View
213
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
derivada
Citation preview
10
Curso de Administrao
Unidade 2
2.1. Regras de derivao:
O clculo da derivada de uma funo pela definio, dependendo da funo, pode ser
bastante complicado. Para facilitar os clculos recorremos s regras de derivao, onde cada
uma das regras obtida a partir da definio de derivada. Consideraremos que u e v so
funes derivveis da varivel independente x e k, n so constantes.
Propriedades operatrias:
P1) Se )x(gk)x(f = , ento )x('gk)x('f = .
P2) Se )x(v)x(u)x(f = , ento )x('v)x('u)x('f = .
P3) Se )x(v)x(u)x(f = , ento )x(v)x('u)x('v)x(u)x('f += .
P4) Se )x(v
)x(u)x(f = , ento
2)]x(v[
)x('v)x(u)x('u)x(v)x('f
= .
Derivada das principais funes:
1) Derivada da funo constante:
Se k)x(f = , onde k uma constante, ento 0)x('f = .
De fato, 0h
0lim
h
)k()k(lim
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h0h0h==
=
+=
.
Ex: Seja 3)x(f = , ento 0)x('f = .
2) Derivada da funo identidade:
Se x)x(f = , ento 1)x('f = .
Ex: Seja x3)x(f = , aplicando a propriedade P1 e a regra 2, tem-se:
3)1(3dx
dx3)x('f ===
3) Derivada da funo afim bax)x(f += , onde a e b so constantes:
adx
)bax(d)x('f =
+= .
Ex. Seja 4x3)x(f += , assim 30)1(3dx
4d
dx
dx3)x('f =+=+=
Ricardo GomesHighlight
Ricardo GomesHighlight
Ricardo GomesHighlight
Ricardo GomesHighlight
Ricardo GomesHighlight
Ricardo GomesHighlight
Ricardo GomesHighlight
Matemtica para Cincias Sociais Aplicadas I 11
4) Derivada da funo potncia:
Se nx)x(f = , ento 1nnx)x('f = .
Ex: Seja 10xx4x)x(f 25 ++= , aplicando as propriedades P1, P2 e a regra 4,
1x8x501x)2(4x510dx
dx
dx
dx
dx
d4x
dx
d)x('f 4425 ++=+++=++=
5) Derivada da funo composta (ou regra da cadeia):
Sejam )x(fy = e )x(gu = duas funes, tais que suas derivadas existam e
exista a derivada da funo ))x(g(fy = , que indicaremos por dx
dy, ento
dx
du
du
dy
dx
dy'y == .
6) Derivada da funo potncia (geral):
Se nuf(x) = e )x(gu = , aplicando a regra da cadeia e a derivada da funo
potncia podemos obter a derivada da funo ))x(g(fy = dada por
dx
dunu)x('f'y
dx
dy 1n=== .
Ex: Seja 32
2 )3x()x(f += , para calcularmos a derivada de f(x), fazemos uma
substituio, chamamos 3xu 2 += e 3
2n = , e aps aplicamos a regra anterior, logo
3 2
3
12
23
3
3
22
3x3
x4)x2()3x(
3
2
dx
)3x(d)3x(
3
2)x('f
+=+=
++=
7) Derivada da funo logartmica:
Seja ulog)x(f a= , ento dx
duelog
u
1)x('f a= , para x>0.
Ex. Seja )1x3(log)x(f 2 += , fazendo )1x3(u += , tem-se
elog)1x3(
3
dx
)1x3(d)e(log
)1x3(
1)x('f 22
+=
+
+= .
Seja a funo logaritmo natural, ou seja, o log na base e, dado por lnuf(x) = , ento
dx
duelog
u
1)x('f e= , para x>0. Como j sabemos o 1aloga = , assim
dx
du
u
1)x('f = .
Ex: Seja )1x3ln()x(f += , fazendo )1x3(u += , tem-se
Ricardo GomesHighlight
Ricardo GomesHighlight
Ricardo GomesHighlight
Ricardo GomesHighlight
Curso de Administrao 12
)1x3(
3
dx
)1x3(d
)1x3(
1)x('f
+=
+
+=
8) Derivada da funo exponencial na base e:
Seja ue)x(f = , ento dx
due)x('f u= .
Ex: Se xef(x) = , ento xx edx
dxe)x('f ==
Ex: Se 2xef(x) = , onde 2xu = , ento
2xx2
x xe2)x2(edx
)x(de)x('f === .
