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Area de regioes planas
Aplicacao de Integrais no calculo de areas deregioes planas
Danilo Sande
October 9, 2013
Danilo Sande Aplicacao de Integrais no calculo de areas de regioes planas
Area de regioes planas
Indice
1 Area de regioes planasDefinicaoDemonstracaoExemplosFuncoes de yArea entre curvas
Danilo Sande Aplicacao de Integrais no calculo de areas de regioes planas
Area de regioes planas
DefinicaoDemonstracaoExemplosFuncoes de yArea entre curvas
Definicao
Area a partir de integrais definidas
Seja R a regiao limitada pelo grafico da funcao y = f (x), as retasx = a, x = b e o eixo x , sendo f (x) > 0 e contınua para todo[a, b]. A area da regiao R e dada por:
A =∫ ba f (x)dx , a e b arbitrarios.
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DefinicaoDemonstracaoExemplosFuncoes de yArea entre curvas
Demonstracao
Facamos uma particao do intervalo [a, b] da figura anterior,em n sub-intervalos, escolhendo os pontosa = x0 < x1 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = b.
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DefinicaoDemonstracaoExemplosFuncoes de yArea entre curvas
Demonstracao
Facamos uma particao do intervalo [a, b] da figura anterior,em n sub-intervalos, escolhendo os pontosa = x0 < x1 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = b.
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DefinicaoDemonstracaoExemplosFuncoes de yArea entre curvas
Demonstracao
Seja ∆xi = xi − xi−1 o comprimeno do intervalo [xi−1, xi ].
Em cada um dos intervalos [xi−1, xi ], escolhemos um pontoqualquer ci .
Para cada i = 1, ..., n, construımos um retangulo de base ∆xie altura f (ci ).
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DefinicaoDemonstracaoExemplosFuncoes de yArea entre curvas
Demonstracao
Seja ∆xi = xi − xi−1 o comprimeno do intervalo [xi−1, xi ].
Em cada um dos intervalos [xi−1, xi ], escolhemos um pontoqualquer ci .
Para cada i = 1, ..., n, construımos um retangulo de base ∆xie altura f (ci ).
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DefinicaoDemonstracaoExemplosFuncoes de yArea entre curvas
Demonstracao
Seja ∆xi = xi − xi−1 o comprimeno do intervalo [xi−1, xi ].
Em cada um dos intervalos [xi−1, xi ], escolhemos um pontoqualquer ci .
Para cada i = 1, ..., n, construımos um retangulo de base ∆xie altura f (ci ).
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Demonstracao
A soma das areas dos n retangulos, e dada por:
Sn = f (c1)∆x1 + f (c2)∆x2 + ... + f (cn)∆xn =n∑
i=1
f (ci )∆xi
(Soma de Riemann da funcao f (x))
Fazendo n→∞, temos que ∆x → 0 e a soma das areas dosretangulos se aproxima da area da regiao R.
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Demonstracao
Assim, lim∆xi→0 ou n→∞
n∑i=1
f (ci )∆xi = A e a area da regiao R.
Se o limite existe:A =
∫ ba f (x)dx
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Demonstracao
No caso em que f (x) e negativa dentro de algum intervalo deintegracao, a area da curva sera dada por:A =
∫ ba |f (x)|dx
Na figura dada, a area seria dada por:A =
∫ da |f (x)|dx =
∫ ba f (x)dx −
∫ cb f (x)dx +
∫ dc f (x)dx
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Exemplos
Exemplo 1
Calcule a area da figura do plano limitada pela curva y = tan x e oeixo x, tal que −π
3 ≤ x ≤ π4 .
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Exemplos
Exemplo 2
Calcule a area da figura do plano limitada pela curva y = log2 x eo eixo x, tal que 1
2 ≤ x ≤ 4.
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Funcoes de y
No caso de funcoes de y:
Seja R a regiao limitada pelo grafico da funcao x = g(y), as retasy = a, y = d e o eixo y , sendo g(y) contınua para todo [a, d ]. Aarea da regiao R e dada por:A =
∫ da |g(y)|dy .
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Exemplos
Exemplo 3
Qual a area da funcao delimitada por x = y2 e o eixo y, onde−1 ≤ y ≤ 1?
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Area entre curvas
Se ao inves do eixo, uma outra curva delimitar a regiao:
Area entre curvas
Seja R a regiao delimitada pelas curvas y = f1(x) e y = f2(x),interceptando-se nos pontos com abcissas x = a e x = b, entao, Ae dada por:A =
∫ ba |f1(x)− f2(x)|dx e de modo analogo para y:
A =∫ ba |g1(y)− g2(y)|dy
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Exemplo 4
Calcular a area da figura limitada pelas curvas f (x) = 2x2 + 10 eg(x) = 4x + 16 de modo que −2 ≤ x ≤ 5.
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Exemplos
Exemplo 5
Calcular a area da figura limitada pelas curvas y2 + y − 1− x = 0e y − x = 0.
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Exemplos
Exemplo 6
Achar a area da regiao delimitada por uma elipse x2
a2 + y2
b2 = 1, a eb positivos.
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