Apostila Juros Simples e Composto

CURSO EM PDF - EXERCÍCIOS FCC / MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF. ANDERSON TROVÃO

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Aula Demonstrativa

Apresentação

Prezado aluno, gostaria de me apresentar. Meu nome é Anderson Trovão e atualmente ministro aulas de Matemática Financeira à distância, já tendo ministrado vídeo-aula de Matemática Financeira e Estatística em um curso na cidade do Rio de Janeiro. Participo quase que diariamente como colaborador do famoso site (e grande ferramenta de estudo) Fórum Concurseiros desde 2008. Sou formado em Ciências Navais com Habilitação em Administração pela Escola Naval, no Rio de Janeiro, onde me formei no ano de 2006. Hoje ocupo o cargo de Agente Fiscal do Tesouro do Estado do Rio Grande do Sul, no qual fui aprovado no final de 2009, após quase 4 anos de estudo. Meu foco sempre foi a área fiscal, porém, com tanto tempo de estudo, a gente acaba fazendo diversas provas das mais variadas áreas. Considero-me com certa experiência para poder passar algumas dicas importantes nas resoluções de questões dessa maravilhosa disciplina.

Nosso curso será voltado para questões recentes da banca Fundação Carlos Chagas (FCC) e seguirá um conteúdo programático (a seguir disponibilizado) um tanto quanto comum utilizado pela mesma em seus concursos para as mais diversas áreas.

O curso será composto de 5 (cinco) aulas (esta e mais 4) e será disponibilizado semanalmente, com a seguinte divisão:

AULA 0 - Resolução das provas do ICMS SP 2009 e ISS SP 2007

AULA 1 - Juros Simples: Montante e Juros - Taxa Real e Efetiva

AULA 2 - Juros Compostos: Montante e Juros - Taxas Equivalentes e Capitais Equivalentes - Capitalização Contínua

AULA 3 - Descontos Simples e Composto - Descontos Comercial e Racional

AULA 4 - Sistemas de Amortização (Price / SAC / Misto) - Fluxo de Caixa / Valor Atual / TIR / TMA



Durante as aulas procurarei iniciar com as resoluções das questões do assunto específico e, ao final da aula, listarei todas as questões, com gabarito, para melhor acompanhamento do aluno. Assim o aluno pode resolver antecipadamente todas as questões disponibilizadas na aula e conferir seus acertos/erros e dicas nas resoluções.



AULA 0 – ICMS SP 2009 / ISS SP 2007

1. (ICMS SP 2009) Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta aplicação e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dívida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês. No final do período, o montante da segunda aplicação apresentou um valor igual a R$ 28.933,60. A soma dos juros das duas aplicações é igual a:

(A) R$ 10.080,00

(B) R$ 8.506,80

(C) R$ 7.204,40

(D) R$ 6.933,60

(E) R$ 6.432,00

Assunto: Juros Simples

Essa questão é um tanto trabalhosa. Ao perceber que o enunciado a divide em dois momentos (duas aplicações), seria interessante pensar em resolvê-la no final da prova, se sobrar tempo. Um simples erro nos cálculos a seguir e, pronto, você perdeu preciosos minutos nas extensas provas da FCC.

Trabalharemos, primeiramente, com os dois momentos da questão: a aplicação de um capital (C0), durante 6 meses, a uma taxa de juros simples de 12% ao ano e a aplicação de um outro capital (C1), durante, um ano a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês.

1º momento

Como a taxa de juros e o período (t) estão em unidades diferentes, vamos transformar o que nos parecer ser mais fácil para a resolução: a taxa de juros (que passará de anual para mensal, proporcionalmente).

i = 12% ao ano i = (12/12)% ao mês i = 1% ao mês

M0 = C0.(1 + i.t) = C0.(1 + 0,01.6) = 1,06. C0



2º momento

i = 1,5% ao mês

t = 1 ano = 12 meses

Desse montante calculado anteriormente (M0), R$20.000,00 foram usados para pagamento de uma dívida. O restante (M0 – 20000) foi aplicado novamente (novo capital), gerando o seguinte montante:

M1 = C1.(1 + i.t)

28933,60 = (M0 – 20000).(1 + 0,015.12)

28933,60 = 1,18. M0 – 23600

M0 = 52533,60/1,18 M0 = 44.520,00

Mas sabemos que M0 = 1,06. C0, portanto:

