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Transf. de Massa - ENG 524, Capítulo 7
Pro
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rL.
de
Alb
uq
uer
qu
e, E
ng
. Qu
ímic
a IF
BA
Transferência de Massa – ENG 524
Capítulo 7 – Introdução à Convecção Mássica
Prof. Édler Lins de Albuquerque1
Transf. de Massa - ENG 524, Capítulo 7
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Camada-Limite de Velocidade
Onde:
→ Espessura da camada-limite, definida como o valor de y para qual:
u 0,99 u
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. Qu
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Camada-Limite de Velocidade
sf 2
Cu / 2
s
y 0
u
y
Fornece a base para o coeficiente de atrito local Cf que éum parâmetro adimensional chave para a determinaçãodo arraste:
s é a tensão cisalhante, que para um fluido Newtoniano é dada por:
Transf. de Massa - ENG 524, Capítulo 7
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Camadas-Limite de Velocidade Laminar e Turbulenta
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Camadas-Limite de Velocidade
Laminar e Turbulenta
• Camada Limite Laminar
Movimento altamente ordenado
• Zona de Transição
Escoamento com comportamento ora laminar oraturbulento
• Camada Limite Turbulenta
Escoamento altamente irregular caracterizado pelomovimento tridimensional aleatório
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Regiões da Camada Limite Turbulenta
• Subcamada Viscosa
Dominada pelo mecanismo da difusão
• Camada de Amortecimento
Mecanismo de difusão e mistura turbulenta
• Zona turbulenta
Mistura turbulenta
Camadas-Limite de Velocidade
Laminar e Turbulenta
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Regiões da Camada Limite Turbulenta
Camadas-Limite de Velocidade
Laminar e Turbulenta
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5cx ,c
u xRe 5 10
Razão entre forças de inércia e viscosas
Camadas-Limite de Velocidade
Laminar e Turbulenta
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Camada-Limite Térmica
t → Espessura da camada-limite térmica, definida como o valor de y para qual:
s
s
T T0,99
T T
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Camada-Limite Térmica
s f
y 0
Tq k
y
s sq h T T
fy 0
s
Tk
yh
T T
Para qualquer distância x da aresta frontal, o fluxo térmico na superfície local pode ser obtido pela lei de Fourier no fluido em y = 0:
Pela Lei de Resfriamento de Newton:
Combinando as duas equações, resulta:
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Transferência de Calor
Coeficientes Convectivos Local e Médio
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Transferência de Calor
sAs
q q dA
s sAs
q T T hdA
s sq h A T T
A taxa total de transferência de calor pode ser obtida por:
Definindo um Coeficiente Convectivo Médio
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ss As
1h hdA
A
L
o
1h hdx
L
Para placa plana, h varia apenas com a distância x , logo:
Transferência de Calor
s sAs
q T T hdA s sq h A T T
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Equações das Camadas-Limite para Escoamento Laminar
0y
v
x
u
2
2
u u 1 p uu v
x y x y
22
2p
T T T uu v
x y c yy
Continuidade
Momento na direção x
Conservação da Energia
(6.27)
(6.28)
(6.29)
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As Equações das Camadas-Limite
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O PROBLEMA DA CONVECÇÃO- O fluxo local e a taxa de transferência total de calor e massa são de
capital importância em problemas de convecção;
- As equações para determinação do fluxo e da taxa dependem doscoeficientes convectivos local e médio;
- A transferência por convecção é influenciada pelas camadas-limite;
- Os coeficientes convectivos dependem de várias propriedades dosfluidos como, densidade, viscosidade, condutividade térmica ecalor específico;
- Os coeficientes convectivos são funções, também, da geometria dasuperfície e das condições do escoamento;
- A DETERMINAÇÃO DESTES COEFICIENTES É O PROBLEMA DACONVECÇÃO.
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As Equações das Camadas-Limite
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Convecção Mássica x Contribuição Convectiva
✓ Contribuição Convectiva
NyyCDN
VC ou vConvectiva
ãoContribuiç ou Advecção
nwwDn
n
1i
iAAABA
AA
n
1i
iAAABA
✓ Convecção Mássica
CCkN
kn
AAmA
AAmA
p
p
O coeficiente convectivo detransferência de massa (km) éinfluenciado pelas características doescoamento (v e y) e pela interaçãosoluto-meio (DAB) !!!!!
