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IFSULDEMINAS 2018 EAC/Inconfidentes
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EAC-082: Geodésia Física
Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges
Aula 12
Métodos de Determinação do Geoide
https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/
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Considerações Iniciais
Conforme apresentado na Aula 05, a teoria do
potencial apresenta três problemas de valor de contorno,
assim definidos:
Primeiro problema (Dirichlet): a partir do conhecimento dos
valores de uma função V sobre uma superfície S, determina-
se essa função V de tal maneira que ela seja harmônica no
interior de S quando são conhecidos os valores que a função
assume sobre a superfície (contorno):
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Considerações Iniciais
Segundo problema (Neumann): a partir do conhecimento dos
valores da derivada normal da função V sobre a superfície S,
Τ𝜕𝑉𝜕𝑟 , determina-se a função V de modo que ela seja
harmônica interna a S:
Terceiro problema (Hilbert): a partir dos valores da
combinação linear da função V com sua derivada normal
sobre a superfície S, determina-se a função V nas condições
anteriores
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Considerações Iniciais
Nos três problemas apresentados têm-se uma
atenção especial ao terceiro PVCG, pois a determinação do
potencial perturbador de certa forma se relaciona a ele, uma
vez que o potencial perturbador ou potencial anômalo é a
diferença entre os potenciais produzidos, num mesmo ponto,
pela Terra Real e pela Terra Normal, ou seja, é diferença do
Geopotencial e do Esferopotencial, em um mesmo ponto.
A anomalia da gravidade, de forma geral observada
sobre a superfície física, é uma combinação linear do
potencial perturbador com a sua derivada normal.
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Considerações Iniciais
Dependendo da superfície escolhida, é necessário realizar
as observações da anomalia da gravidade sobre ela.
No problema de Molodenskii a superfície escolhida é a
superfície física. Neste caso define-se a anomalia de altura
através de:
𝜉 =𝑇
𝛾
O potencial perturbador é obtido a partir da equação:
−𝜕𝑇
𝜕𝑛= ∆𝑔 − 𝑁
𝜕𝛾
𝜕𝑛
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A partir de alguma versão da fórmula internacional da
gravidade obtém-se sobre o elipsoide e, a seguir, o cálculo de
ҧ𝛾 , sobre o teluróide, pode ser feito através de: (Heiskanen e
Moritz,1967):
Onde 𝑚 ≅ 𝛼 ∙ 𝜔2 /𝛾𝑒 e 𝛼 = achatamento do elipsoide de
referência dado por:
𝛼 = 𝑎 − 𝑏 /𝑎
A determinação de ҧ𝛾 não necessita do conhecimento sobre
distribuição de densidade de massas ou correções no terreno,
tornando o sistema de altitudes normal, uma alternativa à
utilização da altitude ortométrica.
Considerações Iniciais
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A concepção moderna do PVCG, devida a Molodenskii
não necessita do conhecimento da distribuição de densidades
no interior das massas.
Porém, a proposta inicial para a solução do problema
se deve a George Gabriel Stokes que propôs a superfície
geoidal como contorno, o que significa resolver um problema
de contorno interno às massas.
A dificuldade é que torna-se indispensável o
conhecimento de um modelo, pelo menos aproximado, de
distribuição de densidades no interior da crosta na camada
entre a superfície física e o geóide.
Considerações Iniciais
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Introdução
Segundo ARANA (2009) a determinação do geóide tem
o significado da determinação da posição que este
ocupa em relação ao elipsóide. Assim, determinar o
geóide consiste na obtenção da separação, em todos os
pontos, das superfícies do elipsóide e do geóide.
Convencionalmente, são atribuídos os sinais positivos às
ondulações acima do elipsóide e negativos em caso
contrário.
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Introdução
A tecnologia GNSS permitiu uma maior relevância ao geóide, pois,
sua determinação deixa de ser importante apenas no posicionamento
horizontal e faz-se importantíssimo no posicionamento vertical.
Atualmente, uma operação relativamente simples com receptores
GNSS, permite a determinação das coordenadas cartesianas de um ponto
P(X,Y,Z) sobre a superfície terrestre. A partir dos parâmetros elipsoidais do
sistema de referência, pode-se calcular as correspondentes coordenadas
geodésicas desse ponto 𝑃(𝜙, 𝜆, ℎ).
O cálculo da altitude ortométrica (H) do ponto envolve o conhecimento da
ondulação geoidal (N) no ponto considerado, pois as altitudes geométricas e
as ortométricas estão relacionadas pela equação, que segue:
𝐻 = ℎ − 𝑁
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Introdução
O PVCG clássico pode ser resolvido em termos do
potencial perturbador através da integral de Stokes, expressa
em termos de uma aproximação esférica.
