barra não impedirem

o empenamento e (ii) o momento torsor for constante, diz-se que a barra está submetida a

“Torção Uniforme” (ou “Torção de Saint-Venant”) – ver a figura 3.12.

Estruturas Metálicas (de Aço)

65

Figura 3.12 – Barra submetida a torção uniforme

• Se (i) o empenamento for restringido (impedido) em alguma secção (e.g., num apoio) ou

(ii) o momento torsor for variável, diz-se que a barra está submetida a “Torção Não-

Uniforme” – ver a figura 3.13 (o empenamento está impedido no encastramento).

Figura 3.13 – Barra submetida a torção não uniforme

• No caso da torção uniforme, as secções exibem deslocamentos axiais de empenamento que,

por serem iguas em todas as secções, não introduzem tensões normais. O momento torsor

Tsv é equilibrado unicamente por tensões tangenciais τsv, cuja determinação foi

estudada na disciplina de Resistência de Materiais.

Estruturas Metálicas (de Aço)

66

• No caso da torção não uniforme, para além das tensões tangenciais τsv, desenvolvem-se

também (i) tensões normais σw (devidas à restrição ao empenamento), cuja resultante se

designa por bimomento (Bw) e (ii) tensões tangenciais τw (também devidas à restrição ao

empenamento) que equilibram as tensões normais σw. Deste modo, o momento torsor

resistente (TR) é constituído por duas parcelas (ver a figura 3.13)

wsvR TTT +=

onde (i) Tsv=GJφ’ (torção uniforme) e (ii) Tw=–EIwφ’’’ (torção não uniforme) − φ é

o ângulo de rotação da secção em torno do eixo da barra. Conforme mostra a figura 3.13,

os valores relativos de Tsv e Tw variam ao longo do comprimento da barra.

Tw

Tsv

T

T=TR=Tsv+Tw

Figura 3.13 – Parcelas Tsv e Tw do momento torsor resistente

• Para caracterizar o comportamento de torção de uma secção é necessário conhecer duas

propriedades geométricas: (i) a constante de torção de Saint-Venant (J), cuja

determinação se estudou na disiplina de Resistência de Materiais, e (ii) a constante de

empenamento (Iw). Existem tabelas com expressões analíticas e/ou valores de J e Iw

para diversos tipos de secções.

• O EC3 estipula que o momento torsor devido ao empenamento (Tw,Ed) pode ser desprezado

nas secções de parede fina fechada (por exemplo, secções RHS − secções tubulares

rectangulares). Em secções circulares tubulares circulares, Tw,Ed é mesmo nulo (devido à

simetria radial da secção).

Resultante

de τsv

Resultante

de τw

Estruturas Metálicas (de Aço)

67

• O EC3 estipula também que o momento torsor de Saint-Venant (Tt,Ed) pode ser desprezado

nas secções de parede fina aberta (por exemplo, em I ou H). Neste tipo de secções a

resistência à torção é devida, quase unicamente, à resistência das secções ao empenamento.

• Como o comportamento das secções de parede fina aberta é bastante complexo (devido

ao empenamento), aborda-se aqui apenas a torção das secções de parede fina fechada.

• Sabe-se, da Resistência dos Materiais, que a tensão tangencial elástica devido à torção de

Saint-Venant, em secções tubulares circulares (CHS) e rectangulares (RHS), é dada por

rI

T

p

tt =τ )( 4

i

4

ep RR2

I −=π

tA2

T

m

tt =τ ))(( thtbAm −−=

3.3.4.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

• Em secções de Classe 1, 2, 3 ou 4 (a classificação das secções não envolve a resistência às

tensões tangenciais, inclusive as devidas à torção), tem-se

01T

T

Rd

Ed .≤

• Dimensionamento Plástico

- Secções circulares

( )3

fRR

3

2drrr2

3

fT

yd3

i

3

e

R

R

yd

Rdpl

e

i

−=××= ∫π

π )(,

- Secções rectangulares

3

ftA2T

yd

mRdpl )(, =

Ri

Re

r

3

f yd

3

f yd

r

t

h

b

Am

Estruturas Metálicas (de Aço)

68

• Dimensionamento Elástico

- Secções circulares

−=

=

3

fRR

R23

f

R

IT

yd4

i

4

e

e

yd

e

p

Rdel )(,

π

Observe-se que, para um dado valor de Re, quanto maior for o valor de Ri (isto é, menor

o valor de t=(Re–Ri)), mais pequena é a diferença entre os valores de Tel,Rd e Tpl,Rd.

