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Engenharia EconômicaEngenharia Econômica

Juros e FunçõesJuros e FunçõesEquivalência de TaxasEquivalência de Taxas

Curso: Engenharia CivilDisciplina: Engenharia EconômicaProfª: Dra. Felícia Rocha

�� JurosJuros SimplesSimples – os juros serão obtidos emfunção do tempo de aplicação através daequação:

J = C.i.n

Vamos considerar um capital de R$ 200,00 aplicadoa juros simples à taxa de 10% ao mês e o prazo emmeses:n = 0 ⇒ J = 200. 0,1.0 = 0,n = 1 ⇒ J = 200. 0,1.1 = 20,n = 2 ⇒ J = 200. 0,1.2 = 40,n = 3 ⇒ J = 200. 0,1.3 = 60

n (meses) J (R$)

0 0

1 20

2 40

3 60

Os juros estãorelacionados por umafunção linear:

J = 20nJ = 20n

� Como o montante é dado por MM == CC ++ JJ , essarelação também segue uma função linear

0

1000

2000

3000

0 2 4

Juro

s (R

$)

Período (meses)

150

200

250

0 2 4

Mo

nta

nte

(R$

)

Período (meses)

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� Juros compostos – no sistema de juroscompostos, o montante é obtido em função dotempo por meio da equação:

M = C (1 + i)M = C (1 + i)nn

Vamos considerar um capital de R$ 400,00 aplicadoa juros compostos à taxa de 80% ao ano e o prazoem anos:n = 0 ⇒ M = 400.(1 + 0,80)0 = 400n = 1 ⇒ M = 400 .(1 + 0,80)1= 720n = 2 ⇒ M = 400 .(1 + 0,80)2 = 1296n = 3 ⇒ M = 400 .(1 + 0,80)3= 2332,8

n (anos) M (R$)

0 400

1 720

2 1296

3 2332,8

Os juros estãorelacionados por umafunção exponencial:

M = 400.1,8M = 400.1,8nn

150

650

1150

1650

2150

0 1 2 3 4

Mo

nta

nte

(R

$)

Período (meses)

Taxas EquivalentesTaxas Equivalentes

Se aplicarmos $50.000,00 durante 3 meses a umataxa de 10% a.m, o montante será o mesmo que oproduzido por uma taxa trimestral de 30%? Para jurossimples , a resposta seria sim. Mas e para juroscompostos?

SituaçãoSituação 11:: i = 10%, n = 3M1 = 50.000.(1 + 0,1)3 = 66.550

SituaçãoSituação 22:: i = 30%, n = 1M2 = 50.000.(1 + 0,3)1 = 65.000

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Para que M1 fosse igual a M2 deveríamos aumentar asegunda taxa. Essa taxa obtida seria equivalenteequivalente àprimeira e chamada de efetivaefetiva.

33,1% ou ,i,i

.

.i.)i(.

331033111

00050

55066150066100050

=⇒=+

=+⇒=+=

Diz-se que a taxa mensal iimm é equivalente a taxaanual iiaa quando:

1211 )i(C)i(CM ma +=+=

Duas ou mais taxastaxas referenciadas a períodos unitáriosdistintos sãosão equivalentesequivalentes quando produzem o mesmomesmomontantemontante no final de determinado tempo, pelaaplicação de um mesmo capital inicial.

Expressão da taxa mensal quando se conhece a taxa anualExpressão da taxa mensal quando se conhece a taxa anual

Portanto a taxa mensal iimm é:

12

12

11

11

)i()i(

)i()i(

am

ma

+=+

+=+

11 12 −+= )i(i ma

Expressão da taxa anual quando se conhece a taxa mensalExpressão da taxa anual quando se conhece a taxa mensal

11 121

−+= )i(i am

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Como no dia a dia os períodos a que se referem astaxas que se tem e as taxas que se quer são osmais variados, tem-se a fórmula genérica paraqualquer caso:

11 −+= tq

)i(i tq

Onde:

iq = taxa para o prazo que se quer

it = taxa para o prazo que se temq = prazo que se quert = prazo que se tem

1. Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.

2. Determinar a taxa mensal equivalente a 60,13% aoano.

3. Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442%ao dia.

4. Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,75%em dois anos.

5. Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13%ao trimestre.

6. Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5%ao mês.

7. Dada a taxa de 9% por trimestre, calcule a taxamensal equivalente de juros compostos.

8. Um título de renda fixa deverá ser resgatado por$10.000,00 no seu vencimento, que ocorrerádentro de três meses. Sabendo-se que orendimento desse título é de 40% ao ano,determinar o seu valor presente.

9. Uma pessoa aplica $15.000,00 num título de rendafixa com vencimento no final de 61 dias, a umataxa de 30% ao ano. Calcular o seu valor deresgate.

10. Qual a taxa mensal de juros cobrada numempréstimo de $64.000,00 para se quitado por$79.600,00 no prazo de 117 dias?

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11. Supondo que um capital de $1.200,00 vai seraplicado à taxa de juros compostos por trimestreou 70% ao ano. Qual será a melhor aplicação?