Circuitos Elétricos - ene.unb.br · Diagramas de Bode • Hendrik Bode (1905-1982) ... •Filtros...

Prof. Dr. Alex da Rosa

LARA – ENE – UnB

www.ene.unb.br/alex

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Circuitos Elétricos

Tópico 6:

Desempenho dos Circuitos em

Função da Frequência

Introdução

• No estudo de circuitos em regime permanente senoidal, aanálise era realizada para um dada frequência.

• Agora vamos estudar o comportamento dos circuitosvariando-se sua frequência de operação.

• A resposta em frequência tem inúmeras aplicações naengenharia: projeto de sistemas de comunicação (filtros),amplificadores de áudio, robótica, etc.

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Introdução

• Relação de tensão em um circuito RC

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Função de Transferência

• Representa a relação entre uma variável de saída (tensão oucorrente) e uma variável de entrada (fonte de tensão ou decorrente), sendo expressa em função da frequência.

• Usaremos 𝑠 = 𝑗𝜔, que terá um significado mais relevantequando estudarmos a transformada de Laplace.

𝐻 𝑠 =𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)=𝑎𝑚𝑠

𝑚 + 𝑎𝑚−1𝑠𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0

𝑏𝑛𝑠𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑠

𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0

• Raízes do numerador: zeros da função de transferência.

• Raízes do denominador: polos da função de transferência.4

Exemplo 12.2

• Determine a função de transferência 𝐺 𝑠 = 𝐼2(𝑠)/𝑉(𝑠) docircuito abaixo.

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Avaliação do Aprendizado E12.2

• Determine a função de transferência 𝐻 𝑠 = 𝑉𝑜(𝑠)/𝑉𝑠(𝑠) docircuito abaixo e calcule seus polos e zeros.

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Diagramas de Bode

• Hendrik Bode (1905-1982)

• Dada uma função de transferência 𝐻 𝑗𝜔 , os diagramas deBode consistem em representar seu módulo (magnitude) efase como função da frequência.

• Para representar um amplo valor de frequências, osdiagramas são plotados em escala logarítmica.

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Diagramas de Bode

• Bel (B) é uma unidade utilizada para representar grandezasrelativas, como ganho de potência:

ganho = log𝑃2

𝑃1B = 10log

𝑃2

𝑃1(dB)

ganho = 10log𝑅𝐼2

2

𝑅𝐼12 = 20log

𝐼2

𝐼1(dB)

• Com estas considerações, os diagramas de Bode poderão sertraçados de forma aproximada mais facilmente.

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Diagramas de Bode

• Considere a função de transferência:

𝐻 𝑠 =𝑎𝑚𝑠

𝑚 + 𝑎𝑚−1𝑠𝑚−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0

𝑏𝑛𝑠𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑠

𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0

𝐻 𝑗𝜔 =𝐾 𝑗𝜔 + 𝑧1 𝑗𝜔 + 𝑧2 ⋯(𝑗𝜔 + 𝑧𝑚)

𝑗𝜔 + 𝑝1 𝑗𝜔 + 𝑝2 ⋯(𝑗𝜔 + 𝑝𝑛)

• Magnitude:

• Fase:9

Diagramas de Bode

• Função de transferência com termo constante: 𝐻 𝑠 = 𝐾

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Diagramas de Bode

• Função de transferência com zero na origem: 𝐻 𝑠 = 𝑠

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Diagramas de Bode

• Função de transferência com zero real: 𝐻 𝑠 = 𝑠 + 𝑧1

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Avaliação do Aprendizado E12.4

• Esboce o diagrama de Bode de magnitude de:

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Avaliação do Aprendizado E12.5

• Esboce o diagrama de Bode de magnitude de:

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Diagramas de Bode

• Função de transferência com polo (ou zero) complexo

𝐻 𝑠 =1

𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2

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Avaliação do Aprendizado E12.8

• Esboce o diagrama de Bode de magnitude de

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Ressonância

• Ressonância é um importante fenômeno presente emdiversas áreas da engenharia, como projeto de sistemas decomunicação, veículos espaciais, construção de pontes.

