CSE-020 Revisão de Métodos Matemáticos para...

CSE-020

Revisão de Métodos Matemáticos

para Engenharia

Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE

Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais

Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE

Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais

06.02.2009L.F.Perondi

06.02.2009

3.1 – Vetores

3.2 – Sistemas de coordenadas

3.3 – Campos escalares e vetoriais

3.4 – Gradiente, rotacional e divergente

3.5 – Teoremas de Stokes e Green

3 – Cálculo Vetorial

Sumário

06.02.2009

3.1 – Conceitos e definições

CSE-020 Cálculo Vetorial

3.1.1 – Vetores

- Elementos que requerem para sua

especificação a definição de uma grandeza e de

uma direção.

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CSE-020 Cálculo Vetorial

θ

Representação

forma polar

módulo

direção

3.1 – Conceitos e definições

06.02.2009

CSE-020 Cálculo Vetorial

3.1.2 – Operações com vetores

06.02.2009

CSE-020 Cálculo Vetorial

3.1 – Conceitos e definições

produto escalar

O produto escalar

entre dois vetores é

igual ao produto dos

módulos dos vetores e

o cosseno do ângulo

ente os eles.

produto vetorial

adição

subtração

multiplicação por

escalar

3.1.2 – Operações com vetores

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CSE-020 Cálculo Vetorial

3.1 – Conceitos e definições

3.1.2 – Operações com vetores

Representação geométrica

O módulo do

produto vetorial

entre dois vetores

é igual à área do

paralelograma

definido pelos dois

vetores.

O produto escalar

entre dois vetores

relaciona-se com a

projeção de um

vetor na direção

do outro.

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CSE-020 Cálculo Vetorial

3.2 – Sistemas de coordenadas

3.2.1 – Curvas em 3D

- Uma curva no espaço 3D pode ser

representada por um vetor

,

onde t é um parâmetro (escalar).

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CSE-020 Cálculo Vetorial

3.2.1 – Curvas em 3D

06.02.2009

CSE-020 Cálculo Vetorial

3.2.1 – Curvas em 3D

Comprimento de uma curva

06.02.2009

CSE-020 Cálculo Vetorial

3.2.1 – Curvas em 3D

Comprimento de uma curva

Ex.:

06.02.2009

CSE-020 Cálculo Vetorial

3.2.1 – Curvas em 3D

Comprimento de uma curva

Ex.:

06.02.2009

CSE-020 Cálculo Vetorial

3.2.1 – Curvas em 3D

Vetor tangente

reta tangente

vetor tangente

velocidade

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CSE-020 Cálculo Vetorial

3.2.1 – Curvas em 3D

Vetor normal

reta tangente

vetor tangente

velocidade

Vetor unitário normal à curva no plano da

curva

Vetor unitário normal à curva e ao plano

da curva

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3.3 – Campos escalares e vetoriais

3.3.1 – Definições

Campo escalar

- f(x,y,z) – função definida em um dado domínio,

representando uma dada quantidade física.

Ex.: distribuição de temperatura em um corpo

sólido, a densidade de um meio não-homogêneo,

a pressão em um fluído, o potencial eletrostático

em um dado meio, e outros.

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CSE-020 Cálculo Vetorial

3.3.1 – Definições

Campo vetorial

- – vetor definido em um dado domínio,

representando uma dada quantidade física.

Ex.: distribuição de velocidade em um fluído, os

campos elétrico e magnético em um dado meio,

entre outros.

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CSE-020 Cálculo Vetorial

3.4 – Gradiente, rotacional e divergente

Gradiente

Campo vetorial derivado de um campo escalar

f(x,y,z) , definido por:

O vetor é perpendicular às superfícies

:

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CSE-020 Cálculo Vetorial

Gradiente

-A integral de ao longo de um caminho

fechado é sempre zero:

- Se em um dado domínio, então

neste domínio.

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CSE-020 Cálculo Vetorial

Divergente Sejam:

Jν fluxo de massa de um fluído na direção ν

(massa/área tempo);

ρ densidade do fluído (massa / volume;

Q fonte por unidade de volume e tempo para o fluído

(massa / volume tempo).

Equação da continuidade.

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Rotacional Sejam:

campo vetorial;

vetor rotacional do campo ;

componente do rotacional perpendicular ao

plano da curva C.

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CSE-020 Cálculo Vetorial

Stokes

3.5 – Teoremas de Stokes e Gauss

Gauss

A integral de um campo sobre uma curva fechada

S é igual à integral do rotacional deste campo

sobre qualquer superfície A limitada por S. Na

expressão ao lado, representa um elemento de

área da superfície A.

A integral de um campo sobre uma superfície

fechada A é igual à integral do divergente deste

campo no volume V limitado por A.