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Convecção Mássica em regime permanente
Coeficiente Convectivo local de transferência de Massa
AA
0y
A
ABm
p
x
y
)y,x(
Dk
Coeficiente Convectivo de transferência de Massa, calculado como uma média
L
dxkkk
L
m
mm
x 0
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Regiões da Camada Limite Turbulenta
Subcamada Viscosa
Camada de Amortecimento
Zona Turbulenta
Camadas-Limite de Velocidade
Laminar e Turbulenta
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Camadas-Limite Térmica e de Concentração (Mássica) Laminares e Turbulentas
• Comportamento similar à camada limite de velocidade;
• Profundamente influenciadas pela natureza do escoamento.
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Regime permanente, meio não-reacional, T e p constantes nomeio onde ocorre o fenômeno de transferência de massa.
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Formas Simplificadas para a Equação daContinuidade do Soluto A
.0v e constantes são C e ,D:suposições das iasConsequênc
rDvvt
RCDvCCvt
C
AB
"'
AAABAAA
"'
AAABAAA
A2
ABA
A2
ABA
Dv
CDCv
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Transferência de Massa em Escoamento Laminar
Equações do Movimento para sistemas incompressíveis,
constituídos por misturas binárias, com propriedades
constantes e sem a ocorrência de reações químicas:
A2
ABA
2
xDDt
Dx
:química reação sem e constantes p e T com
A soluto o para Molar deContinuida da Equação
vgpDt
vD
:velincompresí Stokes-Navier de Equação
0v
:deContinuida da Equação
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Transferência de Massa em Escoamento Laminar
Definindo-se grandezas adimensionais auxiliares, tem-
se:
A0A1
A0A*A
*
20**
xx
xxx
L
Vtt
V
)pp(p
V
vv
V é uma velocidade característica;L é um comprimento linear característico;
(p – p0) é uma diferença de pressão característica;(xA1 – xA0) é uma diferença de concentração característica.
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Transferência de Massa em Escoamento Laminar
Definindo-se grandezas adimensionais auxiliares, tem-
se:
Adimensionalisando-se as equações anteriores:A0A1
A0A*A
*
20**
xx
xxx
L
Vtt
V
)pp(p
V
vv
AB
2
*A
2*
*
*A
*2***
*
*
**
DSc ;
gL
VFr ;
VLRe
transporte de Equações
xScRe
1
Dt
Dx
vRe
1
g
g
Fr
1p
Dt
vD
0v
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Números Adimensionais em Fenômenos de Transporte
mássica deDifusivida
inerciais Forças
D
Lu
D
VLPe
convectiva ãoContribuiç
mássica Convecção
u
k
V
kSt
mássica convecção à aResistênci
molecular nível em mássica difusão à sistênciaRe
k/1
D/L
D
LkSh
molecular nível em mássica dedifusivida
molecular nível em momento de dedifusivida
DDSc
nalgravitacio Força
inerciais Forças
gL
VFr
viscosas Forças
inerciais ForçasvLvLRe
ABAB
M
mmM
m
AB
AB
m
ABAB
2
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Números Adimensionais em Transferência de Massa
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Convecção Mássica Forçada x Natural
✓ Convecção Mássica Forçada
Movimento da misturaocasionado por um agenteexterno, cuja contribuiçãoconvectiva refere-se àvelocidade do escoamento.