1,06.C0 = 44520 C0 = 42.000,00

Bom, depois dessas continhas, chegamos aos valores necessários para encontrar o somatório dos juros das duas operações (J0 + J1):

J0 = M0 – C0 = 44520 – 42000 = 2.520,00

J1 = M1 – C1 = M1 – (M0 - 20000) = 28933,60 – (44520 - 20000) = 4.413,60

J0 + J1 = 2520 + 4413,60 = 6.933,60

Gabarito: Letra D

2. (ICMS SP 2009) Um comerciante poderá escolher uma das opções abaixo para descontar, hoje, um título que vence daqui a 45 dias.

I. Banco A: a uma taxa de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples, recebendo no ato o valor de R$ 28.178,50. II. Banco B: a uma taxa de 2,5% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples.

Utilizando a convenção do ano comercial, caso opte por descontar o título no Banco B, o comerciante receberá no ato do desconto o valor de:

(A) R$ 27.200,00

(B) R$ 27.800,00

(C) R$ 28.000,00



(D) R$ 28.160,00

(E) R$ 28.401,60

Assunto: Desconto Comercial/Racional Simples

Essa questão parece ser um pouco mais simples e rápida. Basta conhecermos as fórmulas e conceitos do Desconto Simples.

Repare que temos no enunciado uma expressão “convenção do ano comercial”. Essa convenção nada mais é do que a consideração do ano com 360 dias e dos meses com 30 dias cada. Isso seria diferente do conceito de “juros exatos”, onde cada mês teria seus dias específicos (30 ou 31, como usamos no nosso dia-a-dia) e o ano teria 365 dias.

A questão nos remete diretamente à opção do Banco B, mas não se iluda, precisaremos dos dados da opção do Banco A para descobrirmos alguma coisa. Veja:

t = 45 dias = (45/30) meses = 1,5 meses

i = 2% ao mês (Desconto Comercial)

Valor Atual (Ac) = 28.178,50

Com esses valores, podemos descobrir o Valor Nominal (N) do título em questão:

Ac = N.(1 – i.t)

28178,50 = N.(1 – 0,02.1,5)

N = 28178,50/0,97 N = 29.050,00

Agora sim, podemos trabalhar com a opção do Banco B:

i = 2,5% ao mês

Ar = N/(1 + i.t)

Ar = 29050/(1 + 0,025.1,5) Ar = 28.000,00

Gabarito: Letra C

3. (ICMS SP 2009) Uma programação de investimento consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito.



Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a:

(A) R$ 10.000,00

(B) R$ 10.500,00

(C) R$ 11.000,00

(D) R$ 11.500,00

(E) R$ 12.000,00

Assunto: Juros Compostos / Capitais Equivalentes

Nessa questão, temos uma situação em que devemos capitalizar os três depósitos citados para a data focal de resgate (4). Aí sim poderemos igualar os capitais.

P P P

.______|______|______|______M

1 2 3 4

M = P.(1 + 0,10)3 + P.(1 + 0,10)2 + P.(1 + 0,10)

43692 = 1,331.P + 1,21.P + 1,1.P

P = 43692/3,641 P = 12.000,00

Obs.: Essa questão poderia ser resolvida com menos contas caso fosse dado o valor ou a tabela do Fator de Acumulação de Capital (FAC), nomenclatura bem comum da FCC, para a taxa de juros de 10% ao período. [FAC S(n;i)]

Gabarito: Letra E

4. (ICMS SP 2009) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual a:

(A) 12 meses.

(B) 15 meses.

(C) 18 meses.



(D) 21 meses.

(E) 24 meses.

Assunto: Capitalização Contínua

Esse assunto é sempre lembrado pela FCC em suas provas de Fiscos Estaduais e Municipais. Vamos a um pequeno resumo de como funciona esse tipo de capitalização (um pouco parecido com o regime de capitalização composta):

Na capitalização contínua, os juros são capitalizados de maneira instantânea, ou seja, a cada pequeno período de tempo está “correndo juros”.

M = Montante

C = Capital aplicado

e = Número de Euler (e = 2,71828)

i = Taxa de Juros contínuos

t = Período de tempo

M = C.eit

Obs.: Repare que o fator (1 + i) da capitalização composta foi substituído por ei. Assim, temos M = C.eit e não M = C.(1 + i)t.

