Arcos e ângulos

Circunferência

O

AB

C

DE

Pr

r

r

rr

r

Elementos

B

A

BAO O

Corda AB Diâmetro AB

Elementos

A

B

MN

Arco AMB

Arco ANB

Arcos e ângulos

A ≡ B A ≡ B

arco completo arco nulo

Arcos e ângulos

AB

Arco de meia volta

O

Arco e ângulo central

A

B

O

C

α

D

EF

γ

β

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

70o80o90o100o

110o

120o

130o

140o

150o

160o

170o

180o

190o

200o

210o

220o

230o

240o

250o

260o270o 280o 290o

300o

310o

320o

330o

340o

350o

O grau como unidade de medida

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

70o80o90o100o

110o

120o

130o

140o

150o

160o

170o

180o

190o

200o

210o

220o

230o

240o

250o

260o270o 280o 290o

300o

310o

320o

330o

340o

350o

O grau como unidade de medida

0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

70o80o90o100o

110o

120o

130o

140o

150o

160o

170o

180o

190o

200o

210o

220o

230o

240o

250o

260o270o 280o 290o

300o

310o

320o

330o

340o

350o

1o

O grau como unidade de medida

1º = 360 1

Operações com arcos

Adição;

Subtração;

Multiplicação de uma constante inteira k (k≠0) por

um ângulo;

Divisão de um ângulo por uma constante k (k≠0).

Adição

Sendo α = 18º32’45” e β = 34º50’36”, vamos obter α + β.

18º32’45”

34º50’36”

52º82’81”

82’ = 60’ + 22’ = 1º22’

81” = 60” + 21” = 1’21”

52º82’81” = 52º+1º22’+1’22” = 53º23’21”

+

Subtração

Sendo α = 42º32’40” e β = 18º50’54”, vamos obter α– β .

42º32’40”

18º50’54”

23º41’46”

–

= 41º+60’31’+60”40” = 41º91’100”

41º91’100”

Multiplicação

Sendo α = 23º18’34”, vamos obter α x 5.

x 5

115º90’170”

23º18’34”

115º90’170” = 115º60’+30’120”+50” = 116º32’ 50”

Divisão

Sendo α = 34º20’18”, vamos obter α : 3.

334º 20’ 18”

1º

80’ 2’

138”

0

11º

26’

46”

R. 11º26’46”

→ 60’

120”→

O radiano como unidade de medida

A

R

OR

α

R

B

Comprimento do arco (AB) = R

⇓

m(AB) = 1 radiano

⇓

α = m(AB) = 1 rad

Exemplo

A

R

O R

α

1,5RB

Comprimento do arco (AB) = 1,5 R

⇓

m(AB) = 1,5 rad

⇓

α = m(AB) = 1,5 rad

α = m(AB) =comprimento

R

Arco completo

OR

α A ≡ B

α =comprimento

R

α =2π R

R= 2π rad

Exemplos

B

10,8 cm

A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimen-to do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB.

O

A9 cm

α =comprimento

R

α =10,8 cm

9 cm= 1,2 rad

Exemplos

B

30º

O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferên-cia é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB.

O

A

4 cm

ângulo

x

x =2 π . 4 . 30

360

comprimento

360º 2π R

30º

2 π

3= ≈ 2, 1 cm

Exemplos

B

40 cm

Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência.

O

A

R

α =comprimento

R

5 =40 cm

R⇒ R = 8 cm

αR

Conversões

00ºArco nulo

π/290ºArco de

¼ de volta

π180ºArco de

meia volta

2π360ºArco

completo

Medida em radianos

Medida em graus

Representação

Transformando unidades

As medidas de um arco em graus e radianos são

proporcionais. Por isso podemos transformar

uma unidade em outra por uma regra de três.

180º correspondem a π rad

Exemplos Transformar 72º em radianos.

180º π rad

72º x

x = 72 . π

180 =

2π

5 rad

Exemplos

Exprimir rad em graus.

π rad equivale a 180º.

x = 5.180

4=

5π4

225º