aula2

10

Curso de Administrao

Unidade 2

2.1. Regras de derivao:

O clculo da derivada de uma funo pela definio, dependendo da funo, pode ser

bastante complicado. Para facilitar os clculos recorremos s regras de derivao, onde cada

uma das regras obtida a partir da definio de derivada. Consideraremos que u e v so

funes derivveis da varivel independente x e k, n so constantes.

Propriedades operatrias:

P1) Se )x(gk)x(f = , ento )x('gk)x('f = .

P2) Se )x(v)x(u)x(f = , ento )x('v)x('u)x('f = .

P3) Se )x(v)x(u)x(f = , ento )x(v)x('u)x('v)x(u)x('f += .

P4) Se )x(v

)x(u)x(f = , ento

2)]x(v[

)x('v)x(u)x('u)x(v)x('f

= .

Derivada das principais funes:

1) Derivada da funo constante:

Se k)x(f = , onde k uma constante, ento 0)x('f = .

De fato, 0h

0lim

h

)k()k(lim

h

)x(f)hx(flim)x('f

0h0h0h==

=

+=

.

Ex: Seja 3)x(f = , ento 0)x('f = .

2) Derivada da funo identidade:

Se x)x(f = , ento 1)x('f = .

Ex: Seja x3)x(f = , aplicando a propriedade P1 e a regra 2, tem-se:

3)1(3dx

dx3)x('f ===

3) Derivada da funo afim bax)x(f += , onde a e b so constantes:

adx

)bax(d)x('f =

+= .

Ex. Seja 4x3)x(f += , assim 30)1(3dx

4d

dx

dx3)x('f =+=+=

Ricardo GomesHighlight







Matemtica para Cincias Sociais Aplicadas I 11

4) Derivada da funo potncia:

Se nx)x(f = , ento 1nnx)x('f = .

Ex: Seja 10xx4x)x(f 25 ++= , aplicando as propriedades P1, P2 e a regra 4,

1x8x501x)2(4x510dx

dx

dx

dx

dx

d4x

dx

d)x('f 4425 ++=+++=++=

5) Derivada da funo composta (ou regra da cadeia):

Sejam )x(fy = e )x(gu = duas funes, tais que suas derivadas existam e

exista a derivada da funo ))x(g(fy = , que indicaremos por dx

dy, ento

dx

du

du

dy

dx

dy'y == .

6) Derivada da funo potncia (geral):

Se nuf(x) = e )x(gu = , aplicando a regra da cadeia e a derivada da funo

potncia podemos obter a derivada da funo ))x(g(fy = dada por

dx

dunu)x('f'y

dx

dy 1n=== .

Ex: Seja 32

2 )3x()x(f += , para calcularmos a derivada de f(x), fazemos uma

substituio, chamamos 3xu 2 += e 3

2n = , e aps aplicamos a regra anterior, logo

3 2

3

12

23

3

3

22

3x3

x4)x2()3x(

3

2

dx

)3x(d)3x(

3

2)x('f

+=+=

++=

7) Derivada da funo logartmica:

Seja ulog)x(f a= , ento dx

duelog

u

1)x('f a= , para x>0.

Ex. Seja )1x3(log)x(f 2 += , fazendo )1x3(u += , tem-se

elog)1x3(

3

dx

)1x3(d)e(log

)1x3(

1)x('f 22

+=

+

+= .

Seja a funo logaritmo natural, ou seja, o log na base e, dado por lnuf(x) = , ento

dx

duelog

u

1)x('f e= , para x>0. Como j sabemos o 1aloga = , assim

dx

du

u

1)x('f = .

Ex: Seja )1x3ln()x(f += , fazendo )1x3(u += , tem-se





Curso de Administrao 12

)1x3(

3

dx

)1x3(d

)1x3(

1)x('f

+=

+

+=

8) Derivada da funo exponencial na base e:

Seja ue)x(f = , ento dx

due)x('f u= .

Ex: Se xef(x) = , ento xx edx

dxe)x('f ==

Ex: Se 2xef(x) = , onde 2xu = , ento

2xx2

x xe2)x2(edx

)x(de)x('f === .

9) Derivada da funo seno:

Seja )u(sen)x(f = , ento dx

du)ucos()x('f = .