M/C = eit

Em cima dessa fórmula cabe a aplicação de um conceito matemático bastante conhecido: Logaritmo Neperiano. Ao aplicarmos uma das propriedades desse conceito na fórmula acima (e substituindo pelos valores do enunciado) ficamos com:

Ln (M/C) = Ln (eit) temos que “descer” o expoente “i.t”

Ln (M/C) = (i.t).Ln(e) mas Ln(e) = 1

Ln (45000/25000) = 0,04.t.1

Ln (1,8) = 0,04.t

0,6 = 0,04.t t = 15 meses

Gabarito: Letra B



5. (ICMS SP 2009) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a:

(A) R$ 40.000,00

(B) R$ 36.000,00

(C) R$ 34.000,00

(D) R$ 32.000,00

(E) R$ 30.000,00

Assunto: Desconto Comercial/Racional Composto

Mais uma vez, se soubermos usar as fórmulas dos dois tipos de descontos compostos, conseguiremos resolver essa questão com certa rapidez. Basta ter o cuidado necessário nas contas. Vejamos:

N = Valor Nominal

Ar = Valor Atual no Desconto Racional

Ac = Valor Atual no Desconto Comercial

t = 2 anos

Desconto Racional Composto

Ar = N/(1 + i)t

25000 = N/(1 + i)2

Desconto Comercial Composto

Ac = N.(1 – i)t

23040 = N. (1 – i)2

Bom, estamos diante de um sistema clássico da matemática, com duas equações (em negrito) e duas incógnitas (“N” e “i”). Dentre as diversas formas de resolvê-lo eu indico uma que agiliza, e muito, a solução: dividir a 2ª equação pela 1ª, pois se você dividir a 1ª pela 2ª, a conta fica mais complicada.

23040/25000 = (1 – i)2.(1 + i)2 usarei-me de um artifício aqui.

0,9216 = [(1 – i).(1 + i)]2



Pelas respostas aqui a gente já poderia desconfiar que 0,9216 poderia ser um quadrado perfeito (número que permite a extração exata da raiz quadrada). E realmente ele é, mas como saber disso??? Experimente fazer uma pequena simplificação:

0,9216 = 9216/10000 = 4608/5000 = 2304/2500 = 1152/1250 = 576/625

Pronto, chegamos em dois quadrados perfeitos bem conhecidos (ou pelo menos deveriam ser) de todos.

576 = 242

625 = 252

Continuando a resolução...

0,9216 = [(1 – i).(1 + i)]2

[24/25]2 = [(1 – i).(1 + i)]2

24/25 = (1 – i).(1 + i)

0,96 = 1 + i – i – i2

i2 = 0,04 i = 0,2 ou 20% ao ano

Agora basta a gente substituir esse valor de “i” em quaisquer das duas equações iniciais para encontrar o Valor Nominal (N) pedido:

25000 = N/(1 + 0,2)2

N = 25000.(1,2)2 = 25000.1,44 N = 36.000,00

Gabarito: Letra B

6. (ICMS SP 2009) Uma dívida decorrente de um empréstimo deverá ser liquidada por meio de 120 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data do empréstimo. Considerando que foi utilizado o Sistema de Amortização Constante (SAC) a uma taxa de 2% ao mês, verifica-se que o valor da última prestação é igual a R$ 1.275,00. O saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 50a prestação, é:

(A) R$ 87.500,00

(B) R$ 86.250,00

(C) R$ 75.000,00

(D) R$ 68.750,00



(E) R$ 62.500,00

Assunto: Sistemas de Amortização

Primeiramente, vamos analisar os dados da questão:

- O vencimento da primeira prestação é um mês após a data do empréstimo, portanto estamos diante de um sistema de Rendas Certas Postecipadas (diferente da Antecipada, com pagamento no momento do empréstimo, e da Diferida, com carências entre o momento do empréstimo e o primeiro pagamento).

- Trata-se do Sistema de Amortização Constante (SAC), onde: a Amortização (A) é constante e a Parcela (P) e os Juros (J) são decrescentes e seguem uma Progressão Aritmética de razão “A”.