De acordo com ARANA (2009), existem três métodos
para a determinação de N e, que apesar da longa existência
destes métodos eles se mantém atuais.
⚫ O primeiro método adota a fórmula proposta por STOKES e
o geóide obtido é denominado de geóide gravimétrico, visto
que N é obtida a partir da anomalia da gravidade.
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Introdução
⚫ O segundo método utiliza o desvio da vertical, obtido pela
comparação das coordenadas astronômicas e geodésicas, o
geóide assim determinado é denominado de astrogeodésico,
utilizando-se fórmulas de Vening-Meinesz que através das
anomalias da gravidade, determina-se as componentes dos
desvios da vertical e a partir destas a ondulação do geóide é
determinada em relação a outro ponto cuja ondulação do
geóide seja conhecida.
⚫ O terceiro método utiliza dados obtidos das observações aos
satélites artificiais. Classificados em dois grupos:
– satélites para aplicações geométricas; e
– satélites para aplicações dinâmicas.
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Introdução
Segundo SÁ (1993) apud ARANA (2009), as técnicas mais usadas para
a determinação do geóide com alta precisão, visando o nivelamento
com GNSS, consistem basicamente na representação das altitudes
geoidais através de componentes distintas, denominadas global,
regional e local.
➢ A componente global é determinada a partir dos coeficientes que
representam o esferoide (elipsóide de revolução (TORGE, W.
1980));
➢ A componente regional é determinada a partir de dados do
campo de gravidade reduzidos ao esferoide; e
➢ A componente local introduz correções calculadas através de
dados complementares, tais como modelos digitais da topografia
e da densidade da crosta.
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A realização do rastreamento dos satélites do sistema GNSS sobre
duas RN (Referência de Nível) propicia a determinação da ondulação
do geóide. Assim, em uma linha formada por duas RN com alturas
geométricas conhecidas, pode-se interpolar a ondulação do geóide em
pontos desta linha, ou próximo a ela.
Onde:
HX – representa a altitude ortométrica do ponto X a ser interpolado;
HA – representa a altitude ortométrica da RNA;
ΔhAX – diferença de altura geométrica do ponto X a ser interpolado e a RNA;
lAX – distância entre o ponto X a ser interpolado e a RNA;
lAB – distância entre as RNA e RNB;
ΔNAB – diferença de ondulação geoidal entre as RNA e RNB;
Determinar N A partir de GNSS & Nivelamento Geométrico
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O desvio da vertical em um ponto é definido como sendo o ângulo
compreendido entre a vertical e a normal neste ponto. Usualmente
este ângulo é decomposto em duas componentes; a componente
meridiana e a componente primeiro vertical.
Através das coordenadas astronômicas e geodésicas, pode-se
calcular as componentes do desvio da vertical através das fórmulas
de Laplace.
Fonte: ARANA (2009)
Determinar N A partir do desvio astrogeodésico
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Nota-se na figura anterior que a diferença da ondulação do geóide
entre dois pontos, separados a uma distância infinitesimal ds, será de
O símbolo ε representa o desvio da vertical na direção. Para manter a
coerência do sinal das componentes do desvio da vertical, positivo
nos sentidos sul-norte e oeste-leste, adota-se o sinal negativo na
equação.
Para pontos separados por uma distância maior, a diferença da
ondulação geoidal de dois pontos A e B, será determinada pela
função:
onde:
Determinar N A partir do desvio astrogeodésico
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Exercício
1. Calcular a ondulação geoidal (N) entre os pontos A e Breferenciados ao SIRGAS2000:
A. φa = -20º 08’ 41,5”, λa = -50º 11’ 40,6” e φ = -20º 08’ 43,6”, λ = -50º 11’ 39,3”
B. φa = -19º 55’ 22,8”, λa = -50º 42’ 14,8” e φ = -19º 55’ 20,8”, λ = -50º 42’ 00,2”
ΔN = R*sin(1”)*sin(1’)*(ξ”Δφ’ + η”Δλ’cosφ)
Onde:
ξ” = 0,5(ξA + ξB) em segundos de arco
η” = 0,5(ηA + ηB)
Δφ’ = φB – φA (em minutos de arco)
Δλ’ = λB – λA (em minutos de arco)
R = raio da Terra considerando o modelo esférico em cm
0.000583333 0°.00' 02.10'' -0.000339019 -0°.00' 01.22''
-0.000555556 -0°.00' 02.00'' -0.00381285 -0°.00' 13.73''
Componentes
Meridiana ( ) 1º Vertical ( )
= 0.05000000
= -7.47336334
= 13.3800000
= -30.3483333
R = 6361750.514
1.91906
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De acordo com RAPP (1996) apud ARANA (2009), a representação do
potencial gravitacional da Terra através de séries harmônicas esféricas tem
sido um dos objetivos da comunidade geodésica a mais de 40 anos. Dados
gravimétricos obtidos de satélites e de superfície tem possibilitado uma maior
e mais precisa representação do geopotencial. A combinação destes dados,
até 2010, permitiram os cálculos dos coeficientes dos modelos do
geopotencial até o grau 360.
