MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF. ELISSON DE ANDRADE

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AULA 1: JUROS SIMPLES

Exercícios resolvidos e comentados

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Primeiramente, imprima essa folha e resolva os exercícios abaixo, sem olhar na resolução comentada. Tente aplicar os conceitos aprendidos no vídeo da Aula 1.

Fórmulas: VF = VP + J J = VP.i.n VF = VP (1+ i . n) Obs: considerar um mês como sendo 30 dias; um ano como sendo 360 dias Lembre-se dos 4 passos:

1) Identifique as variáveis: passo muito importante antes de iniciar qualquer exercício

2) Escolha qual equação utilizar: com base nas informações dos exercícios, escolheremos as fórmulas que possuírem as variáveis informadas

3) Verifique se i e n estão na mesma unidade de tempo: se não estiverem, será preciso transformar uma das variáveis

4) Resolva a equação: aqui a questão é puramente de álgebra

EXERCÍCIOS Imprima esta folha e tente resolver os exercícios abaixo, sem olhar na resolução comentada. Aplique os conceitos aprendidos no vídeo correspondente à Aula 3.

1) Qual a taxa de juros mensal de um empréstimo de R$2.000,00, a ser quitado por

R$2.150,00 após 7 meses?

2) Quanto de juros se recebe sobre um capital aplicado à taxa de 2% ao mês, durante 15

meses?

3) Em quantos dias um capital de R$800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de

R$1.000,00?

4) Calcular o valor do dinheiro que aplicado a uma taxa de 1,33% ao mês, por 174 dias, produziu um

montante de R$543.840,00.

5) Certa quantidade de dinheiro foi aplicada durante 124 dias, a uma taxa de 3% ao bimestre,

gerando um montante de R$3.000,00. Qual o valor aplicado?

6) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$10.000,00, resultante da aplicação de certo

capital à taxa de 21% ao semestre, durante 7 bimestres?

7) Ao fim de quantos dias um capital de R$40.000,00 aplicado à taxa de 5% ao mês, produz

R$18.600,00 de juros?

8) Depois de Jorge emprestar certa quantia de dinheiro, deverá pagar R$800,00 de juros sobre esse

capital. Sabendo que o prazo de aplicação foi de 15 meses e que a taxa de juros foi de 4,5% ao mês,

calcular o valor do montante a ser usado para quitar a dívida.

9) Em quantos meses um capital aplicado à taxa de 20% ao ano dobra o seu valor?

10) A que taxa de juros mensal um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a ¼ (um quarto)

de seu valor?

A SEGUIR, OS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E COMENTADOS.

1) Qual a taxa de juros mensal de um empréstimo de R$2.000,00, a ser quitado por

R$2.150,00 após 7 meses?

RESOLUÇÃO

PASSO 1: identificar as variáveis

As variáveis são: VP = 2000 ; VF = 2150 ; n = 7 meses ; i = ?

Veja que o VP é o valor que será emprestado HOJE, enquanto o valor futuro é o valor da

quitação (pagamento), após 7 meses.

PASSO 2: escolher a equação

Como temos VF e VP, e não aparece a variável J, só é possível utilizar a equação: VF = VP (1+ i . n)

PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo

Como a taxa de juros pedida é MENSAL e o período também já está dado em meses, não é

preciso fazer nenhum ajuste.

PASSO 4: resolver a equação

Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, temos

���� = ����(� + �. )

IMPORTANTE verificar que não se pode somar o 1 com o 7 entre parênteses.

Agora basta seguir, passo a passo, a álgebra a seguir

����

����= (� + �. )

�, ��� = � + �.

�, ��� − � = �.

�, ��� = �.

�, ���

�=

= �, �����

Dessa forma, já chegamos à resposta do valor da taxa, em que basta multiplicar por 100 para achar

o valor em porcentagem

= �, �����. ���

= �, ���%���ê�

2) Quanto de juros se recebe sobre um capital de R$50.000,00 aplicado à taxa de 2% ao

mês, durante 15 meses?

RESOLUÇÃO

PASSO 1: identificar as variáveis

As variáveis são: VP = 50000 ; J = ? ; n = 15 meses ; i = 2% ao dia

Quando se fala juros sobre um capital, esse valor é exatamente o valor presente (VP), pois é

sobre ele que incide a taxa de juros.