Visto isso, vamos brincar com os números. Sabe-se que:

S(k) = Saldo Devedor do empréstimo no pagamento da parcela “k”

S(k) = S(0) – k.A Termo Geral da Progressão Aritmética

Do gráfico acima, deduzimos que:

P(k) = A + J(k)

Onde:

J(k) = i.S(k-1)

A = S(0)/n onde: n = número de prestações

Obs.: S(0) = Valor Total do empréstimo (antes do pagamento de qualquer parcela)

JUROS

AMORTIZAÇÃO

PARCELA



n = 120 prestações

i = 2% ao mês

Além dos dados acima, a questão cita o seguinte:

P(120) = 1275

A + J(120) = 1275

S(0)/120 + 0,02.S(119) = 1275

S(0)/120 + 0,02.[S(0) – 119.A] = 1275 mas A = S(0)/120

S(0)/120 + 0,02.[S(0) – 119.S(0)/120] = 1275

S(0)/120 + 0,02.S(0)/120 = 1275

1,02.S(0)/120 = 1275

S(0) = 1275.120/1,02 S(0) = 150.000,00

Portanto: A = S(0)/120 = 150000/120 A = 1.250,00

Conhecendo-se o Valor Total do empréstimo, podemos descobrir o S(50) que a questão pede:

S(50) = S(0) – 50.A

S(50) = 150000 – 50.1250 S(50) = 87.500,00

Gabarito: Letra A

7. (ICMS SP 2009) A tabela abaixo apresenta os valores dos Fatores de Recuperação de Capital (FRC) para a taxa de juros compostos de 2% ao período:

O preço de venda de um equipamento é igual a R$ 100.000,00. Ele pode ser adquirido por uma das seguintes opções:



I. À vista, com 10% de desconto sobre o preço de venda. II. Em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas, com a primeira prestação sendo paga no ato da compra.

Utilizando o critério do desconto racional composto a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, tem-se que o valor de cada prestação da opção II que torna equivalentes, no ato da compra, os pagamentos efetuados pelas duas opções é, desprezando os centavos, igual a:

(A) R$ 9.500,00

(B) R$ 9.180,00

(C) R$ 8.550,00

(D) R$ 8.330,00

(E) R$ 8.150,00

Assunto: Juros Compostos / Capitais Equivalentes

Essa questão trata de um assunto bem interessante. A FCC costuma usar com certa frequência esse Fator de Recuperação de Capital (FRC). Vamos lembrar os dois fatores mais usados na equivalência de capitais:

FVP = Fator de Valor Presente [a(n;i)]

FAC = Fator de Acumulação de Capital [S(n;i)]

Pois bem, esse FRC nada mais é do que o inverso do FVP. Assim:

FRC = 1/FVP = 1/a(n;i)

Lembrando, ainda, que:

a(n;i) = (Fn – 1)/i.Fn

S(n;i) = (Fn – 1)/i

Onde: F = (1 + i)

Vamos, então, resolver a questão:

Iremos usar a equivalência de capitais na data focal zero (ato da compra). Nessa data temos o valor à vista (com desconto de 10%) e o montante das 11 prestações descapitalizadas (com o uso do FVP) mais a própria prestação paga no ato da compra (totalizando as 12 prestações do enunciado).

Preço à vista = Montante das parcelas descapitalizadas



100000.0,9 = P.a(11;2%) + P

Mas, analisando a tabela dada, calcularemos o valor de a(11;2%):

FRC(11;2%) = 1/a(11;2%) = 0,102 a(11,2%) = 9,8 (aproxim.)

Continuando a resolução...

90000 = P.9,8 + P

10,8.P = 90000 P = 8333,33

Gabarito: Letra D

8. (ICMS SP 2009) Considere o fluxo de caixa a seguir, com os valores em reais.

Se a taxa interna de retorno deste fluxo é igual a 8%, o valor de X é igual a:

(A) R$ 5.230,00

(B) R$ 5.590,00

(C) R$ 5.940,00

(D) R$ 6.080,00

(E) R$ 6.160,00

Assunto: Fluxo de Caixa / Taxa Interna de Retorno

Temos que entender alguns conceitos de Taxa Interna de Retorno antes de começar a resolver a questão.

A Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros de um determinado fluxo de caixa que torna o Valor Presente Líquido (VPL) desse fluxo igual a zero. Mas o que seria esse VPL? Nada mais do que o “confronto” das despesas com as receitas na data focal zero do fluxo.



