Avaliação de Desempenho Gerencial 7) Método dos ... · • Distinção entre simples e composto só faz sentido quando juros não são pagos a cada período 5 I.2 - Juros

09/03/2014

1

Matemática Financeira Aplicada ao Mercado Financeiro e de Capitais – Professor Ronaldo Távora

I – Conceitos Básicos

1


Perguntas básicas

2

• O que é

matemática

financeira?

• Por que estudar

matemática

financeira? RETORNO =


Perguntas básicas

• Permite realizar cálculos em

fluxos de caixa

• Obter a taxa de juros implícita e

o VPL em um fluxo de caixa

• Comparar diversas alternativas

de fluxos de caixa

• Obter a TIR de fluxos de caixa

3

• O que é

matemática

financeira?

• Por que estudar

matemática

financeira?

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2

Matemática Financeira Aplicada ao Mercado Financeiro e de Capitais – Professor Ronaldo Távora 4

Observações importantes:

• O dinheiro “muda de valor” no tempo

$1.000,00 hoje não tem o mesmo valor que $1.000,00

em qualquer data futura

• Valores em datas diferentes NÃO PODEM ser somados

Por que?

• Só é correta a soma de valores quando colocados em uma

mesma data (hoje, por exemplo)

• Na movimentação do dinheiro no tempo é preciso levar

em conta a taxa de juros (em geral, compostos)

I.1 – Dinheiro no tempo


Definição

• Remuneração do

investimento

• Custo do financiamento

• Mecanismo para alterar

o dinheiro no tempo

• Preço do dinheiro no

tempo

Regimes de juros

• Juros simples (linear, PA)

– Normalmente sua utilização

é restrita

• Juros compostos

(exponencial)

• Periodicidades diversas (dia,

mês, trimestre, ano etc.)

• Distinção entre simples e

composto só faz sentido

quando juros não são pagos

a cada período

5

I.2 - Juros


Em linhas gerais, representa as entradas e saídas

de caixa ao longo do tempo

• As entradas de caixas são os recebimentos (+)

• As saídas de caixa são os pagamentos (-)

I.3 – Fluxo de caixa: conceito

Seu entendimento é simples, mas essencial

para o estudo de matemática financeira

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3


Série postescipada

Série antecipada

I.4 – Simbologia e convenções

0 1 2 3 … n-1 n

PV FV

PMT

i i i i i i

0 1 2 3 … n-1 n

PV FV

PMT

i i i i i i


Alertas:

• Os cincos elementos acima estão sempre interligados

• Definir na HP ou planilha de cálculo se a série é postecipada

ou antecipada

• Juros e prazo devem sempre estar na mesma periodicidade

• Juros e prazo não precisam ser inteiros (programar HP)

• Para as informações ausentes devemos colocar “zero”

I.4 – Simbologia e convenções

n - Número de períodos

i - Taxa de juros no período, em %

PV - Valor presente, capital inicial aplicado

FV - Valor futuro no final de n períodos

PMT - Pagamentos periódicos de mesmo valor


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II – Juros simples

10


Características:

• Juros incidem sempre sobre o capital inicial

• Juros não pagos não são capitalizados

Juros não rendem juros

• Apenas o capital inicial rende juros

II.1 – Juros simples


Capital inicial: $1.000,00

Prazo: 4 anos

Taxa de juros: 8,00% a.a.

Juros Anuais: 8% x $1.000,00 =$80,00


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Prazo: 4 anos


Juros Anuais: 8% x $1.000,00 =$80,00


$1.080,00

$1.160,00

$1.240,00

$1.320,00


Capital inicial: $1.000

Juros: 8,0% a.m.

Capitalização: simples



Retomando o exemplo anterior para três períodos:

II.2 – Dedução da expressão genérica

2401

2410001

080310001

08008008010001

0800001080000108000010001

080000108000010001

08000010001

3

3

3

3

3

2

1

.$

,.$

,*.$

,,,.$

),(.$)],(.$),(.$.[$

),(.$)],(.$.[$

),(.$.$

VF

VF

VF

VF

VF

VF

VF

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6


Generalizando a função:

Expressão de uma função linear


inVPVF

iVPVF

VF

n *

*

,*.$

1

31

080310001

3

3

niVPVPVFn **


Deduções da expressão anterior:

• No plano cartesiano, é a equação de uma reta

Por isso a menção a função linear

• Diferença entre dois VF distintos, mas equidistantes,

será sempre o mesmo

Por que?

O que isso representa na prática?

• Inclinação da reta do VF é o valor monetário dos

juros



Da expressão do VF podemos deduzir a taxa de juros:

Partimos dessa expressão pois o desconto racional

incide sobre PV, assim como o cálculo do montante (VF)

Esse resultado é intuitivo?