Ex: Se )x3(sen)x(f = , ento )x3cos(3dx

)x3(d)x3cos()x('f ==

10) Derivada da funo cosseno:

Seja )ucos()x(f = , ento dx

du)u(sen)x('f = .

Ex: Se )x3cos()x(f 2= , ento )x3cos(x6dx

)x3(d)x3(sen)x('f

22

== , pois

2x3u = e x6x)2(3dx

)x(d3

dx

)x3(d 1222

===

Exemplo 1:

Obtenha, usando as regras de derivao, a derivada de cada funo a seguir:

a) 23 x5x10)x(f +=

x10x30x)2(5x)3(10dx

)x(d5

dx

)x(d10

dx

)x5(d

dx

)x10(d)x('f 21213

2323

+=+=+=+=

b) xsen(x)f(x) = , usando P3, obtm-se: senxxcosxdx

dx)x(sen)x(sen

dx

dx)x('f +=+= .

c) 2x

1x)x(f

= , usando P4, obtm-se:

2222 )2x(

1

)2x(

1x2x

)2x(

)1)(1x()1)(2x(

)2x(

)'2x)(1x()'1x)(2x()x('f

=

+=

=

= .

d)

++= 1

x

1

x

1)x(f

2, podemos escrever f(x) como ( )1xx)x(f 12 ++= e aplicar a

propriedade da soma e a regra da funo potncia:



x

1

x

20x)1(x2)'1()'x()'x()x('f

3

2312=++=++= .

e) )x2x3ln()x(f 2 = , e se x2x3u 2 = , ento )x2x3(

2x6)'x2x3(

)x2x3(

1)x('f

2

2

2

=

= .

f) 1l2xf(x) += , e se 1x2u += , ento

1x2

1

1x22

2)1x2()1x2(

2

1)x('f '2

1

+=

+=++=

.

Exemplo 2:

Obtenha a equao da reta tangente ao grfico de f nos pontos de abscissas indicados:

a) 2x)x(f = , 5x 0 =

Como vimos anteriormente, a derivada da funo num ponto representa o coeficiente angular

da reta tangente ao grfico da funo nesse ponto (interpretao geomtrica da derivada).

Assim x2)x('f = e 10)5(2)5('fm tg === , logo a equao da reta tangente ao grfico de

2x)x(f = , no ponto )25,5( , )5x(1025y = , 25x102550x10y =+= .

b) 6x5x)x(f 2 += , 2x 0 =

5x2)'6()'x5()'x()x('f 2 =+= e 15)2(2)2('fm tg === , assim a equao da reta

tangente no ponto (2,0) 2xy)2x(10y +== .

Resumo : Tabela de derivadas

1) )x('gk)x('f)x(gk)x(f == .

2) )x('v)x('u)x('f)x(v)x(u)x(f == .

3) )x(v)x('u)x('v)x(u)x('f)x(v)x(u)x(f +== .

4) 2)]x(v[

)x('v)x(u)x('u)x(v)x('f

)x(v

)x(u)x(f

== .

5) 0)x('fk)x(f == .

6) a)bax()x('fbax)x(f ' =+=+= .

7) 1nn nx)x('fx)x(f == .

8) )x(fy = e )x(gu = , dx

du

du

dy

dx

dyy'f(g(x))y === .

9) nuf(x) = e )x(gu = , dx

dunu)x('f'y

dx

dyuf(x) 1nn ==== .

10)dx

duelog

u

1)x('fulog)x(f aa == , para x>0.


11) dx

du

u

1)x('flnuf(x) == , para x>0.

12) dx

due)x('fe)x(f uu == .

13) dx

du)ucos()x('f)u(sen)x(f == .

14) dx

du)u(sen)x('f)ucos()x(f == .

2.2. Funes Marginais Aplicao da derivada:

Na Administrao e na Economia costuma-se utilizar o conceito de funo marginal para avaliar

o efeito causado na funo custo (C(x)) e na funo receita (R(x)) por uma pequena variao

em uma unidade da quantidade x produzida. Assim a funo custo marginal a derivada da

funo custo, a funo receita marginal a derivada da funo receita.

