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MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF. ELISSON DE ANDRADE
Blog: www.profelisson.com.br
AULA 1: JUROS SIMPLES
Exercícios resolvidos e comentados
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Proibida reprodução e/ou venda não autorizada.
Primeiramente, imprima essa folha e resolva os exercícios abaixo, sem olhar na resolução comentada. Tente aplicar os conceitos aprendidos no vídeo da Aula 1.
Fórmulas: VF = VP + J J = VP.i.n VF = VP (1+ i . n) Obs: considerar um mês como sendo 30 dias; um ano como sendo 360 dias Lembre-se dos 4 passos:
1) Identifique as variáveis: passo muito importante antes de iniciar qualquer exercício
2) Escolha qual equação utilizar: com base nas informações dos exercícios, escolheremos as fórmulas que possuírem as variáveis informadas
3) Verifique se i e n estão na mesma unidade de tempo: se não estiverem, será preciso transformar uma das variáveis
4) Resolva a equação: aqui a questão é puramente de álgebra
EXERCÍCIOS Imprima esta folha e tente resolver os exercícios abaixo, sem olhar na resolução comentada. Aplique os conceitos aprendidos no vídeo correspondente à Aula 3.
1) Qual a taxa de juros mensal de um empréstimo de R$2.000,00, a ser quitado por
R$2.150,00 após 7 meses?
2) Quanto de juros se recebe sobre um capital aplicado à taxa de 2% ao mês, durante 15
meses?
3) Em quantos dias um capital de R$800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de
R$1.000,00?
4) Calcular o valor do dinheiro que aplicado a uma taxa de 1,33% ao mês, por 174 dias, produziu um
montante de R$543.840,00.
5) Certa quantidade de dinheiro foi aplicada durante 124 dias, a uma taxa de 3% ao bimestre,
gerando um montante de R$3.000,00. Qual o valor aplicado?
6) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$10.000,00, resultante da aplicação de certo
capital à taxa de 21% ao semestre, durante 7 bimestres?
7) Ao fim de quantos dias um capital de R$40.000,00 aplicado à taxa de 5% ao mês, produz
R$18.600,00 de juros?
8) Depois de Jorge emprestar certa quantia de dinheiro, deverá pagar R$800,00 de juros sobre esse
capital. Sabendo que o prazo de aplicação foi de 15 meses e que a taxa de juros foi de 4,5% ao mês,
calcular o valor do montante a ser usado para quitar a dívida.
9) Em quantos meses um capital aplicado à taxa de 20% ao ano dobra o seu valor?
10) A que taxa de juros mensal um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a ¼ (um quarto)
de seu valor?
A SEGUIR, OS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E COMENTADOS.
1) Qual a taxa de juros mensal de um empréstimo de R$2.000,00, a ser quitado por
R$2.150,00 após 7 meses?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: VP = 2000 ; VF = 2150 ; n = 7 meses ; i = ?
Veja que o VP é o valor que será emprestado HOJE, enquanto o valor futuro é o valor da
quitação (pagamento), após 7 meses.
PASSO 2: escolher a equação
Como temos VF e VP, e não aparece a variável J, só é possível utilizar a equação: VF = VP (1+ i . n)
PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo
Como a taxa de juros pedida é MENSAL e o período também já está dado em meses, não é
preciso fazer nenhum ajuste.
PASSO 4: resolver a equação
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, temos
���� = ����(� + �. )
IMPORTANTE verificar que não se pode somar o 1 com o 7 entre parênteses.
Agora basta seguir, passo a passo, a álgebra a seguir
����
����= (� + �. )
�, ��� = � + �.
�, ��� − � = �.
�, ��� = �.
�, ���
�=
= �, �����
Dessa forma, já chegamos à resposta do valor da taxa, em que basta multiplicar por 100 para achar
o valor em porcentagem
= �, �����. ���
= �, ���%���ê�
2) Quanto de juros se recebe sobre um capital de R$50.000,00 aplicado à taxa de 2% ao
mês, durante 15 meses?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: VP = 50000 ; J = ? ; n = 15 meses ; i = 2% ao dia
Quando se fala juros sobre um capital, esse valor é exatamente o valor presente (VP), pois é
sobre ele que incide a taxa de juros.