PASSO 2: escolher a equação

Como só aparece J e VP, utilizaremos a equação: J = VP.i.n

PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo

O exercício oferece o prazo (n) em meses e a taxa (i) também já está mensal. Logo, não é

necessário fazer qualquer ajuste.

PASSO 4: resolver a equação

Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, temos (relembrando

que ao substituir a taxa de juros, antes é necessário dividir o valor percentual por 100):

� = �����. �, ��. ��

Fazendo tal multiplicação, temos que

� = �$��. ���, ��

OBS: se fosse perguntado qual o valor TOTAL resgatado após 15 meses, bastaria utilizar a

expressão VF = VP + J, que resultaria em VF = 50000 + 15000 = R$65.000,00.

3) Em quantos dias um capital de R$800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um

montante de R$1.000,00?

RESOLUÇÃO

PASSO 1: identificar as variáveis

As variáveis são: VP = 800 ; VF = 1000 ; n = ? ; i = 0,1% ao dia

Uma nota importante é sobre o termo MONTANTE. Ele é utilizado para representar VALOR

FUTURO.

PASSO 2: escolher a equação

Mais uma vez, como só aparece VF e VP, utilizaremos a equação: VF = VP (1+ i . n)

PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo

O exercício pede o prazo (n) em dias e a taxa (i) também já está em dias. Logo, não é necessário

fazer qualquer ajuste preliminar.

PASSO 4: resolver a equação

Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, temos

���� = ���(� + �, ���. �)

IMPORTANTE notar que SEMPRE é preciso substituir, na equação, o valor da taxa de juros (i)

na forma decimal. Isso significa que é necessário dividir a taxa de juros por 100, antes da

substituição.

Continuando com a álgebra, passo a passo a seguir

����

���= (� + �, ���.�)

�, �� = � + �, ���. �

�, �� − � = �, ���. �

�, �� = �, ���.�

�, ��

�, ���= �

� = ������

4) Calcular o valor do dinheiro que aplicado a uma taxa de 1,33% ao mês, por 174 dias, produziu

um montante de R$543.840,00.

RESOLUÇÃO

PASSO 1: identificar as variáveis

As variáveis são: VP = ? ; VF = 543840 ; n = 174 dias ; i = 1,33% ao mês

PASSO 2: escolher a equação

Como só aparece VF e VP, utilizaremos a equação: VF = VP (1+ i . n)

PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo

A taxa de juros (i) está ao mês e o período (n) está em dias. Dessa forma, antes de substituir tais

valores na equação, precisamos deixar as duas variáveis na mesma unidade de tempo. Para isso,

podemos tanto transformar a taxa mensal para diária, como o período de tempo em dias para

mensal. Você que escolhe.

Na primeira opção, podemos dividir a taxa diária por 30, que significa que uma taxa mensal de

1,33% é equivalente a 1,33%/30 = 0,04433% ao dia.

Na segunda opção, é possível dividir 174 por 30, que estaremos calculando quantos meses são

equivalentes a 174 dias. Veja como: 174/30 = 5,8 meses.

Por simples conveniência de o número não ter dado “quebrado”, iremos preferir essa segunda

opção.

PASSO 4: resolver a equação

Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, além de considerar o

período em meses, conforme explicado no PASSO 3, temos

������ = ��(� + �, ����.�, �)

Vale sempre lembrar que 1,33% deve ser substituído como 0,0133, que é calculado dividindo essa

porcentagem por 100. Continuando com a álgebra:

������ = ��(� + �, �����)

������ = ��.�, �����

������

�, �����= ��

�� = �$���. ���, ��

5) Certa quantidade de dinheiro foi aplicada durante 124 dias, a uma taxa de 3% ao

bimestre, gerando um montante de R$3.000,00. Qual o valor aplicado?

RESOLUÇÃO

PASSO 1: identificar as variáveis

As variáveis são: VP = ? ; VF = 3000 ; n = 124 dias ; i = 3% ao bimestre

Relembrando: montante = VF

PASSO 2: escolher a equação

Como temos apenas VF e VP, utilizaremos a equação: VF = VP (1+ i . n)

PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo

O exercício oferece o prazo (n) em dias e a taxa (i) ao bimestre.