✓ Convecção Mássica Natural
Movimento fruto dacirculação das correntes damistura, caracterizada pelacombinação dacompressibilidade mássica damistura e forças volumares,com contribuição convectivaadvinda do empuxo mássico.
e
AAmAAAmA CCkNknpp
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Convecção Mássica Forçada
Movimento da mistura ocasionado por um agenteexterno, cuja contribuição convectiva refere-se àvelocidade do escoamento.
e
AAmAAAmA CCkNknpp
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Convecção Mássica em regime permanente
Coeficiente Convectivo local de transferência de Massa
AA
0y
A
ABm
p
x
y
)y,x(
Dk
Coeficiente Convectivo de transferência de Massa, calculado como uma média
L
dxkk
L
0m
m
x
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Convecção em regime permanente
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Convecção em escoamento laminar, bidimensional de um fluido newtoniano e incompressível em uma placa
plana em regime permanenteEquação da
Continuidade Global Equação de Navier-Stokes
Equação da Difusão de Calor
Equação da Continuidade Molar para a espécie A
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Convecção em escoamento laminar, bidimensional de um fluido newtoniano e incompressível em uma placa
plana em regime permanente
Rescrevendo as equações em função de novas variáveis:
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Convecção em escoamento laminar, bidimensional de um fluido newtoniano e incompressível em uma placa
plana em regime permanente
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Convecção em escoamento laminar, bidimensional de um fluido newtoniano e incompressível em uma placa
plana em regime permanente
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Convecção em escoamento laminar, bidimensional de um fluido newtoniano e incompressível em uma placa
plana em regime permanente
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Convecção em escoamento laminar, bidimensional de um fluido newtoniano e incompressível em uma placa
plana em regime permanente
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Em escoamento interno, tem-se umaregião de desenvolvimento do perfil deconcentração.
A camada limite de concentração continuaa se desenvolver na direção do fluxo atésua espessura atingir o centro da tubulaçãoe acabar as camadas limite.
Interpretação Física dos Parâmetros adimensionais
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Um número de Schmidt próximo a um (Sc = 1) indicaque a transferência de momento e a transferênciade massa por difusão sãocomparáveis, e as camadas-limite de velocidade e concentração praticamentecoincidem.
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As espessuras relativas das camadas-limite laminares podem ser dadaspelas seguintes relações:
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km = hmassCoeficiente convectivo de Transferência de Massa
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43
Os Números de Nusselt eSherwood representam aefetividade, respectivamente,da convecção térmica e daconvecção mássica nasuperfície.
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Analogias das Camadas-Limite
Subcamada Viscosa
Camada de Amortecimento
Zona Turbulenta
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Analogias entre as Transferências de Momentum, Calor e Massa
✓ Segundo Welty et al. (2001), existem cinco condiçõesque devem ser satisfeitas em um sistema para que hajasimilaridade entre os fenômenos de transporte: Não existir produção/consumo de energia ou massa
(ausência de reação química homogênea);
Não existir emissão ou absorção de energia porradiação;
Não existir dissipação viscosa;
O perfil de velocidade não deve ser afetado pelatransferência de massa; assim a taxa de transferência demassa deve ser pequena;
As propriedades físicas devem ser constantes, ouaproximadamente constantes na média.
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TRANSFERÊNCIAS DE CALOR E DE MASSA
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QUADRO COMPARATIVO ENTRE AS TRANSFERÊNCIAS DE
CALOR E MASSA – Regime Laminar
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QUADRO COMPARATIVO ENTRE AS TRANSFERÊNCIAS DE
CALOR E MASSA - REGIME TURBUENTO
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Analogia entre Convecção Natural (Mássica e Térmica )
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51
O N. de Sherwood pode ser obtido a partir do N. de Nusseltsubstituindo-se o N. de Prandtl pelo N. de Schmidt (convecção forçada)ou o N. de Grashof Térmico pelo Mássico (convecção natural).
Transf. de Massa - ENG 524, Capítulo 7
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53
Analogia de ReynoldsCaso Especial: Pr Sc Le 1
C
ScRe
Sh
v
kSt
:setem ,)v(yv)v(
C Como
)v(yv
k
)CC(k)CC(y
DN
v
v
yCC
CC
y
fmM
y
xf
y
xm
As,Am
y
s,AAABy,A
y
x
ys,AA
s,AA
2
2
20
220
0
0
00
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54
Analogia de ReynoldsCaso Especial: Pr Sc Le 1
Validade:- Somente tensões cisalhantesestão presentes, ou seja, nenhumtipo de arraste é verificado;
- Experimentalmente, vale pararegiões de escoamentocompletamente turbulento.