PASSO 2: escolher a equação
Como só aparece J e VP, utilizaremos a equação: J = VP.i.n
PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo
O exercício oferece o prazo (n) em meses e a taxa (i) também já está mensal. Logo, não é
necessário fazer qualquer ajuste.
PASSO 4: resolver a equação
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, temos (relembrando
que ao substituir a taxa de juros, antes é necessário dividir o valor percentual por 100):
� = �����. �, ��. ��
Fazendo tal multiplicação, temos que
� = �$��. ���, ��
OBS: se fosse perguntado qual o valor TOTAL resgatado após 15 meses, bastaria utilizar a
expressão VF = VP + J, que resultaria em VF = 50000 + 15000 = R$65.000,00.
3) Em quantos dias um capital de R$800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um
montante de R$1.000,00?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: VP = 800 ; VF = 1000 ; n = ? ; i = 0,1% ao dia
Uma nota importante é sobre o termo MONTANTE. Ele é utilizado para representar VALOR
FUTURO.
PASSO 2: escolher a equação
Mais uma vez, como só aparece VF e VP, utilizaremos a equação: VF = VP (1+ i . n)
PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo
O exercício pede o prazo (n) em dias e a taxa (i) também já está em dias. Logo, não é necessário
fazer qualquer ajuste preliminar.
PASSO 4: resolver a equação
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, temos
���� = ���(� + �, ���. �)
IMPORTANTE notar que SEMPRE é preciso substituir, na equação, o valor da taxa de juros (i)
na forma decimal. Isso significa que é necessário dividir a taxa de juros por 100, antes da
substituição.
Continuando com a álgebra, passo a passo a seguir
����
���= (� + �, ���.�)
�, �� = � + �, ���. �
�, �� − � = �, ���. �
�, �� = �, ���.�
�, ��
�, ���= �
� = ������
4) Calcular o valor do dinheiro que aplicado a uma taxa de 1,33% ao mês, por 174 dias, produziu
um montante de R$543.840,00.
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: VP = ? ; VF = 543840 ; n = 174 dias ; i = 1,33% ao mês
PASSO 2: escolher a equação
Como só aparece VF e VP, utilizaremos a equação: VF = VP (1+ i . n)
PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo
A taxa de juros (i) está ao mês e o período (n) está em dias. Dessa forma, antes de substituir tais
valores na equação, precisamos deixar as duas variáveis na mesma unidade de tempo. Para isso,
podemos tanto transformar a taxa mensal para diária, como o período de tempo em dias para
mensal. Você que escolhe.
Na primeira opção, podemos dividir a taxa diária por 30, que significa que uma taxa mensal de
1,33% é equivalente a 1,33%/30 = 0,04433% ao dia.
Na segunda opção, é possível dividir 174 por 30, que estaremos calculando quantos meses são
equivalentes a 174 dias. Veja como: 174/30 = 5,8 meses.
Por simples conveniência de o número não ter dado “quebrado”, iremos preferir essa segunda
opção.
PASSO 4: resolver a equação
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, além de considerar o
período em meses, conforme explicado no PASSO 3, temos
������ = ��(� + �, ����.�, �)
Vale sempre lembrar que 1,33% deve ser substituído como 0,0133, que é calculado dividindo essa
porcentagem por 100. Continuando com a álgebra:
������ = ��(� + �, �����)
������ = ��.�, �����
������
�, �����= ��
�� = �$���. ���, ��
5) Certa quantidade de dinheiro foi aplicada durante 124 dias, a uma taxa de 3% ao
bimestre, gerando um montante de R$3.000,00. Qual o valor aplicado?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: VP = ? ; VF = 3000 ; n = 124 dias ; i = 3% ao bimestre
Relembrando: montante = VF
PASSO 2: escolher a equação
Como temos apenas VF e VP, utilizaremos a equação: VF = VP (1+ i . n)
PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo
O exercício oferece o prazo (n) em dias e a taxa (i) ao bimestre.