II.3 – Desconto “por dentro” ou racional

nVP

VFi

VP

VFin

niVPVF

nd

nd

dn

11

1

1

*

*

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7


Da expressão do VF podemos deduzir o período

(n):



d

n

nd

dn

iVP

VFn

VP

VFin

niVPVF

11

1

1

*

*


Podemos também deduzir o VP:



ni

VFVP

niVPVF

d

n

dn

*

*

1

1


Se levamos um valor presente ao futuro, podemos chamar

esse mecanismo de “incorporar juros”

Se temos um valor no futuro e queremos trazê-lo ao

presente, podemos chamar esse mecanismos de “aplicar um

desconto”



ni

niVFD

ni

VFniVF

ni

VFVFD

VPVFD

d

dn

d

ndn

d

nn

n

*

*

*

*

*

1

1

1

1

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8


A base de incidência agora é o VF


II.4 – Desconto “por fora” ou comercial

niFVD

niFVD

niVFVFFVD

VPFVD

ff

ff

ff

f

*

*

*

11


Com base na última expressão, podemos obter os

juros (ou a taxa de desconto)



nFVVP

i

nFVVPFV

i

nFVD

i

niFVD

f

f

ff

ff

11

1

1

*


Calculando PV

• A partir da equação principal, temos:

• A condição é que i*n<1

– Qual a lógica dessa

condição?

Calculando (n)

• A partir da equação do volume de desconto:

• Qual a intuição da expressão? 24


niVFVP

niVFVFVP

DVFVP

f

f

f

*

)*(

1f

f

ff

iFV

Dn

niFVD

*

)*(

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Qual a condição para que ambos os PV’s sejam

iguais?

• O volume de desconto deve ser igual

II.5 – Comparando os dois sistemas

nini

ni

niFVni

niFV

DD

f

d

d

f

d

d

fd

**

*

**

)*(

1

1


Colocando if em termos de id

Colocando id em termos de if

II.5 – Comparando os dois sistemas

ni

ii

nni

ni

nnii

nini

d

df

d

d

d

f

f

d

1

1

1

1

111

1

11

11

1

*

*

*

**

ni

ii

ni

ni

nini

nini

f

fd

f

f

f

d

f

d

1

1

1

111

1

1

11

1

*

*

**

**


III. Juros Compostos

27

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Características:

• Juros não pagos são capitalizados

Juros rendem juros

• Crescimento do montante segue trajetória

exponencial

III.1 – Juros compostos



Prazo:4 anos






Prazo: 4 anos


$1.080,00

$1.160,00

$1.240,00

$1.320,00

$1.080,00

$1.166,40

$1.259,71

$1.360,49

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Capital inicial: $1.000

Juros: 8,0% a.m.

Capitalização: composta



Retomando o exemplo anterior para três períodos:

III.2 – Dedução da expressão genérica

190241

08011000

080108011000

0800801100008011000

08011000080108011000

080108000010001

0800800001000108000010001

08000010001

3

3

3

2

3

22

3

2

2

2

2

1

,.$

),($

),(),($

),](),([$),($

),($),)(,($

),)](,(.$.[$

),)](,(.$.[$)],(.$.[$

),(.$.$

VF

VF

VF

VF

VF

VF

VF

VF


Generalizando a função:

Expressão geral para capitalização:


nn JVPVF

JVPVF

VF

1

1

08010001

3

3

3

3

,.$

nn JVPVF )( 1

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Deduções da expressão anterior:

• No plano cartesiano, esta equação não representa

uma reta

Exponencial e a potência depende do valor de (n)

• Diferença entre dois VF distintos, mas equidistantes,

não serão os mesmos

Por que?

O que isso representa na prática?

• Inclinação da reta do VF é o valor monetário dos

juros e será diferente a cada ponto no tempo



Da expressão do VF podemos deduzir a taxa de juros:

Partimos dessa expressão pois o desconto racional

incide sobre PV, assim como o cálculo do montante (VF)


III.3 – Desconto “por dentro” ou racional

1

1

1

n

n

n

VP

VFi

VP

VFi

iVPVF


Da expressão do VF podemos deduzir o período

(n):



)log(

log

log)log(

i

VP

VF

n

VP

VFin

VP

VFi

iVPVF

n

n

1

1

1

1

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Podemos também deduzir o VP:



n

n

i

VFVP

iVPVF

1

1


Se levamos um valor presente ao futuro, podemos chamar

esse mecanismo de “incorporar juros”

Se temos um valor no futuro e queremos trazê-lo ao

presente, podemos chamar esse mecanismos de “aplicar um

desconto”



n

n

n

n

n

i

iVFD

i

VFVFiD

i

VFVFD

VPVFD

)(

)(

)(

)(

)(

1

11

1

1

1


A base de incidência agora é o VF

Calculamos o desconto a cada momento no tempo


III.4 – Desconto “por fora” ou comercial

nf

fnn

ffnn

ffnfnn

fnfnfnfnn

fnfnn

fnfnnn

fnn

iFVVP

iFVVP

iiFVVP

iiFViFVVP

iVPiFViFViFVVP

DVPDFVVP

iFViFVFVVP

DFVVP

nn

n

1

1

11

11

11

1

2

2

2

2

112

112

1

1

11

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Com base na última expressão, podemos obter o

valor do desconto:



nff

nff

f

iFVD

iFVFVD

PVFVD

)(

)(

11

1


Calculando if

• A partir da equação

principal, temos:

• Essa nada mais é que a

taxa de desconto

Calculando (n)

• A partir da equação do volume de desconto:

41


1

1

1

nf

nf

nf

FV

VPi

FV

VPi

iFVVP

f

f

nf

i

FV

VP

n

FV

VPin

iFVVP

1

1

1

ln

ln

lnln

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Avaliação de Desempenho Gerencial 7) Método dos ... · • Distinção entre simples e composto só faz sentido quando juros não são pagos a cada período 5 I.2 - Juros