Mecnica Tcnica

Aula 2 Lei dos Senos e Lei dos Cossenos

Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

Tpicos Abordados Nesta Aula Clculo de Fora Resultante. Operaes Vetoriais. Lei dos Senos. Lei dos Cossenos.

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Grandezas Escalares Uma grandeza escalar caracterizada por

um nmero real. Como exemplo de escalares podem se citar: o tempo, a massa, o volume, o comprimento, etc.

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Grandezas Vetoriais Uma grandeza vetorial caracterizada pela dependncia de trs

elementos fundamentais, ou seja, representa um ente matemtico que possui intensidade, direo e sentido. Em problemas de esttica muito comum a utilizao de grandezas vetoriais como posio, fora e momento.

A posio de um ponto no espao em relao a outro ponto caracteriza uma grandeza vetorial. Para descrever a posio de uma cidade A em relao outra cidade B, insuficiente dizer que ambas esto separadas por uma distncia de 100 km, para se caracterizar um vetor, deve-se dizer por exemplo, que a cidade B se encontra 100 km a oeste da cidade A.

A fora tambm caracterizada como uma grandeza vetorial, pois quando se empurra uma pea de mvel atravs do cho aplica-se na mesma uma fora com intensidade suficiente para mover o mvel e com a direo desejada para o movimento.

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Representao de uma Grandeza Vetorial Uma grandeza vetorial pode ser

representada graficamente por uma seta, que utilizada para definir seu mdulo, sua direo e seu sentido. Graficamente o mdulo de um vetor representado pelo comprimento da seta, a direo definida atravs do ngulo formado entre um eixo de referncia e a linha de ao da seta e o sentido indicado pela extremidade da seta.

A figura mostra a representao grfica de dois vetores fora atuando ao longo dos cabos de fixao de um poste, o ponto O chamado de origem do vetor e o ponto P representa sua extremidade ou ponta.

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Soluo Escalar Praticamente todos os problemas envolvendo os

conceitos de soma e subtrao vetorial, bem como a determinao das componentes de um vetor podem ser resolvidos a partir das leis dos senos e dos cossenos, que representam propriedades fundamentais da trigonometria e so descritas a seguir a partir da figura a seguir e das respectivas equaes.

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Lei dos Senos e dos Cossenos Dado um tringulo ABC e seus ngulos internos , e , a lei dos

senos definida da seguinte forma: Em todo tringulo, as medidas dos seus lados so proporcionais aos senos dos lados opostos.

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senC

sen

Bsen

A==

cosABBAC 222 +=

A partir do mesmo tringulo ABC e seus ngulos internos , e , a lei dos cossenos definida do seguinte modo: Num tringulo, o quadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ngulo oposto ao primeiro lado.

B A

C

Soma Vetorial Regra do Paralelogramo

O Clculo da fora resultante pode ser obtido atravs da soma vetorial com a aplicao da regra do paralelogramo.

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Exerccio 1 1) O parafuso mostrado na figura est sujeito a duas foras F1 e F2.

Determine o mdulo e a direo da fora resultante.

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10

Soluo do Exerccio 1Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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110110

70

70

2Fr

1Fr

RFr

y

x

702Fr

1Fr

RFr

Construir um esquema aplicando a regra do paralelogramo de forma a identificar quais so as incgnitas do problema.

A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-se construir o tringulo de vetores.

cosFFFFFR += 212

22

1 2

+= 703002002300200 22 cosFR

senF

sen

F R=

1

RFsenF

sen

=1

=

RFsenF

asen

1

=

2529870200

,

senasen

= 0639,

= = 300639, = 069,

Aplicando-se a lei dos cossenos, determina-se o mdulo da fora resultante FR.

O ngulo determinado a partir da lei dos senos, utilizando-se o valor calculado para FR.

Com relao ao eixo x positivo, o ngulo dado por:

FR = 298,25 N

Exerccio 2 2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra

com problemas em seus motores. Sabendo-se que a fora resultante igual a 30kN, encontre suas componentes nas direes AC e BC.

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Soluo do Exerccio 2Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

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=

=

3040110 senF

sen

Fsen

F CBCAR

=

=

1104030

11040

sen

sen

sen

senFF RCA

52,20=CAF

=

=

1103030

11030

sen

sen

sen

senFF RCB

96,15=CBF

FCAFCB

FR = 30 kN3040

110

A partir da regra do paralelogramo, deve-se construir um tringulo de vetores envolvendo as foras atuantes nos cabos CA e CB e a fora resultante, de forma a identificar as incgnitas do problema.

A partir da aplicao da lei dos senos, pode-se determinar os mdulos das foras atuantes em cada um dos cabos CA ou CB da seguinte forma.

Resolvendo para FCA tem-se que:

Resolvendo para FCB tem-se que:

kN

kN

Exerccios PropostosAula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

1) Determine a intensidade da fora resultante e indique sua direo,

medida no sentido anti-horrio, em relao ao eixo x positivo.

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2) Determine a intensidade da fora resultante e indique sua direo,

medida no sentido anti-horrio, em relao ao eixo u positivo.

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Exerccios PropostosAula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

3) A chapa est submetida a duas foras FA e FB como mostra a figura. Se = 60, determine a intensidade da fora resultante e sua intensidade em relao ao eixo horizontal.

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Exerccios PropostosAula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

4) Duas foras so aplicadas ao olhal a fim de remover a estaca mostrada. Determine o ngulo e o valor da fora F de modo que a fora resultante seja orientada verticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade de 750N.

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Exerccios PropostosAula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues

5) A caminhonete mostrada rebocada por duas cordas. Determine os valores de FA e FB de modo a produzir uma fora resultante de 950N oreintada no eixo x positivo, considere = 50.

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Exerccios Propostos 6) O parafuso tipo gancho mostrado na figura est sujeito a duas

foras F1 e F2. Determine o mdulo e a direo da fora resultante.

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Exerccios Propostos 7) A tora de madeira rebocada pelos dois tratores mostrados,

sabendo-se que a fora resultante igual a 10kN e est orientada ao longo do eixo x positivo, determine a intensidade das foras FA e FB.

Considere = 15.

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Prxima Aula Sistemas de Foras Coplanares. Determinao de Fora Resultante. Componentes de um Vetor Cartesiano.

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