Portanto, ao descapitalizar todas as receitas e despesas do fluxo, trazendo-as para o valor presente, e confrontá-las iremos encontrar o VPL. Quando esse VPL for zero, estaremos diante da conhecida Taxa Interna de Retorno, ou seja, a taxa que equilibrou as contas do seu fluxo de caixa; a taxa em que, desse momento em diante, te possibilitará a existência de lucro nos resultados.

Portanto, na data focal zero, temos:

2.x – 1380 = x/(1 + i) + (x - 108)/(1 + i)2

2.x – 1380 = x/1,08 + (x – 108)/1,1664 multiplicando todos os termos por 1,1664

(2.x – 1380).1,1664 = x.1,08 + (x – 108)

2,3328.x – 1609,63 = 2,08.x – 108

0,2528.x = 1501,63 x = 5.940,00 (aproximado)

Gabarito: Letra C

9. (ISS SP 2007) Uma pessoa necessita efetuar dois pagamentos, um de R$ 2.000,00 daqui a 6 meses e outro de R$ 2.382,88 daqui a 8 meses. Para tanto, vai aplicar hoje a juros simples o capital C à taxa de 3% ao mês, de forma que:

- daqui a 6 meses possa retirar todo o montante, efetuar o pagamento de R$ 2.000,00 e, nessa data, aplicar o restante a juros simples, à mesma taxa, pelo resto do prazo; - daqui a 8 meses possa retirar todo o montante da segunda aplicação e efetuar o segundo pagamento, ficando com saldo nulo e sem sobras.

Nessas condições, o valor de C é igual a:

(A) R$ 3.654,00

(B) R$ 3.648,00

(C) R$ 3.640,00

(D) R$ 3.620,00

(E) R$ 3.600,00



Assunto: Juros Simples

Mais uma questão que envolve dois momentos. Antes de iniciar os cálculos, vamos entender o que acontece através de uma linha do tempo:

0_____1_____2_____3_____4_____5__________7______

As duas setas representam os dois pagamentos de R$2.000,00 e R$ 2.382,88, respectivamente.

i = 3% ao mês

t1 = 6 meses

t2 = 8 – 6 = 2 meses

Agora vamos por partes:

1º momento

O capital (C) será aplicado por 6 meses a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Isso vai nos gerar o seguinte montante:

M1 = C1.(1 + i.t1)

M1 = C.(1 + 0,03.6) = 1,18.C

Com esse montante (M1), faz-se o pagamento de R$2.000,00 e, na mesma data, aplica-se o restante (C2 = M1 – 2000) durante 2 meses a uma mesma taxa de juros simples (3% ao mês).

2º momento

Como o segundo item nos afirma que o saldo após o pagamento de R$2.382,88 é nulo, podemos afirmar que o montante (M2) gerado nesse 2º momento equivale a exatamente R$2.382,88. Portanto:

M2 = C2.(1 + i.t2)

2.382,88 = (1,18.C - 2000).(1 + 0,03.2)

2248 = 1,18.C – 2000

1,18.C = 4248 C = 3.600,00

Gabarito: Letra E



10. (ISS SP 2007) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado no dia primeiro de junho e no último dia de julho foi resgatado todo o montante de R$ 11.082,30. Nesse período, as taxas de inflação foram, respectivamente:

Junho: 2%

Julho: 2,5%

A taxa real desse investimento, nesse período, foi de:

(A) 6,32%

(B) 6,00%

(C) 5,50%

(D) 5,00%

(E) 4,50%

Assunto: Taxa Real

A questão aborda um conceito comum em provas de matemática financeira: os juros reais. Esse tipo de juros envolve não somente a taxa de juros aparente da operação, mas também a taxa de inflação do período analisado. Devemos ter em mente a seguinte fórmula:

á

Onde: Fator = 1 + Taxa

Agora vamos descobrir o valor de cada fator bimestral (englobando junho e julho) para resolvermos a questão.

O Fator Aparente pode ser encontrado através da simples divisão do montante pelo capital aplicado:

Fator Aparente = 11082,30/10000 = 1,108230

Já o Fator Inflacionário deve levar em conta o produto dos fatores de cada mês analisado:

Fator Inflacionário = Fator Junho x Fator Julho

Obs.: Multiplicaríamos por quantos meses fossem necessários para encontrar o Fator (total) Inflacionário. Ok?!