Os modelos de alto grau podem ser usados para uma variedade de
aplicações, dentre as quais, cita-se:
– cálculo da predição das órbitas de satélites;
– uso em estudos simulados que envolvem quantidades gravimétricas; e
– cálculos de ondulações geoidais.
Determinar N A partir de Modelos do Geopotencial
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O Modelo EGM2008
O modelo global do campo gravitacional da Terra denominado Earth
Gravitational Model 1996 (EGM96) deu-se com uso dos dados da
gravidade do NIMA e dados de satélites da NASA/GSFC. A NIMA
proporcionou dados da anomalia da gravidade de todo o globo
terrestre de 30’ e 1º , esta anomalia foram determinada a partir de
pontos de anomalia da gravidade de 5’X5’ obtidos do arquivo de
altura do geóide do GEOSAT Geodetic Mission.
Dando sequência ao EGM96, foi elaborado o modelo gravimétrico
EGM2008, onde o mesmo é composto por coeficientes que
representam a ondulação geoidal por grau 2190 e ordem 2159.
Determinar N A partir de Modelos do Geopotencial
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A partir de 2010, com o surgimento dos primeiros Modelos
Geopotenciais Globais (MGG), utilizando as informações da missão
espacial GOCE, verificou-se uma melhoria principalmente nos longos
e médios comprimentos de onda dos mesmos.
Como exemplo, para a geração do MAPGEO2015, os longos
e médios comprimentos de onda foram representados pelo modelo
geopotencial European Improved Gravity model of the Earth by New
techniques (EIGEN-6C4) em relação ao cálculo de decomposição e
recomposição espectral. Esse modelo foi lançado em 2014 e é mais
aperfeiçoado do que o EGM2008, foi elaborado pelo GFZ/Potsdam e
GRGS/Toulouse e utilizou as informações gravitacionais dos satélites
LAGEOS, GRACE, GOCE, do modelo de altimetria por satélite
DTU12 e do EGM2008 (FÖRSTE et al., 2014).
Determinar N A partir de Modelos do Geopotencial
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Esses últimos foram utilizados como informação terrestre para
oceano e continente (curtos comprimentos de onda), respectivamente.
Os coeficientes da série das funções harmônicas esféricas do EIGEN-
6C4 foram calculados até grau e ordem 2190.
Determinar N A partir de Modelos do Geopotencial
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Os modelos do geopotencial tem a capacidade de representar, com
fidelidade, os longos comprimentos de ondas do campo da gravidade
terrestre.
Como vimos anteriormente, a determinação da ondulação geoidal a partir
do rastreamento de satélites em pontos pertencentes à rede fundamental de
nivelamento do Brasil, nos possibilita calcular a “real” ondulação do
geóide. Já os modelos do geopotencial nos fornecem a ondulação do
geoidal conforme o modelo.
A diferença entre as ondulações geoidais do modelo com as ondulações
determinadas com GNSS/nivelamento permite o cálculo da “separação”
entre o modelo e o efetivo geóide; considerando-se o conceito de
diferenças de ondulações geoidais das várias RN existentes na região de
estudo (Modelo Geopotencial – GNSS/nivelamento).
Determinar N A partir de GNSS & Modelos Geopotenciais
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Assim, o procedimento para a determinação da ondulação do geóide
pelos modelos do geopotencial associado ao GNSS e Nivelamento,
deve-se primeiramente:
• determinar a ondulação do geóide pelo modelo do geopotencial,
em um ponto qualquer de interesse pertencente à região;
• aplicar o modelo matemático ao ponto de interesse, determinando
assim a separação entre os modelos matemático e geopotencial;
• considerar a separação obtida na determinação da ondulação do
geóide a partir do GNSS associado ao modelo do geopotencial.
Determinar N A partir de GNSS & Modelos Geopotenciais
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Fonte: ARANA (2009)
Determinar N A partir de GNSS & Modelos Geopotenciais
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De acordo com GEMAEL (2012) no trabalho de Stokes, publicado com o
título de: On the variation of gravity at the surface of the Earth. São
tratados dois tópicos:
1. Conhecendo-se a forma de uma superfície equipotencial S, limitante de
um sistema de massas atrativas dotado de movimento de rotação, e o
valor da gravidade em um ponto da superfície, determinar o campo
externo independente de qualquer hipótese sobre a distribuição das
massas no interior da superfície;
2. Inversamente, conhecendo-se o valor da gravidade em todos os pontos
de uma superfície equipotencial, determinar a forma dessa superfície.