- Secções rectangulares

Como a tensão tangencial se admite uniforme na espessura em regime elástico, os valores

das resistências elástica e plástica são idênticos: (TRd)el=(TRd)pl.

3.3.4.1.1 ESFORÇO TRANSVERSO (VEd) + MOMENTO TORSOR (TEd)

• Numa combinação VEd + TEd, a verificação da segurança toma a forma

01V

V

RdTpl

Ed ...

≤

onde Vpl.T.Rd é o esforço transverso resistente (plástico) da secção reduzido pela presença das

tensões tangenciais de torção (τt,Ed − tensões elásticas). Nas secções tubulares, tem-se

−==

0M

y

Edt

RdplRdTpl3f

1VV

γ

τ

)/(,

...

3.3.4.1.2 MOMENTO FLECTOR (MEd) + ESFORÇO TRANSVERSO (VEd) + MOMENTO TORSOR (TEd)

• Numa combinação MEd + VEd + TEd em que o nível de esforço transverso seja elevado em

relação ao esforço transverso reduzido pelas tensões tangenciais de torção (VEd > 0.5Vpl.T.Rd),

o factor de redução da tensão de cedência do aço na área de corte (ρ) +e dado por

2

RdTpl

Ed 1V

V2

−=

..

ρ

Estruturas Metálicas (de Aço)

69

Estruturas Metálicas (de Aço)

70

• Alternativamente, pode sempre recorrer-se ao critério de von-Mises, que neste caso toma

a forma

01f

3f

2

0My

Ed

2

0My

Ed .//

≤

+

γτ

γσ

Como se trata de um critério de resistência elástica, a sua utilização é (i) rigorosa, nas

secções de Classe 3 ou 4, e (ii) conservativa, nas secções de Classe 1 ou 2.

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO CIRCULAR)

Determine o momento torsor resistente de dimensionamento (i) plástico e (ii)

elástico de um perfil de secção CHS 127×10 de aço S235, cujas geometria é definida

por (i) um diâmetro exterior igual a 127.0 mm e uma espessura de 10.0 mm.

RESOLUÇÃO

mm5632

127Re .== mm55310563tRR ei .. =−=−=

( ) ( ) Nmm102529013

235553563

3

2

3

fRR

3

2T 633yd3

i

3

eRdpl ×=×

×−=−= ..

..,

ππ

( ) ( ) Nmm100727013

235553563

56323

fRR

R2T

644yd4

i

4

e

e

Rdel ×=×

×−×

=−= ..

...,

ππ

EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECÇÃO RECTANGULAR DE CLASSE 1)

Verifique a resistência da secção RHS 400×200×10 representada, de aço S235 e

submetida aos esforços My,Ed=220 kNm, Vz,Ed=435 kN e TEd=100 kNm.

Estruturas Metálicas (de Aço)

71

RESOLUÇÃO 1) Esforço Transverso Resistente Vpl.T.Rd

−=

0My

Edt

RdzplRdTpl3f

1VVγ

τ

/)/(,

,,,,

0M

yzv

Rdzpl3

fAV

γ×= ,

,,

22

zv mm7600210380mm37733400200

40011600

hb

hAA =××≅=

+

×=

+

×= .,

kN21049013

23537733V Rdzpl .

.

.,, =

×

×=

26

m

EdEdt mmN567

101903902

Nmm10100

tA2

T/.

)(

)(, =

×××

×==τ

kN6527013235

567121049V RdTpl .

./)/(

..,, =

−×= (redução de cerca de 50%)

2) Interacção entre VEd e Mpl,y,Rd

kN3263V50kN435V RdTplEdz .. ,,, =>= ⇒ É necessário considerar a interacção

3) Factor de Redução da Tensão de Cedência em Av,z

424017526

43521

V

V222

RdTpl

Ed ..,,

=

−×

=

−=ρ

MPa613523542401f1 y .).()( =×−=− ρ

alma

Estruturas Metálicas (de Aço)

72

4) Verificação da Segurança

01

613549510190

01

235219510200M RdVy .

.)(

.)(,, ××××+××××=

kNm220MkNm2281M EdyRdVy =>= ,,, . ∴∴∴∴ A resistência da secção está verificada

Banzos Wpl,y

Almas Wpl,y