Fator Inflacionário = (1 + 0,02).(1 + 0,025) = 1,02.1,025 = 1,0455

Portanto:

Fator Real = 1,108230/1,0455 Fator Real = 1,06



Com isso, podemos concluir que a Taxa Real desse período foi:

Fator = 1 + i

1,06 = 1 + i i = 0,06 ou 6%

Gabarito: Letra B

11. (ISS SP 2007) Uma dívida de R$ 4.999,50 vai ser paga em 4 parcelas mensais, a primeira delas vencendo ao completar um mês da data do empréstimo, com taxa de juros de 3% ao mês, pelo sistema francês de amortização. Abaixo tem-se o quadro de amortização, incompleto.

Completando o quadro, verifica-se que o valor aproximado de:

(A) s é R$ 151,30.

(B) t é R$ 1.210,02.

(C) u + y é R$ 153,30.

(D) x - w é R$ 1.159,80.

(E) v + z é R$ 2.573,62.

Assunto: Sistemas de Amortização

Vamos encontrar TODAS as letras e depois tentamos descobrir a resposta. Claro que, na hora da prova, procure, se der, encontrar as incógnitas que estão nas respostas, desprezando quaisquer informações e cálculos inúteis.

Antes dos cálculos (úteis), vamos relembrar algumas características do Sistema PRICE (ou Francês) de amortização:

- Parcela constante;

- Juros decrescentes;

- Amortizações crescentes;

JUROS

AMORTIZAÇÃO

PARCELA



Sabemos que o que diminui o Saldo Devedor (S) são as Amortizações (A). Sabemos, também, que as Parcelas (P) em qualquer período equivalem ao somatório dos Juros (J) com a Amortização (A) desse mesmo período. Assim, basta fazermos operações básicas de adição e subtração para encontrarmos todas as incógnitas, começando pelas amortizações (t, v, x, z):

t = 4999,50 – 3804,49 = 1195,01

v = 3804,49 – 2573,62 = 1230,87

x = 2573,62 – 1305,83 = 1267,79

z = 1305,83 – 0 = 1305,83

Agora, baseado no que foi dito anteriormente, vamos encontrar os juros (s,u,w,y):

s = 1345,00 – t = 1345,00 – 1195,01 = 149,99

u = 1345,00 – v = 1345,00 – 1230,87 = 114,13

w = 1345,00 – x = 1345,00 – 1267,79 = 77,21

y = 1345,00 – z = 1345,00 – 1305,83 = 39,17

Analisando as alternativas, fica bem claro que:

u + y = 153,30

Gabarito: Letra C

12. (ISS SP 2007) Considere a tabela abaixo, que apresenta valores de:



Uma determinada peça pode ser produzida indistintamente pela máquina A ou pela máquina B. Uma empresa deseja produzir essa peça e tem hoje duas opções:

Opção I) Adquirir a máquina A pelo preço à vista de R$ 10.000,00, com custo de manutenção anual de R$ 1.800,00, vida útil de 8 anos e valor residual de R$ 2.691,91, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores em reais):

Opção II) Adquirir a máquina B pelo preço à vista de R$ 8.500,00, com custo de manutenção anual de R$ 2.000,00, vida útil de 8 anos e valor residual de R$ 1.631,46, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores em reais):



Se AI e AII são respectivamente os módulos dos valores atuais dos fluxos das opções I e II, na data de hoje, com uma taxa mínima de atratividade de 30% ao ano, então:

(A) AII - AI = R$ 785,06

(B) AII - AI = R$ 1.045,06

(C) AII - AI = R$ 2.030,04

(D) AI - AII = R$ 785,06

(E) AI - AII = R$ 1.045,06

Assunto: Fluxo de Caixa / Taxa Mínima de Atratividade

Primeiramente vamos definir essa tal Taxa Mínima de Atratividade (TMA). Ela representa o mínimo que um investidor se propõe a ganhar (lucrar) quando planeja um investimento.

A questão já nos indica a TMA = 30% ao ano, então vamos adotá-la em nossos cálculos (de olho na tabela dada).

Para encontrar a resposta precisamos calcular os valores de AI e AII, que são os respectivos Valores Atuais dos fluxos.