• Vibração e colapso de uma ponte em Washington (1940)devido a uma rajada de vento na frequência de 0.2 Hz. 17

Ressonância

• Ressonância é um importante fenômeno presente eminúmeras situações na engenharia, como projeto de sistemasde comunicação, veículos espaciais, construção de pontes.

• Vibração e colapso de uma taça de vidro devido a uma ondasonora emitida na frequência natural da taça. 18

Ressonância

• Em circuitos elétricos, a ressonância ocorre quando a fontefor sintonizada em uma frequência próxima à frequêncianatural do circuito.

• Função de transferência com polos complexos conjugados.

• Observa-se um pico no diagrama de Bode de magnitude.

• Analogia: quando somos estimulados a fazer o quegostamos, geralmente respondemos com entusiasmo.

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Ressonância

• Circuito RLC série

• A frequência de ressonância é dada por 𝜔0 = 1/ 𝐿𝐶, sendoa impedância resultante puramente real.

• As tensões no capacitor e no indutor podem ser muitomaiores que a tensão da fonte.

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Ressonância

• Exemplo 12.7

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Ressonância

• Exemplo 12.7

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Ressonância

• Frequências de meia potência são aquelas em que a potênciadissipada no circuito é igual à metade de seu valor máximo.

• Largura de banda ou banda passante é a diferença entre asfrequências de meia potência: 𝐵 = 𝜔2 −𝜔1

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Para o Exemplo 12.7:

Ressonância

• Fator de qualidade de um circuito ressonante é a razão entrea frequência de ressonância e a largura de banda.

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Para o Exemplo 12.7:

Exemplo 12.16

• Calcule a frequência de ressonância do circuito abaixo para𝑅 = 5Ω e 𝑅 = 50Ω.

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Exemplo 12.16

• R = 50 Ω

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Exemplo 12.16

• R = 5 Ω

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Filtros

• Filtros são circuitos projetados de modo a permitir apassagem de sinais com frequências desejadas e rejeitarsinais com frequências indesejadas.

• Sua aplicação é importante em sistemas de telefonia,sintonia de estações de rádio, eliminação de ruídos.

• Os filtros mais comuns são:

passa-baixa

passa-alta

passa-faixa

rejeita-faixa 28

Filtros

• Passa-baixa: permite a passagem de baixas frequências erejeita altas frequências.

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Filtros

• Passa-alta: permite a passagem de altas frequências e rejeitabaixas frequências.

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• Passa-faixa: permite a passagem de apenas uma faixa defrequências, rejeitando baixas e altas frequências.

Filtros

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• Rejeita-faixa ou notch: permite a passagem de baixas e altasfrequências, rejeitando frequências dentro de uma faixa.

Filtros

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• Obtenha a função de transferência 𝐺 𝑠 = 𝑉𝑜(𝑠)/𝑉𝑖(𝑠) docircuito abaixo e determine o tipo de filtro que elerepresenta.

Avaliação do Aprendizado E12.24

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• Para 𝑅1 = 𝑅2 = 10 Ω e 𝐿 = 1 H, temos 𝐺 𝑠 =𝑠

2𝑠+10

Avaliação do Aprendizado E12.24

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• A antena de um aparelho de rádio FM capta estações nafaixa de 88 MHz a 108 MHz. O circuito do aparelho deverejeitar as frequências de todas as estações, exceto aquelaque se deseja ouvir, bem como amplificar o sinal da antena.

• Projete o capacitor do circuito abaixo de modo a sintonizara rádio Antena 1 de Brasília (93,7 MHz).

Exemplo 12.21

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• Sistemas de transmissão de telefonia podem sofrerinterferência das linhas de transmissão de energia, queoperam em 60 Hz. Projete os elementos do filtro notchabaixo para eliminar essa interferência.

Exemplo 12.19

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• Os filtros apresentados anteriormente são chamadospassivos, pois utilizam apenas resistores, capacitores eindutores.

• Filtros passivos são limitados: possuem ganho máximoigual a 1 e baixo desempenho em baixas frequências.

• Filtros ativos, que utilizam amplificadores operacionais,podem ter ganhos maiores que 1 e serão estudadosposteriormente.

Observações

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