9) Derivada da funo seno:
Seja )u(sen)x(f = , ento dx
du)ucos()x('f = .
Ex: Se )x3(sen)x(f = , ento )x3cos(3dx
)x3(d)x3cos()x('f ==
10) Derivada da funo cosseno:
Seja )ucos()x(f = , ento dx
du)u(sen)x('f = .
Ex: Se )x3cos()x(f 2= , ento )x3cos(x6dx
)x3(d)x3(sen)x('f
22
== , pois
2x3u = e x6x)2(3dx
)x(d3
dx
)x3(d 1222
===
Exemplo 1:
Obtenha, usando as regras de derivao, a derivada de cada funo a seguir:
a) 23 x5x10)x(f +=
x10x30x)2(5x)3(10dx
)x(d5
dx
)x(d10
dx
)x5(d
dx
)x10(d)x('f 21213
2323
+=+=+=+=
b) xsen(x)f(x) = , usando P3, obtm-se: senxxcosxdx
dx)x(sen)x(sen
dx
dx)x('f +=+= .
c) 2x
1x)x(f
= , usando P4, obtm-se:
2222 )2x(
1
)2x(
1x2x
)2x(
)1)(1x()1)(2x(
)2x(
)'2x)(1x()'1x)(2x()x('f
=
+=
=
= .
d)
++= 1
x
1
x
1)x(f
2, podemos escrever f(x) como ( )1xx)x(f 12 ++= e aplicar a
propriedade da soma e a regra da funo potncia:
Ricardo GomesHighlight
Matemtica para Cincias Sociais Aplicadas I 13
x
1
x
20x)1(x2)'1()'x()'x()x('f
3
2312=++=++= .
e) )x2x3ln()x(f 2 = , e se x2x3u 2 = , ento )x2x3(
2x6)'x2x3(
)x2x3(
1)x('f
2
2
2
=
= .
f) 1l2xf(x) += , e se 1x2u += , ento
1x2
1
1x22
2)1x2()1x2(
2
1)x('f '2
1
+=
+=++=
.
Exemplo 2:
Obtenha a equao da reta tangente ao grfico de f nos pontos de abscissas indicados:
a) 2x)x(f = , 5x 0 =
Como vimos anteriormente, a derivada da funo num ponto representa o coeficiente angular
da reta tangente ao grfico da funo nesse ponto (interpretao geomtrica da derivada).
Assim x2)x('f = e 10)5(2)5('fm tg === , logo a equao da reta tangente ao grfico de
2x)x(f = , no ponto )25,5( , )5x(1025y = , 25x102550x10y =+= .
b) 6x5x)x(f 2 += , 2x 0 =
5x2)'6()'x5()'x()x('f 2 =+= e 15)2(2)2('fm tg === , assim a equao da reta
tangente no ponto (2,0) 2xy)2x(10y +== .
Resumo : Tabela de derivadas
1) )x('gk)x('f)x(gk)x(f == .
2) )x('v)x('u)x('f)x(v)x(u)x(f == .
3) )x(v)x('u)x('v)x(u)x('f)x(v)x(u)x(f +== .
4) 2)]x(v[
)x('v)x(u)x('u)x(v)x('f
)x(v
)x(u)x(f
== .
5) 0)x('fk)x(f == .
6) a)bax()x('fbax)x(f ' =+=+= .
7) 1nn nx)x('fx)x(f == .
8) )x(fy = e )x(gu = , dx
du
du
dy
dx
dyy'f(g(x))y === .
9) nuf(x) = e )x(gu = , dx
dunu)x('f'y
dx
dyuf(x) 1nn ==== .
10)dx
duelog
u
1)x('fulog)x(f aa == , para x>0.
Curso de Administrao 14
11) dx
du
u
1)x('flnuf(x) == , para x>0.
12) dx
due)x('fe)x(f uu == .
13) dx
du)ucos()x('f)u(sen)x(f == .
14) dx
du)u(sen)x('f)ucos()x(f == .
2.2. Funes Marginais Aplicao da derivada:
Na Administrao e na Economia costuma-se utilizar o conceito de funo marginal para avaliar
o efeito causado na funo custo (C(x)) e na funo receita (R(x)) por uma pequena variao
em uma unidade da quantidade x produzida. Assim a funo custo marginal a derivada da
funo custo, a funo receita marginal a derivada da funo receita.