As setas para baixo nos fluxos representam despesas geradas pela produção da peça nas duas máquinas. Os fluxos não apresentam as possíveis receitas de vendas dessa peça, forçando-nos a trabalhar com os Valores Atuais (visivelmente) negativos. Como o enunciado cita, vamos trabalhar com os módulos de AI e AII, para facilitar as contas (ou seja, o resultado “pra baixo” na data focal zero será considerado positivo).

Fluxo I



Somados aos R$10.000,00 do valor da máquina A, vamos trazer para a data focal zero (= descapitalizar) as parcelas de R$1.800,00 e o valor residual (negativo) da máquina A:

AI = 10000 + 1800.a(8;30%) – 2691,91/(1,30)8

Obs.: aqui temos que consultar a tabela dada no enunciado.

AI = 10000 + 1800.2,9247 – 2691,91/8,1573

AI = 10000 + 5264,46 – 330

AI = 14.934,46

Fluxo II

Da mesma maneira como feito no Fluxo I, temos:

AII = 8500 + 2000.a(8;30%) – 1631,46/(1,30)8

AII = 8500 + 2000.2,9247 - 1631,46/8,1573

AII = 8500 + 5849,40 – 200

AII = 14.149,40

Diante dos dois valores (AI e AII) e, ainda, reparando que AI > AII, podemos concluir que:

AII - AI = 785,06

Gabarito: Letra D

Pessoal, com essa questão fechamos nossa aula demonstrativa. A partir próxima aula iremos resolver questões por assunto da banca FCC.

Seguem a seguir as questões apresentadas nessa aula, com o gabarito ao final

Força nos estudos e até a próxima.

Abraço

Anderson Trovão



QUESTÕES PROPOSTAS

1. (ICMS SP 2009) Uma pessoa aplicou um capital em um Banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros simples de 12% ao ano. Completando 6 meses, ela retirou o montante correspondente a esta aplicação e utilizou R$ 20.000,00 para liquidar uma dívida nesse valor. O restante do dinheiro, aplicou em um outro Banco, durante um ano, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês. No final do período, o montante da segunda aplicação apresentou um valor igual a R$ 28.933,60. A soma dos juros das duas aplicações é igual a:

(A) R$ 10.080,00

(B) R$ 8.506,80

(C) R$ 7.204,40

(D) R$ 6.933,60

(E) R$ 6.432,00

2. (ICMS SP 2009) Um comerciante poderá escolher uma das opções abaixo para descontar, hoje, um título que vence daqui a 45 dias.

I. Banco A: a uma taxa de 2% ao mês, segundo uma operação de desconto comercial simples, recebendo no ato o valor de R$ 28.178,50. II. Banco B: a uma taxa de 2,5% ao mês, segundo uma operação de desconto racional simples.

Utilizando a convenção do ano comercial, caso opte por descontar o título no Banco B, o comerciante receberá no ato do desconto o valor de:

(A) R$ 27.200,00

(B) R$ 27.800,00

(C) R$ 28.000,00

(D) R$ 28.160,00

(E) R$ 28.401,60



3. (ICMS SP 2009) Uma programação de investimento consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito.

Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a:

(A) R$ 10.000,00

(B) R$ 10.500,00

(C) R$ 11.000,00

(D) R$ 11.500,00

(E) R$ 12.000,00

4. (ICMS SP 2009) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual a:

(A) 12 meses.

(B) 15 meses.

(C) 18 meses.

(D) 21 meses.

(E) 24 meses.

5. (ICMS SP 2009) Um título é descontado dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva i ao ano. Se for utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a:

(A) R$ 40.000,00

(B) R$ 36.000,00

(C) R$ 34.000,00



(D) R$ 32.000,00

(E) R$ 30.000,00

6. (ICMS SP 2009) Uma dívida decorrente de um empréstimo deverá ser liquidada por meio de 120 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data do empréstimo. Considerando que foi utilizado o Sistema de Amortização Constante (SAC) a uma taxa de 2% ao mês, verifica-se que o valor da última prestação é igual a R$ 1.275,00. O saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 50a prestação, é:

(A) R$ 87.500,00

(B) R$ 86.250,00

(C) R$ 75.000,00

(D) R$ 68.750,00

(E) R$ 62.500,00

7. (ICMS SP 2009) A tabela abaixo apresenta os valores dos Fatores de Recuperação de Capital (FRC) para a taxa de juros compostos de 2% ao período:

O preço de venda de um equipamento é igual a R$ 100.000,00. Ele pode ser adquirido por uma das seguintes opções:

I. À vista, com 10% de desconto sobre o preço de venda. II. Em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas, com a primeira prestação sendo paga no ato da compra.

