Aula04 Poligonos Inscritos

Desenho Tecnico - ConstrucoesGeometricas

Emılio Eiji Kavamura

Eng. MecanicaUniversidade Positivo

6 de fevereiro de 2009

eek.up@hotmail.com Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

SUMARIO

1 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia

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TOPICOS

1 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia

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Problema no8 - Triangulo inscrito

O

α

Dada uma circunferencia α,inscrever um trianguloequilatero.

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Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

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Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α

D

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

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Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α

D

A

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

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Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α

D

A

β

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

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Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α

D

A

β

CB

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

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Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α

D

A

β

CB

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

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Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α

A

CB

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

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TOPICOS

1 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia

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Problema no9 - Quadrado inscrito

O

α

Dada uma circunferencia α,inscrever um quadrado.

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Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

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Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α

C

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

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Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α

C

A1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

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Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α

C

A

D

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

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Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α

C

A

D B

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

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Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α

C

A

D B

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

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Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α

C

A

D B

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

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TOPICOS

1 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia

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Problema no10 - Pentagono inscrito

O

α

Dada uma circunferencia α,inscrever um pentagono.

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Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH =

HA AE ,EF ,FG,GH,HA;

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Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH =

HA AE ,EF ,FG,GH,HA;

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Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

β1

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH =

HA AE ,EF ,FG,GH,HA;

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Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

β1

N

M

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH =

HA AE ,EF ,FG,GH,HA;

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Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

β1

N

M

P

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH =

HA AE ,EF ,FG,GH,HA;

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Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

A β1

N

P

β2

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH =

HA AE ,EF ,FG,GH,HA;

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Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

A

β2

Q

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH =

HA AE ,EF ,FG,GH,HA;

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Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

A

β2

Q

E

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH =

HA AE ,EF ,FG,GH,HA;

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Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

A

E H

F G

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH =

HA AE ,EF ,FG,GH,HA;

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Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

A

E H

F G

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH =

HA AE ,EF ,FG,GH,HA;

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TOPICOS

1 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia

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Problema no11 - Hexagono inscrito

O

α

Dada uma circunferencia α,inscrever um hexagono.

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Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao

O

α1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;

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Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao

O

αA

D

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;

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Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao

O

αA

D

β1

β2

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;

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Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao

O

αA

D

β1

β2

B F

C E

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;

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Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao

O

αA

D

B F

C E

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;

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Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao

O

αA

D

B F

C E

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;

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TOPICOS

1 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia

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Problema no12 - Heptagono inscrito

O

α

Dada uma circunferencia α,inscrever um heptagono.

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Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

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Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

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Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

β1

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

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Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

β1

N

M

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

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Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

β1

N

M

P

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

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Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

AM

P

E

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

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Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

A

E

F

GH

I

J

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

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Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

A

E

F

GH

I

J

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

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Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

O

A

E

F

GH

I

J

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

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TOPICOS

1 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia

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Problema no13 - Octogono inscrito

Oα Dada uma circunferencia α,

inscrever um octogono.

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Problema no13 - Octogono inscrito - solucao

αO

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}

2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,

CH,HD,DG,GA;

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Problema no13 - Octogono inscrito - solucao

αO

C

A

D B

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}

2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,

CH,HD,DG,GA;

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Problema no13 - Octogono inscrito - solucao

αO

C

A

D B

E

H

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}

2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,

CH,HD,DG,GA;

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Problema no13 - Octogono inscrito - solucao

αO

C

A

D B

E

F

G

H

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}

2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,

CH,HD,DG,GA;

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Problema no13 - Octogono inscrito - solucao

αO

C

A

D B

E

F

G

H

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}

2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,

CH,HD,DG,GA;

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Problema no13 - Octogono inscrito - solucao

αO

C

A

D B

E

F

G

H

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}

2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,

CH,HD,DG,GA;

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