Exemplo 3:

a) Dada a funo receita x100)x(R = , obtenha a receita marginal.

Resoluo:

100)x('RRmg == .

b) Dada a funo receita 5010xxR(x) 2 += , obtenha a receita marginal.

Resoluo:

10x2)x('RRmg == . Por exemplo, se x=10, 1010)10(2Rmg == . A receita marginal

aproximadamente igual variao da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a

partir de x unidades

c) Em cada caso, obtenha a funo custo marginal:

c1) 100x10x2x5)x(C 23 ++=

Resoluo:

10x4x1510x)2(2x)3(5)x('CC 22mg +=+==

c2)2x

x)x(C

2

+=

Resoluo:

2

2

2

22

2

2

2

22

mg)2x(

x4x

)2x(

xx4x2

)2x(

xx2)2x(

)2x(

)1(x)'x)(2x()x('CC

+

+=

+

+=

+

+=

+

+==

c3) 3x)(x2

eC(x) +=

Resoluo:

)x3x(2)x3x(mg

22e)3x2()'x3x.(e)x('CC ++ +=+==


2.3. Derivadas Sucessivas:

Suponha que f uma funo derivvel no intervalo I. Se a funo )x('f , chamada de

primeira derivada de f(x), derivvel no mesmo intervalo, ento existe a funo derivada de

)x('f , indicada como )x(''f que chamada de derivada segunda de f(x). Seguindo este

procedimento sucessivamente e , supondo que f(x) n vezes derivvel, obtm-se a funo

derivada de ordem n, de f(x) indicada como )x(f n . As funes )x('f , )x(''f , )x('''f .... )x(f n ,

so as derivadas sucessivas da funo )x(fy = .

Exemplo 4:

Determinar todas as derivadas da funo 1x4x2x)x(fy 23 +++== :

4x4x34x)2(2x3dx

dy)x('f'y 22 ++=++===

4x6)4x4x3(dx

d

dx

yd)x(''f''y 2

2

2

+=++===

6)4x6(dx

d

dx

yd)x('''f'''y

3

3

=+===

0)6(dx

d

dx

yd)x(fy

4

4iviv

==== .

Exemplo 5:

Determinar as derivadas indicadas:

a) xe)x(fy == , ?''y =

Resoluo:

xedx

dy)x('f'y ===

x2

2

edx

yd

dx

dy

dx

d)x(''f''y ==

==

b) x

1)x(fy == , ?'''y =

Resoluo:

2

1

x

1

dx

)x(d

dx

dy)x('f'y

====

( )3

32

2

2

x

2x)2(x

dx

d

dx

yd

dx

dy

dx

d)x(''f''y ====

==

( )4

43

3

3

2

2

x

6x)3)(2(x2

dx

d

dx

yd

dx

yd

dx

d)x('''f'''y

====

==

c) x3x5x)x(fy 310 ++== , ?'''y =


3x15x10dx

dy)x('f'y 29 ++===

x30x90dx

yd

dx

dy

dx

d)x(''f''y 8

2

2

+==

==

30x720dx

yd

dx

yd

dx

d)x('''f'''y 7

3

3

2

2

+==

==

Nesta unidade, voc realizou clculos de derivadas de

diversos tipos de funo, tais como derivada da funo

produto e funo quociente, aplicou a regra da cadeia

(derivada da funo composta), aprendeu a derivar

sucessivamente uma funo e obteve uma noo de funo

marginal. Novamente, menciona-se que a compreenso

sempre referida importante para que voc possa

acompanhar a disciplina. Faa todos os exemplos

atentamente e consulte o tutor sempre que tiver dvida.

Saiba Mais ...

Para aprofundar os contedos abordados nesta aula consulte:

MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Clculo funes de uma

e vrias variveis, 5a ed. So Paulo: Saraiva, 2006.

ANTON, H. Clculo: Um Novo Horizonte, volume 1, 6a ed. So Paulo: Editora Bookman,

2000.

SCHNEIDER, D. I., LAY, D. C., GOLDSTEIN, L. J. Matemtica Aplicada Economia,

Administrao e Contabilidade, 10a ed. So Paulo: Editora Bookman, 2006.

RESUMO

Documents

aula2