Utilizando o critério do desconto racional composto a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, tem-se que o valor de cada prestação da opção II que torna equivalentes, no ato da compra, os pagamentos efetuados pelas duas opções é, desprezando os centavos, igual a:



(A) R$ 9.500,00

(B) R$ 9.180,00

(C) R$ 8.550,00

(D) R$ 8.330,00

(E) R$ 8.150,00

8. (ICMS SP 2009) Considere o fluxo de caixa a seguir, com os valores em reais.

Se a taxa interna de retorno deste fluxo é igual a 8%, o valor de X é igual a:

(A) R$ 5.230,00

(B) R$ 5.590,00

(C) R$ 5.940,00

(D) R$ 6.080,00

(E) R$ 6.160,00

9. (ISS SP 2007) Uma pessoa necessita efetuar dois pagamentos, um de R$ 2.000,00 daqui a 6 meses e outro de R$ 2.382,88 daqui a 8 meses. Para tanto, vai aplicar hoje a juros simples o capital C à taxa de 3% ao mês, de forma que:

- daqui a 6 meses possa retirar todo o montante, efetuar o pagamento de R$ 2.000,00 e, nessa data, aplicar o restante a juros simples, à mesma taxa, pelo resto do prazo; - daqui a 8 meses possa retirar todo o montante da segunda aplicação e efetuar o segundo pagamento, ficando com saldo nulo e sem sobras.



Nessas condições, o valor de C é igual a:

(A) R$ 3.654,00

(B) R$ 3.648,00

(C) R$ 3.640,00

(D) R$ 3.620,00

(E) R$ 3.600,00

10. (ISS SP 2007) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado no dia primeiro de junho e no último dia de julho foi resgatado todo o montante de R$ 11.082,30. Nesse período, as taxas de inflação foram, respectivamente:

Junho: 2%

Julho: 2,5%

A taxa real desse investimento, nesse período, foi de:

(A) 6,32%

(B) 6,00%

(C) 5,50%

(D) 5,00%

(E) 4,50%

11. (ISS SP 2007) Uma dívida de R$ 4.999,50 vai ser paga em 4 parcelas mensais, a primeira delas vencendo ao completar um mês da data do empréstimo, com taxa de juros de 3% ao mês, pelo sistema francês de amortização. Abaixo tem-se o quadro de amortização, incompleto.

Completando o quadro, verifica-se que o valor aproximado de:



(A) s é R$ 151,30.

(B) t é R$ 1.210,02.

(C) u + y é R$ 153,30.

(D) x - w é R$ 1.159,80.

(E) v + z é R$ 2.573,62.

12. (ISS SP 2007) Considere a tabela abaixo, que apresenta valores de:

Uma determinada peça pode ser produzida indistintamente pela máquina A ou pela máquina B. Uma empresa deseja produzir essa peça e tem hoje duas opções:

Opção I) Adquirir a máquina A pelo preço à vista de R$ 10.000,00, com custo de manutenção anual de R$ 1.800,00, vida útil de 8 anos e valor residual de R$ 2.691,91, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores em reais):



Opção II) Adquirir a máquina B pelo preço à vista de R$ 8.500,00, com custo de manutenção anual de R$ 2.000,00, vida útil de 8 anos e valor residual de R$ 1.631,46, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores em reais):

Se AI e AII são respectivamente os módulos dos valores atuais dos fluxos das opções I e II, na data de hoje, com uma taxa mínima de atratividade de 30% ao ano, então:

(A) AII - AI = R$ 785,06

(B) AII - AI = R$ 1.045,06

(C) AII - AI = R$ 2.030,04

(D) AI - AII = R$ 785,06

(E) AI - AII = R$ 1.045,06



GABARITO

1 - D 2 - C 3 - E 4 - B

5 - B 6 - A 7 - C 8 - C

9 - E 10 - B 11 - C 12 - D

Documents

Apostila Juros Simples e Composto