Podemos converter a taxa bimestral em dias, bastando dividi-la por 60, da seguinte forma:

3%/60 =0,05% ao dia ---- Importante relembrar que um bimestre possui 60 dias.

Também seria possível transformar 124 dias em bimestres, também dividindo por 60:

124/60 = 2,0666 bimestres

Iremos preferir a primeira opção, pois o número não dá dízima periódica.

PASSO 4: resolver a equação

Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, e considerando a

transformação da taxa bimestral em diária, apresentada no PASSO 3, temos

���� = ��(� + �, ����.���)

Mais uma vez, vale notar que a taxa de 0,05% ao dia foi dividida por 100, antes de ser substituída

na equação. Agora, continuando com a álgebra

���� = ��(� + �, � �)

����

�, � �= ��

�� = �$�. ���, ��

6) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$10.000,00, resultante da aplicação de certo

capital à taxa de 21% ao semestre, durante 7 bimestres?

RESOLUÇÃO

PASSO 1: identificar as variáveis

As variáveis são: VF = 10000 ; J = ? ; n = 7 bimestres ; i = 21% ao semestre

PASSO 2: escolher a equação

Esse é um exercício diferente dos anteriores. Isso porque pede o valor dos juros (J), mas não dá o valor presente (VP); somente do valor futuro (VF). E nas equações apresentadas, não há uma fórmula relacionando VF e J diretamente. Portanto, precisaremos utilizar duas fórmulas: VF = VP (1+ i . n) e VF=VP+J PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo

Temos o prazo em bimestre a taxa em semestre. Podemos transformar o prazo pela simples

divisão de 7 por 3. Isso porque 1 semestre possui 3 bimestres. Logo, 7/3 = 2,333 semestres.

Alternativamente, poderíamos transformar a taxa semestral em bimestral. Se a taxa é de 21% em

um semestre, ao dividir por 3 acharemos a taxa em apenas 1 bimestre: 21%/3 = 7% ao bimestre.

Utilizaremos esse último valor, pela conveniência de 7% ser um número inteiro.

PASSO 4: resolver a equação

Primeiramente, serão substituídas as variáveis do PASSO 1 na primeira equação destacada no

PASSO 2, lembrando que usaremos a taxa de 7% ao bimestre e o período de 7 bimestres,

definidos no PASSO 3:

����� = ��(� + �, ��. �)

����� = ��(� + �, ��)

�����

�, ��= ��

�� = ���, ��

Calculado o VP, agora é possível chegar ao valor dos juros, através da segunda fórmula do

PASSO2.

����� = ���, �� + �

� = ����� − ���, ��

� = �$�. ���, ��

7) Ao fim de quantos dias um capital de R$40.000,00 aplicado à taxa de 5% ao mês, produz

R$18.600,00 de juros?

RESOLUÇÃO

PASSO 1: identificar as variáveis

As variáveis são: VP = 40000 ; J = 18600 ; n = ? ; i = 5% ao mês

PASSO 2: escolher a equação

Nesse exercício temos VP e J como variáveis informadas, portanto utilizaremos a equação: J = PV . i . n PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo

A taxa de juros (i) está em mês e queremos a resposta em dias. Nenhum problema. Podemos

achar a resposta em meses e, ao final, transformar o período na unidade de tempo desejada. Se

quiser transformar a taxa de 5% em diária antes de usar a fórmula, também não há problema,

bastando dividir esse percentual por 30.

PASSO 4: resolver a equação

Primeiramente, serão substituídas as variáveis do PASSO 1 na equação destacada no PASSO 2, e

em seguida realizada a álgebra

�� �� = �����. �, ��. �

�� �� = ����. �

�� ��

����= �

� = �, ��!�!�

Para transformar meses em dias, basta multiplicar 9,3 por 30.

9,3 . 30 = 279 dias

8) Depois de Jorge tomar emprestado certa quantia de dinheiro, deverá pagar R$800,00 de juros

sobre esse capital. Sabendo que o prazo de aplicação foi de 15 meses e que a taxa de juros foi de

4,5% ao mês, calcular o valor do montante a ser usado para quitar a dívida.