Determinar N A partir da anomalia da gravidade
No ano de 1849, o matemático George Gabriel Stokes desenvolveu a fórmula que
leva seu nome, fundamental à Geodésia Física, pois proporciona a determinação da
separação geóide - elipsóide em função da anomalia da gravidade.
Fonte: Wikipédia
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Convém antecipar que Stokes, em sua dedução original,
admitiu a inexistência de massas externas à superfície
equipotencial, o que não ocorre com a Terra, pois as
massas topográficas são externas ao geoide. Também
admitiu uma aproximação esférica, negligenciando
quantidades da ordem de 0,003N; como N < 100m, isso
significa negligenciar valores não superiores a 30 cm.
Determinar N A partir da anomalia da gravidade
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Onde: • R = raio médio terrestre;• A = é o azimute em torno do ponto de cálculo;• γ = é a gravidade normal na superfície do elipsóide de referência geocêntrico;• Ψ = é o ângulo geocêntrico, ou distância esférica, entre o ponto de interesse e
o ponto utilizado na integração;• Δg = anomalia média da gravidade;
• S(Ψ) = função de Stokes, obtida em função da distância angular entre o ponto
onde se calcula a ondulação e o elemento de área dS, que contribui na
determinação de N.
AdA
dS
Ψ
dΨ
Segundo LOBIANCO (2005) podemos definir a Integral deStokes como:
Determinar N A partir da anomalia da gravidade
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Como dS = R2senΨdΨdα
Podemos escrever N da seguinte forma:
Podemos também utilizar coordenadas geográficas (φ,λ); e como estamos
admitindo a hipótese esférica, ν e φ são, respectivamente, colatitude e
latitude geocêntricas e, como tal, grandezas complementares.
Então, fazendo dS = R2cosφ’dφ’dλ’, N irá assumir a seguinte forma:
Integra λIntegra φ
Determinar N A partir da anomalia da gravidade
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Sendo (φ’,λ’) as coordenadas do elemento de área associado àanomalia Δg’; N é a ondulação geoidal no ponto P(Ψ, λ) com: cosΨ =senφsenφ’ + cosφcosφ’cos(λ’ – λ) .
λ-λ’
φ’φ
Ψ
α
dσ
P
Determinar N A partir da anomalia da gravidade
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A aplicação da integral de Stokes pressupõe a inexistência de massasexternas ao geoide.
A supressão das massas topográficas (externas ao geoide) e dascorrespondentes massas de compensação isostática, normalmenteprocessada na redução de valores observados de g, satisfaz a condiçãoda aplicação da integral de Stokes.
Porém, por outro lado, acarreta um novo problema: produz uma Terrafictícia, com a consequente alteração do potencial gravífico.
O Valor de N proporcionado em tais condições pela fórmula de Stokesrepresenta a separação entre o elipsoide de referência e um “geoidefictício” denominado cogeoide.
Cogeoide
Determinar N A partir da anomalia da gravidade
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• Aproximação esférica;
• A integração deve ser estendida a toda superfície terrestre, isto é,
torna-se necessário dispor de estações gravimétricas em quantidade
e distribuição geográfica convenientes;
• O potencial perturbador deve ser harmônico em qualquer ponto
externo do geoide;
• A fórmula de Stokes propicia a separação cogeoide-elipsoide;
• A dedução de Stokes exige a igualdade das massas do elipsoide e da
Terra;
• Pressupõe que o esferopotencial sobre o elipsoide seja
numericamente igual ao geopotencial sobre o geoide;
• O centro de massa da Terra deve coincidir com o do elipsoide;
Restrições e dificuldades na aplicação da Integral de Stokes
Determinar N A partir da anomalia da gravidade
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ARANA, J. Introdução a Geodésia Física. FCT-UNESP – PresidentePrudente, 2009.
CATALÃO, J. Geodésia Física. Faculdade de Ciências da Universidade deLisboa – Lisboa, 2000.
GEMAEL, C. Introdução à geodésia física – Ed. da UFPR, Curitiba,
1999.
HOFMANN-WELLENHOF, B. e MORITZ, H. Physical Geodesy. Ed.SpringerWienNewYork –Austria, 2005.
LOBIANCO, M.C.B., BLITZKOW, D., MATOS, A.C.O.C. O NovoModelo Geoidal para o Brasil. IV Colóquio Brasileiro de CiênciasGeodésicas - Curitiba, 2005.
MIRANDA, J. M., LUIS, J. F., COSTA, P. T. e SANTOS, F. M.Fundamentos de Geofísica. 2012.
SNEEUW, N. Physical Geodesy. Institude of Geodesy Universität Stuttgart– Stuttgart, 2006.
Referências Bibliográficas
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