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Transf. de Massa - ENG 524, Capítulo 7
Pro
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r. É
dle
rL.
de
Alb
uq
uer
qu
e, E
ng
. Qu
ímic
a IF
BA
55
Analogia de Prandlt
▪ Considera a subcamada viscosa (região de parede) e azona turbulenta;▪ Na subcamada laminar, as difusividades turbulentasde massa e momento são desprezíveis e a tensão e ofluxo de transf. de massa na parede são constantes.
Transf. de Massa - ENG 524, Capítulo 7
Pro
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qu
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. Qu
ímic
a IF
BA
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Analogia de Prandlt
s
x
syA
ABAAs
AB
syA
AAs
AB
syAC
C
AA
ABsyA
ssx
s
v
xx
s
vN
DCC
D
NCC
dyD
NCd
dy
CdDN
v
dydvdy
dv
Para
A
As
x
,
,
0
,
,
00
)(
:limite camada da expessura uma
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. Qu
ímic
a IF
BA
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Analogia de Prandlt
)1(2/512
C
Re :
2/5)/(52//(v
:,5v y se-tem viscosa, subcamada na Como
)1()/(1
2
C
)]1D
( [)(
:se-tem acima, equações das lim
)()(
)(
:se-tem limite,-Camada da partir a ,turbulenta zona a
2
C
Re:Reynolds de Analogia a vale ,turbulenta zona a
)(
f
f
AB,
,
2f
,
ScCSc
Sh
v
kStAssim
CvvCvv
setem
Scvvv
kvv
N
CC
CinandoE
CCvv
CCkN
Para
vSc
Sh
v
kPara
vN
DCC
f
mM
fxfx
x
mx
ssyA
AAs
A
AA
x
sAAmyA
sm
s
x
syA
ABAAs
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Analogia de von Kármán
Ampliou a abordagem de Prandlt, considerando, alémda subcamada viscosa (região de parede) e a zonaturbulenta, a zona de amortecimento (transição).
]}/)Sc[(LnSc{/C
C
ScRe
Sh
v
kSt
]}/Pr)[(Ln{Pr/C
C
ScRe
NuSt
f
f
mM
f
f
65112512
65112512
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Analogia de Chilton-Colburn
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• Surgiu da necessidade de se levar em conta a contribuiçãoturbulenta, mesmo muito próximo à interface.• Um modelo mais realista leva em conta, portanto, além daspropriedades moleculares, as turbulentas.
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Analogia de Chilton-Colburn
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• Um modelo mais realista leva em conta, portanto, além daspropriedades moleculares, as turbulentas. Muitos dadosexperimentais propõem variações cúbicas destaspropriedades junto de interfaces.
No extremo das camadas adjacentes à interface, aspropriedades de transporte molecular e turbulento devemser iguais, assim:
3D
(T)
ABAB
3H
(T)
3M
(T)
tec D D
tec
tec
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Analogia de Chilton-Colburn
61
3D
AB3D
(T)
AB
3H
3H
(T)
3M
3M
(T)
DD tec
tec
tec
3D
AB3H
3M
D
D
M3/1
3D
3M
AB
H
M3/1
3H
3M
Sc D
PrPr
3D
(T)
ABAB
3H
(T)
3M
(T)
tec D D
tec
tec
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Analogia de Chilton-Colburn
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3/1
D
M
3/1
H
M
Sc
Pr
DHM
f ShNuRe2
CL
3/1f
3/1f
ScRe2
CSh
PrRe2
CNu
3/13/1f
ScRe
Sh
PrRe
Nu
2
C
Fórmula matemática que expressa a analogia de Chilton-Colburn
km~ (DAB)2/3
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Analogia COMPLETA de Chilton-Colburn
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3/13/1f
ScRe
Sh
PrRe
Nu
2
C
Fórmula matemática que expressa a analogia COMPLETA de Chilton-Colburn
A partir de qualquer expressão para o cálculo de Cf, chega-se acorrelações para estimar h ou km, implícitos, respect., em Nu e Sh.Por exemplo, usando-se a fórmula de Blasius para escoamentosturbulentos em tubos lisos, tem-se:
3/18,0