Podemos converter a taxa bimestral em dias, bastando dividi-la por 60, da seguinte forma:
3%/60 =0,05% ao dia ---- Importante relembrar que um bimestre possui 60 dias.
Também seria possível transformar 124 dias em bimestres, também dividindo por 60:
124/60 = 2,0666 bimestres
Iremos preferir a primeira opção, pois o número não dá dízima periódica.
PASSO 4: resolver a equação
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, e considerando a
transformação da taxa bimestral em diária, apresentada no PASSO 3, temos
���� = ��(� + �, ����.���)
Mais uma vez, vale notar que a taxa de 0,05% ao dia foi dividida por 100, antes de ser substituída
na equação. Agora, continuando com a álgebra
���� = ��(� + �, � �)
����
�, � �= ��
�� = �$�. ���, ��
6) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$10.000,00, resultante da aplicação de certo
capital à taxa de 21% ao semestre, durante 7 bimestres?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: VF = 10000 ; J = ? ; n = 7 bimestres ; i = 21% ao semestre
PASSO 2: escolher a equação
Esse é um exercício diferente dos anteriores. Isso porque pede o valor dos juros (J), mas não dá o valor presente (VP); somente do valor futuro (VF). E nas equações apresentadas, não há uma fórmula relacionando VF e J diretamente. Portanto, precisaremos utilizar duas fórmulas: VF = VP (1+ i . n) e VF=VP+J PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo
Temos o prazo em bimestre a taxa em semestre. Podemos transformar o prazo pela simples
divisão de 7 por 3. Isso porque 1 semestre possui 3 bimestres. Logo, 7/3 = 2,333 semestres.
Alternativamente, poderíamos transformar a taxa semestral em bimestral. Se a taxa é de 21% em
um semestre, ao dividir por 3 acharemos a taxa em apenas 1 bimestre: 21%/3 = 7% ao bimestre.
Utilizaremos esse último valor, pela conveniência de 7% ser um número inteiro.
PASSO 4: resolver a equação
Primeiramente, serão substituídas as variáveis do PASSO 1 na primeira equação destacada no
PASSO 2, lembrando que usaremos a taxa de 7% ao bimestre e o período de 7 bimestres,
definidos no PASSO 3:
����� = ��(� + �, ��. �)
����� = ��(� + �, ��)
�����
�, ��= ��
�� = ���, ��
Calculado o VP, agora é possível chegar ao valor dos juros, através da segunda fórmula do
PASSO2.
����� = ���, �� + �
� = ����� − ���, ��
� = �$�. ���, ��
7) Ao fim de quantos dias um capital de R$40.000,00 aplicado à taxa de 5% ao mês, produz
R$18.600,00 de juros?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: VP = 40000 ; J = 18600 ; n = ? ; i = 5% ao mês
PASSO 2: escolher a equação
Nesse exercício temos VP e J como variáveis informadas, portanto utilizaremos a equação: J = PV . i . n PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo
A taxa de juros (i) está em mês e queremos a resposta em dias. Nenhum problema. Podemos
achar a resposta em meses e, ao final, transformar o período na unidade de tempo desejada. Se
quiser transformar a taxa de 5% em diária antes de usar a fórmula, também não há problema,
bastando dividir esse percentual por 30.
PASSO 4: resolver a equação
Primeiramente, serão substituídas as variáveis do PASSO 1 na equação destacada no PASSO 2, e
em seguida realizada a álgebra
�� �� = �����. �, ��. �
�� �� = ����. �
�� ��
����= �
� = �, ��!�!�
Para transformar meses em dias, basta multiplicar 9,3 por 30.