Exemplo 3:
a) Dada a funo receita x100)x(R = , obtenha a receita marginal.
Resoluo:
100)x('RRmg == .
b) Dada a funo receita 5010xxR(x) 2 += , obtenha a receita marginal.
Resoluo:
10x2)x('RRmg == . Por exemplo, se x=10, 1010)10(2Rmg == . A receita marginal
aproximadamente igual variao da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a
partir de x unidades
c) Em cada caso, obtenha a funo custo marginal:
c1) 100x10x2x5)x(C 23 ++=
Resoluo:
10x4x1510x)2(2x)3(5)x('CC 22mg +=+==
c2)2x
x)x(C
2
+=
Resoluo:
2
2
2
22
2
2
2
22
mg)2x(
x4x
)2x(
xx4x2
)2x(
xx2)2x(
)2x(
)1(x)'x)(2x()x('CC
+
+=
+
+=
+
+=
+
+==
c3) 3x)(x2
eC(x) +=
Resoluo:
)x3x(2)x3x(mg
22e)3x2()'x3x.(e)x('CC ++ +=+==
Matemtica para Cincias Sociais Aplicadas I 15
2.3. Derivadas Sucessivas:
Suponha que f uma funo derivvel no intervalo I. Se a funo )x('f , chamada de
primeira derivada de f(x), derivvel no mesmo intervalo, ento existe a funo derivada de
)x('f , indicada como )x(''f que chamada de derivada segunda de f(x). Seguindo este
procedimento sucessivamente e , supondo que f(x) n vezes derivvel, obtm-se a funo
derivada de ordem n, de f(x) indicada como )x(f n . As funes )x('f , )x(''f , )x('''f .... )x(f n ,
so as derivadas sucessivas da funo )x(fy = .
Exemplo 4:
Determinar todas as derivadas da funo 1x4x2x)x(fy 23 +++== :
4x4x34x)2(2x3dx
dy)x('f'y 22 ++=++===
4x6)4x4x3(dx
d
dx
yd)x(''f''y 2
2
2
+=++===
6)4x6(dx
d
dx
yd)x('''f'''y
3
3
=+===
0)6(dx
d
dx
yd)x(fy
4
4iviv
==== .
Exemplo 5:
Determinar as derivadas indicadas:
a) xe)x(fy == , ?''y =
Resoluo:
xedx
dy)x('f'y ===
x2
2
edx
yd
dx
dy
dx
d)x(''f''y ==
==
b) x
1)x(fy == , ?'''y =
Resoluo:
2
1
x
1
dx
)x(d
dx
dy)x('f'y
====
( )3
32
2
2
x
2x)2(x
dx
d
dx
yd
dx
dy
dx
d)x(''f''y ====
==
( )4
43
3
3
2
2
x
6x)3)(2(x2
dx
d
dx
yd
dx
yd
dx
d)x('''f'''y
====
==
c) x3x5x)x(fy 310 ++== , ?'''y =
Curso de Administrao 16
3x15x10dx
dy)x('f'y 29 ++===
x30x90dx
yd
dx
dy
dx
d)x(''f''y 8
2
2
+==
==
30x720dx
yd
dx
yd
dx
d)x('''f'''y 7
3
3
2
2
+==
==
Nesta unidade, voc realizou clculos de derivadas de
diversos tipos de funo, tais como derivada da funo
produto e funo quociente, aplicou a regra da cadeia
(derivada da funo composta), aprendeu a derivar
sucessivamente uma funo e obteve uma noo de funo
marginal. Novamente, menciona-se que a compreenso
sempre referida importante para que voc possa
acompanhar a disciplina. Faa todos os exemplos
atentamente e consulte o tutor sempre que tiver dvida.
Saiba Mais ...
Para aprofundar os contedos abordados nesta aula consulte:
MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Clculo funes de uma
e vrias variveis, 5a ed. So Paulo: Saraiva, 2006.
ANTON, H. Clculo: Um Novo Horizonte, volume 1, 6a ed. So Paulo: Editora Bookman,
2000.
SCHNEIDER, D. I., LAY, D. C., GOLDSTEIN, L. J. Matemtica Aplicada Economia,
Administrao e Contabilidade, 10a ed. So Paulo: Editora Bookman, 2006.
RESUMO
Recommended