aula 2 - Integrais no cálulo de área.pdf

Area de regioes planas

Aplicacao de Integrais no calculo de areas deregioes planas

Danilo Sande

October 9, 2013

Danilo Sande Aplicacao de Integrais no calculo de areas de regioes planas


Indice

1 Area de regioes planasDefinicaoDemonstracaoExemplosFuncoes de yArea entre curvas



DefinicaoDemonstracaoExemplosFuncoes de yArea entre curvas

Definicao

Area a partir de integrais definidas

Seja R a regiao limitada pelo grafico da funcao y = f (x), as retasx = a, x = b e o eixo x , sendo f (x) > 0 e contınua para todo[a, b]. A area da regiao R e dada por:

A =∫ ba f (x)dx , a e b arbitrarios.




Demonstracao

Facamos uma particao do intervalo [a, b] da figura anterior,em n sub-intervalos, escolhendo os pontosa = x0 < x1 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = b.




Demonstracao

Facamos uma particao do intervalo [a, b] da figura anterior,em n sub-intervalos, escolhendo os pontosa = x0 < x1 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = b.




Demonstracao

Seja ∆xi = xi − xi−1 o comprimeno do intervalo [xi−1, xi ].

Em cada um dos intervalos [xi−1, xi ], escolhemos um pontoqualquer ci .

Para cada i = 1, ..., n, construımos um retangulo de base ∆xie altura f (ci ).




Demonstracao







Demonstracao







Demonstracao

A soma das areas dos n retangulos, e dada por:

Sn = f (c1)∆x1 + f (c2)∆x2 + ... + f (cn)∆xn =n∑

i=1

f (ci )∆xi

(Soma de Riemann da funcao f (x))

Fazendo n→∞, temos que ∆x → 0 e a soma das areas dosretangulos se aproxima da area da regiao R.




Demonstracao

Assim, lim∆xi→0 ou n→∞

n∑i=1

f (ci )∆xi = A e a area da regiao R.

Se o limite existe:A =

∫ ba f (x)dx




Demonstracao

No caso em que f (x) e negativa dentro de algum intervalo deintegracao, a area da curva sera dada por:A =

∫ ba |f (x)|dx

Na figura dada, a area seria dada por:A =

∫ da |f (x)|dx =

∫ ba f (x)dx −

∫ cb f (x)dx +

∫ dc f (x)dx




Exemplos

Exemplo 1

Calcule a area da figura do plano limitada pela curva y = tan x e oeixo x, tal que −π

3 ≤ x ≤ π4 .




Exemplos

Exemplo 2

Calcule a area da figura do plano limitada pela curva y = log2 x eo eixo x, tal que 1

2 ≤ x ≤ 4.




Funcoes de y

No caso de funcoes de y:

Seja R a regiao limitada pelo grafico da funcao x = g(y), as retasy = a, y = d e o eixo y , sendo g(y) contınua para todo [a, d ]. Aarea da regiao R e dada por:A =

∫ da |g(y)|dy .




Exemplos

Exemplo 3

Qual a area da funcao delimitada por x = y2 e o eixo y, onde−1 ≤ y ≤ 1?




Area entre curvas

Se ao inves do eixo, uma outra curva delimitar a regiao:

Area entre curvas

Seja R a regiao delimitada pelas curvas y = f1(x) e y = f2(x),interceptando-se nos pontos com abcissas x = a e x = b, entao, Ae dada por:A =

∫ ba |f1(x)− f2(x)|dx e de modo analogo para y:

A =∫ ba |g1(y)− g2(y)|dy




Exemplos

Exemplo 4

Calcular a area da figura limitada pelas curvas f (x) = 2x2 + 10 eg(x) = 4x + 16 de modo que −2 ≤ x ≤ 5.




Exemplos

Exemplo 5

Calcular a area da figura limitada pelas curvas y2 + y − 1− x = 0e y − x = 0.




Exemplos

Exemplo 6

Achar a area da regiao delimitada por uma elipse x2

a2 + y2

b2 = 1, a eb positivos.


Documents

aula 2 - Integrais no cálulo de área.pdf