9,3 . 30 = 279 dias
8) Depois de Jorge tomar emprestado certa quantia de dinheiro, deverá pagar R$800,00 de juros
sobre esse capital. Sabendo que o prazo de aplicação foi de 15 meses e que a taxa de juros foi de
4,5% ao mês, calcular o valor do montante a ser usado para quitar a dívida.
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: VF = ? ; J = 800 ; n = 15 meses ; i = 4,5% ao mês
PASSO 2: escolher a equação
Nesse exercício é oferecido o valor dos juros (J) e valor futuro (VF). Porém, nas equações que estamos trabalhando não há uma fórmula relacionando VF e J diretamente. Portanto, precisaremos utilizar duas fórmulas a seguir: J = PV . i . n e VF=VP+J PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo
Neste problema, taxa (i) e prazo (n) estão na mesma unidade de tempo (mês).
PASSO 4: resolver a equação
Primeiramente, serão substituídas as variáveis do PASSO 1 na primeira equação destacada no
PASSO 2, com sua respectiva álgebra:
��� = ��. �, ��.��
��� = ��. �, ��
���
�, ��= ��
�� = �� ,
Por fim, basta usar a segunda fórmula do PASSO 2, para calcular o valor do montante
�" = �� , + ���
�" = �� ,
9) Em quantos meses um capital aplicado à taxa de 20% ao ano dobra o seu valor?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: VP = ? ; VF = ? ; n = ? ; i = 20% ao ano
Esse é um dos exercícios mais intrigantes sobre juros simples. Temos apenas a taxa de juros e a
informação de que o valor a ser resgatado da aplicação será o dobro do investido. Tal afirmação
pode ser resumida em:
VF = 2 . VP
PASSO 2: escolher a equação
Como iremos usar da relação VF = 2 . VP para solucionar o problema, a equação a ser utilizada será: VF = VP (1+ i . n)
PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo
A taxa (i) está ao ano e pede o período (n) em meses. Nesse caso, poderemos, primeiramente,
calcular o período e, só depois, fazer a transformação. Obviamente a taxa de 20% ao ano poderia
ser diretamente transformada para mensal, através de sua divisão por 12.
PASSO 4: resolver a equação
Vamos substituir a relação descrita no PASSO 1, na equação apresentada no PASSO 2.
�. �� = ��(� + �, �. �)
Depois de realizada a substituição, basta passar a variável VP dividindo para o outro lado.
�. ��
��= � + �, �. �
Como qualquer número dividido por ele mesmo dá 1, podemos eliminar VP da equação
� = � + �, �. �
Resolvendo a álgebra
� − � = �, �. �
�
�, �= �
� = �����
A resposta dá em anos porque a taxa utilizada foi de 20% ao ano. Para transformá-la em meses, basta
multiplicar 5 anos por 12. Disso resulta uma resposta de 60 meses.
5 . 12 = 60 meses
10) A que taxa de juros mensal um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a ¼ (um
quarto) de seu valor?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: VP = ? ; J = ? ; n = 10 meses ; i = ?
Exercício muito similar ao anterior. A grande diferença é que o enunciado faz menção aos juros
(J) e não ao valor futuro (VF). O que se verifica são juros iguais a ¼ do valor inicial, conforme a
equação a seguir:
� =�
���
PASSO 2: escolher a equação
Como iremos usar da relação acima, deveremos utilizar a equação que possui essas duas variáveis: J = VP . i . n
PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo
Como o prazo (n) está em meses, tal qual a taxa (i) pedida, não há necessidade de qualquer
transformação.
PASSO 4: resolver a equação
Substituindo a relação exposta no PASSO 1, de que os juros são um quarto do valor presente, na
equação do PASSO 2, temos:
�
��� = ��. . ��
Mais uma vez, ao passar VP dividindo, teremos:
�. ��
�. ��= . ��
Como a divisão VP/VP é igual a 1, podemos eliminar essa variável e seguir com a álgebra.
�
�= . ��
�
�. ��=
�
��=
= �, ���
Em que multiplicando esse valor por 100, chegamos à resposta de 2,5% ao mês.
0,025 . 100 = 2,5% ao mês
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