Aula 7 - O que é probabilidade_20130504113601

AULA 07

PROBABILIDADE

Os fenômenos estudados pela Estatística variam de resultados de uma observação para

outra, dificultando assim a previsão de um resultado futuro. Por isso adota-se um modelo

matemático probabilístico.

EXPERIMENTO ALEATÓRIOExperimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições

semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.

Em uma afirmação do tipo: “é provável que meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar:

a) que o time perca;

b) que o time ganhe;

c) que o time empate.

Como vimos, o resultado é imprevisível e depende do acaso. Fenômenos como esses são

chamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios.

ESPAÇO AMOSTRAL

A cada experimento aleatório (A, B, C,..) correspondem em geral a vários resultados possíveis a que chamamos de Espaço Amostral (E).

Exemplo 1:A: jogar um dado e observar o nº da face de cima

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Exemplo 2:B= Jogar uma moeda e observar o resultado

E = {cara, coroa}

EVENTOS

É qualquer subconjunto do espaço amostral E de um experimento aleatório.

Exemplo: No lançamento de um dado, onde E= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seja B o evento “obter um nº par na face superior” temos: B = {2, 4, 6}

PROBABILIDADE

Dado um experimento aleatório, sendo E o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os

elementos de E tenham a mesma chance de acontecer, chamamos de probabilidade de um

evento A o nº real P(A) tal que:

Desde que:

n(A) = nº de elementos de A ;

n(E) = nº de elementos de E.

Exercícios

01. Uma urna contem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso e observa-se o número indicado. Descrever de forma explicita os seguintes conjuntos e dar o número de elementos de cada um:

a) O espaço amostral U;b) O evento A: o número de bola é ímpar;c) O evento B: o número da bola é maior que 6.

02. Em um cesto há 6 bolas de vôlei, sendo 3 brancas e 3 vermelhas. Desse cesto são retiradas, sucessivamente, 3 bolas. Calcular o número de elementos dos seguintes eventos:

a) As três bolas têm a mesma cor;b) Duas bolas são brancas;c) As três bolas são vermelhas;d) O número de bolas brancas é igual ao número de bolas vermelhas.

03. Considere o experimento: Lançamento de dois dados: um branco e outro verde, e a observação da face superior. Determine:

a) O espaço amostral;b) O Evento A: ocorrência de dois números iguais nos dados;c) O evento B: Elementos cuja soma seja;d) O número de elementos do item anterior.

04. O dominó é um jogo composto por 28 peças. Em cada metade de uma das faces de uma peça há de zero a seis pontos marcados. Assim, por exemplo, as peças podem ser representadas, respectivamente por 0 – 5 ou 5 – 0, 2 – 4 ou 4 – 2 e 3 – 3. Considerando o experimento: retira-se uma peça da caixa, aleatoriamente, e verifica-se o número de pontos em cada metade. Determine:

a) O espaço amostral do experimento;b) O evento A: sai uma peça com igual quantidade de pontos nas duas metades;c) O evento B: sai uma peça cuja soma dos pontos das metades é igual a doze;d) O evento C: sai uma peça cuja diferença dos pontos das metades é igual a 7;

05. Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente e se observam as faces superiores. Determine:

P (A )=n (A )n(E )

A probabilidade do evento certo é igual a 1: P(E) = 1

A probabilidade do evento impossível é igual a zero: P(Ø) = 0

A probabilidade de um evento A qualquer é um nº real P(A) tal que:

0≤P(A )≤1

a) O espaço amostral desse experimento;b) O evento A: sai cara e um número ímpar;c) O evento B: sai coroa e um número par;

06. Em uma caixa há papeletas, numeradas de 1 a 5. Retiram-se duas delas ao acaso e calcula-se a soma dos números escritos. Determine os eventos para obter uma soma:

a) Par e múltipla de 3;b) Ímpar e múltipla de 3c) Múltipla de 7.

07. No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:a) O número 2;b) Um número par;c) Um número múltiplo de 3;

08. A confederação Brasileira de Futebol – CBF, em respeito ao estatuto do Torcedor, realiza um sorteio para definir os árbitros das partidas de cada rodada do campeonato Brasileiro de Futebol. O quadro abaixo mostra a quantidade de árbitros por estado que entraram no sorteio para os jogos de uma determinada rodada do campeonato:

Estado SP RJ SC PR MG GO RS DF CE PA

Quantidade de árbitros 6 5 1 2 3 1 3 1 1 1

Para o jogo Flamengo (RJ) x Cruzeiro (MG), qual a probabilidade de:

a) O árbitro sorteado ser um paulista;b) O árbitro sorteado não ser originário dos estados desses clubes.

09. Considere os números de três algarismos distintos que podem ser formados permutando-se os algarismos 2, 3 e 4. Imagine que uma dessas permutações foi escolhida ao acaso e considere os eventos:

A: o número sorteado é múltiplo de 3 B: o número sorteado é múltiplo de 5;

Qual a probabilidade de ocorrer cada um desses eventos?

10. No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:

a) O número 1;b) Um número primo;c) Um número divisível por 2;d) Um número menor que 5;e) Um número maior que 6;

11. Uma caixa contém 30 bolas de madeira e todas com o mesmo tamanho, sendo 18 azuis e 12 amarelas. Retirando-se uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade dela ser azul? E qual a probabilidade ser amarela?

EVENTOS COMPLEMENTARES Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra

(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento

existe sempre a relação:

Exemplo 1: Assim, se a probabilidade

de se realizar um evento é p=1

5 , a probabilidade de que ele não ocorra é:

15+q=1⇒q=1−1

5= 4

5 , isto é, 80% de chance de não ocorrência.

Exercício de Fixação 1: Sabemos que a probabilidade de tirar 4 no lançamento de um dado é p(4) = 1/6. Logo, a probabilidade de não tirar o 4 no lançamento de um dado é:

Resolução

EVENTOS INDEPENDENTESDizemos que dois ou mais eventos são independentes quando a realização ou a não

realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa,

ou seja, então a probabilidade da ocorrência de ambos é igual ao produto de suas

probabilidades individuais, ou “marginais” :

Exemplo 1: No lançamento de dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no

primeiro dado é P1=

16 ; A

probabilidade de obtermos 3 no

segundo dado é: P3=

16

Qual a probabilidade de obtermos simultaneamente, 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado é:

Resolução:

P=16⋅1

6= 1

36

Isto é, em cada 36 vezes em que lançamos esses dois dados simultaneamente, 1 dessas 36 vezes ocorrerá a face 1 no primeiro dado e a face 3 no segundo dado.

Exercício de Fixação 1: Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de ambas darem cara?

Resolução:

É razoável admitir que os resultados das duas moedas sejam independentes um do outro. Além disso, para moedas equilibradas,

P(cara )=12 .

p + q = 1 ⇒ q = 1 – p

P = P1 . P2 . P3 . P4 . …. Pn