RESOLUÇÃO

PASSO 1: identificar as variáveis

As variáveis são: VF = ? ; J = 800 ; n = 15 meses ; i = 4,5% ao mês

PASSO 2: escolher a equação

Nesse exercício é oferecido o valor dos juros (J) e valor futuro (VF). Porém, nas equações que estamos trabalhando não há uma fórmula relacionando VF e J diretamente. Portanto, precisaremos utilizar duas fórmulas a seguir: J = PV . i . n e VF=VP+J PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo

Neste problema, taxa (i) e prazo (n) estão na mesma unidade de tempo (mês).

PASSO 4: resolver a equação

Primeiramente, serão substituídas as variáveis do PASSO 1 na primeira equação destacada no

PASSO 2, com sua respectiva álgebra:

��� = ��. �, ��.��

��� = ��. �, ��

���

�, ��= ��

�� = �� ,

Por fim, basta usar a segunda fórmula do PASSO 2, para calcular o valor do montante

�" = �� , + ���

�" = �� ,

9) Em quantos meses um capital aplicado à taxa de 20% ao ano dobra o seu valor?

RESOLUÇÃO

PASSO 1: identificar as variáveis

As variáveis são: VP = ? ; VF = ? ; n = ? ; i = 20% ao ano

Esse é um dos exercícios mais intrigantes sobre juros simples. Temos apenas a taxa de juros e a

informação de que o valor a ser resgatado da aplicação será o dobro do investido. Tal afirmação

pode ser resumida em:

VF = 2 . VP

PASSO 2: escolher a equação

Como iremos usar da relação VF = 2 . VP para solucionar o problema, a equação a ser utilizada será: VF = VP (1+ i . n)

PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo

A taxa (i) está ao ano e pede o período (n) em meses. Nesse caso, poderemos, primeiramente,

calcular o período e, só depois, fazer a transformação. Obviamente a taxa de 20% ao ano poderia

ser diretamente transformada para mensal, através de sua divisão por 12.

PASSO 4: resolver a equação

Vamos substituir a relação descrita no PASSO 1, na equação apresentada no PASSO 2.

�. �� = ��(� + �, �. �)

Depois de realizada a substituição, basta passar a variável VP dividindo para o outro lado.

�. ��

��= � + �, �. �

Como qualquer número dividido por ele mesmo dá 1, podemos eliminar VP da equação

� = � + �, �. �

Resolvendo a álgebra

� − � = �, �. �

�

�, �= �

� = �����

A resposta dá em anos porque a taxa utilizada foi de 20% ao ano. Para transformá-la em meses, basta

multiplicar 5 anos por 12. Disso resulta uma resposta de 60 meses.

5 . 12 = 60 meses

10) A que taxa de juros mensal um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a ¼ (um

quarto) de seu valor?

RESOLUÇÃO

PASSO 1: identificar as variáveis

As variáveis são: VP = ? ; J = ? ; n = 10 meses ; i = ?

Exercício muito similar ao anterior. A grande diferença é que o enunciado faz menção aos juros

(J) e não ao valor futuro (VF). O que se verifica são juros iguais a ¼ do valor inicial, conforme a

equação a seguir:

� =�

���

PASSO 2: escolher a equação

Como iremos usar da relação acima, deveremos utilizar a equação que possui essas duas variáveis: J = VP . i . n

PASSO 3: verificar se i e n estão na mesma unidade de tempo

Como o prazo (n) está em meses, tal qual a taxa (i) pedida, não há necessidade de qualquer

transformação.

PASSO 4: resolver a equação

Substituindo a relação exposta no PASSO 1, de que os juros são um quarto do valor presente, na

equação do PASSO 2, temos:

�

��� = ��. . ��

Mais uma vez, ao passar VP dividindo, teremos:

�. ��

�. ��= . ��

Como a divisão VP/VP é igual a 1, podemos eliminar essa variável e seguir com a álgebra.

�

�= . ��

�

�. ��=

�

��=

= �, ���

Em que multiplicando esse valor por 100, chegamos à resposta de 2,5% ao mês.

0,025 . 100 = 2,5% ao mês