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4/1f
ScRe039,0Sh
)10Re(2,1x10 Re
0791,0C
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Analogia COMPLETA de Chilton-Colburn
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3/13/1f
ScRe
Sh
PrRe
Nu
2
C
Fórmula matemática que expressa a analogia completa de Chilton-Colburn
Introduzindo-se os fatores j para os fenômenos de transporte,chega-se as seguintes relações:
DHM
1/3D1/3Hf
M
jjj
ScRe
Shj ;
PrRe
Nuj ;
2
Cj
Expressões para a analogia COMPLETA de Chilton-Colburn
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Analogia COMPLETA de Chilton-Colburn
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3/13/1f
ScRe
Sh
PrRe
Nu
2
C
Fórmula matemática que expressa a analogia completa de Chilton-Colburn
DHM
3/2M1/3D
jjj
ScStScRe
Shj
Expressões para a analogia COMPLETA de Chilton-Colburn
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Analogia COMPLETA de Chilton-Colburn
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líquidos) e gases(Sc,
jjj
ScRe
Sh
PrRe
NuC
DHM
//
f
250060
2 3131
Experimentalmente, verificou-se que esta relaçãoé exata para paredes planas e satisfatória paraoutras geometrias nas quais o arraste de formanão esteja presente.
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Analogia de Chilton-Colburn
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geometrias de tipos Variados
Líquidos e Gases
Pr,
Sc,
jjScRe
Sh
PrRe
Nu
DH
//
10060
250060
3131
Quando o arraste de forma estiver presente, aanalogia se resume a Calor e Massa:
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Limitações na Analogia entre Convecção Térmica e Mássica
▪ Os N. de Nusselt são usualmente obtidos para superfícies lisas;
▪ Muitas relações para Nusselt são obtidas a uma temperaturaconstante na superfície.
A analogia entre convecçãotérmica e mássica é válidasomente para os casos nos quaiso fluxo da espécie emtransferência de massa nãointerfere no fluxo total de fluidoatravessando a superfície. Nalinguagem usada por CREMASCO(2004), o fator de injeção é nulo.
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BA
Outras Analogias (Tratamento Cremasco)
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)T(
D
)T(M
)T(
)T(ABAB
)T(fm
M
A)T(
D
)T(M
)T(
)T(ABAB
)T(2f
Am
p
p,A
A)T(
D
)T(M
)T(
)T(ABAB
)T(
)T(
AB
)T(M
)T(
)T(D
A)T(
ABAB
p
p,A
)T(M
)T()T(2fp
)T(D
A)T(
ABABA)T(
ABABAmp,A
/1
D/D1
Sc
1
2
C
u
kSt
u/1
D/D1
Sc
1
u2
Ckn
u/1
D/D1Du
DDn
u
dy
)u(du
2
C
DDdy
)(dDDkn
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a IF
BA
is.desprezíve são parede da região na asresistênci RePrRe2
As
StStSc
ShNuCM
f
Analogia de Reynolds (Escoamentos Turbulentos): = 1.
Outras Analogias e suas relações
71
Analogia de Prandtl: = [1+a1/2(Sc-1)]-1
2
C
)T(D
)T(M
)T(
)T(ABAB
)T(m
M
f/1
D/D1
Sc
1
u
kSt
Analogia de von Kármán: = [1+51/2(Sc-1+ Ln[(1 + 5Sc)/6])]-1
Analogia de Chilton-Colburn: = (1/Sc) (M/D) = Sc-2/3
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. Qu
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a IF
BA
QUADRO COMPARATIVO ENTRE AS ANALOGIAS PARA AS
TRANSFERÊNCIAS DE CALOR E MASSA
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FIM !!!
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Bibliografia:Cremasco, M. A. Fundamentos de Transferência de Massa, 2ª edição,EDUNICAMP, 2004;
Pinho, M. N. e Prazeres, D. M. Fundamentos de Transferência deMassa. IST Press, 2008;
Pirani, Marcelo J. Introdução à Convecção. Disciplina ENG309 - UFBA(Aula em ppt). Acesso em março de 2016.
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