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Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Sistemas de Controlo: Realimentação
Objectivos gerais
Estabilidade de entrada limitada /saída limitadaCritério de Routh-Hurwitz
RealimentaçãoRejeição de perturbaçoesSensibilidade à variação de parâmetrosErro em regime permanente
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Sistemas de Controlo
• Bom seguimento do sinal de referência• Boa rejeição dos efeitos das perturbações• Rapidez de resposta
• Estabilidade• Pequena sensibilidade à variação de parâmetros• Robustez de estabilidade
Objectivos Gerais:
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Estabilidade
O sistema é estável (de entrada limitada/saída limitada) sse a toda a entrada limitada corresponder uma saída limitada
SLIT causal estável:
nº polos nº zeros
Todos os polos têm parte real negativa (SPCE)
tr ty sH
Um sistema estável permanece em repouso a menos que lhe seja aplicada uma entrada ou perturbação exterior, e regressa à situação de repouso após terminada a perturbação.
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
regime transitórioresposta estacionária
KsH
1s
K
Estabilidade Exemplo: resposta ao escalão unitário
K1
1
s
sR sY
tueK
K
K
Kty
sKsY tK
11
11
1
1s
K
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
tueK
K
K
Kty tK
11
11
Estabilidade
tutr 1 Ks
K
1
2K
3
2
ssH
tuety t1
3
3
2
3
2
Regime transitório tende para zero
Sistema estável
Polo em (SPCE) 3s
Regime transitório tende para infinito
2K
1
2
s
sH
tuety t122
Sistema instável
Polo em (SPCD) 1s
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Estabilidade tr tytyty transest sH
Todos os polos de no SPCE
sHRegime transitório tende para zero
Estabilidade
Existe pelo menos 1 polo de no SPCD
sHRegime transitório tende para infinito Instabilidade
Regime transitório é um sinal limitado
Polos simples Estabilidade marginal ou crítica
Instabilidade
Polos múltiplos
Regime transitório é um sinal ilimitado
Polos de no SPCE e sobre o eixo imaginário
sH
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Critério de Routh-Hurwitz
Estabelece a localização das raízes de um polinómio relativamente ao eixo imaginário
011
1 asasasas nn
nn
Teste de Hurwitz
Para que tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas não suficiente) que:
1. ;
2. , os coeficientes tenham todos o mesmo sinal.
s
0,,1,0 iani ni ,1,0 ia
Se 1 ou 2 não se verificar, então tem raízes no SPCD ou sobre o eixo imaginário
Se 1 e 2 se verificarem, então nada se pode concluir sobre a localização das raízes de
s s
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Critério de Routh
Critério de Routh-Hurwitz 011
1 asasasas nn
nn
Teste de Hurwitz
Para que tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas não suficiente) que:
1. ;
2. , os coeficientes tenham todos o mesmo sinal.
s
0,,1,0 iani
ni ,1,0 ia
Têm pelo menos um polo no SPCD ou sobre o eixo imaginário
Exemplos
154323 23456 sssssss – não satisfaz a condição 2
5273 245 sssss – não satisfaz a condição 1
10835 234 sssss
– satisfaz ambas as condições – nada se pode concluir
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
2ª linha: 12 inni a
1ª linha: 22 inni a
77
66
55
44
33
22
11
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn sasasasasasasasas
Critério de Routh-Hurwitz
0
1
3
2
14
13
12
11
14321
ss
ssss
n
n
nnnnn
nnnnn
1º passo:
Matriz de Routh
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Critério de Routh-Hurwitz Matriz de Routh
2º passo:
01
0
11
1
33
32
31
3
24
23
22
21
2
14
13
12
11
14321
ss
ssss
nnnn
nnnnn
nnnnn
nnnnn
20
det1
11
11
21
21
11
nj
jni
jn
jni
jn
jnjn
i
coluna pivot
Critério de Routh:
O número de raízes no SPCD é igual ao número de trocas de sinal nos coeficientes na coluna pivot.
Se o teste de Hurwitz for verificado e não houver trocas de sinal na coluna pivot, então as raízes situam-se todas no SPCE
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
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Critério de Routh-Hurwitz Exemplo I
8126 23 ssssO teste de Hurwitz é verificado.
nada a concluir
83
3286
121
0
1
2
3
s
s
ss
86
121det6
1
3
32
03
3286
det
3321
8
Não há trocas de sinal nos coeficientes da coluna pivot
todas as raízes no SPCE
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
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dividir por 2
83
3286
121
0
1
2
3
s
s
ss
Critério de Routh-Hurwitz Exemplo I
8126 23 ssss Propriedade:Os coeficientes de uma linha da matriz de Routh podem ser multiplicados ou divididos por uma constante positiva sem alterar os sinais da coluna pivot
83
3243
121
0
1
2
3
s
s
ss
43
121det3
1
3
32
4
0
3
3243
det
3321
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
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Critério de Routh-Hurwitz Exemplo II
104735 2345 ssssss O teste de Hurwitz é verificado.
nada a concluir
Duas trocas de sinal nos coeficientes da coluna pivot
duas raízes no SPCD
103
29
104
3
25
81075431
0
1
2
3
4
5
s
s
s
s
ss
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
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Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares(zero na coluna pivot)
1011422 2345 ssssss
??
??60
10421121
0
1
2
3
4
5
ssssss
Um zero na coluna pivot
10124
106
10124
610421121
0
21
2
3
4
5
s
s
s
sss
10124
106
10124
2
Determinar a estrutura da matriz quando 0
106
1060
10421121
0
1
2
3
4
5
ssssss
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
106
1060
10421121
0
1
2
3
4
5
ssssss
Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares
4533 2345 ssssss
Se os elementos da coluna pivot situados imediatamente antes e depois do zero têm o mesmo sinal, então existe um par de raízes imaginárias puras.
Se os sinais forem opostos, então existe uma raíz no SPCD.
existe uma raíz no SPCD
existe mais uma raíz no SPCD
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Casos singulares(linha de zeros)
Critério de Routh-Hurwitz
4455 2345 ssssss
??
??00
451451
0
1
2
3
4
5
ssssss
Linha de zeros
Indica a existência de raízes simétricas em relação ao eixo imaginário
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
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Casos singulares(linha de zeros)
Critério de Routh-Hurwitz
4455 2345 ssssss
??
??00
451451
0
1
2
3
4
5
ssssss
Linha de zeros
1º passo: construir o polinómio auxiliar
a partir dos coeficientes da linha anterior à linha de zeros
45 24 sssQ
2º passo: a linha de zeros é substituída pelos coeficientes de
sssQds
d104 3
45
18
42
5104
451451
0
1
2
3
4
5
s
s
s
sss
Polinómio auxiliar
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
45
18
42
5104
451451
0
1
2
3
4
5
s
s
s
sss
Polinómio auxiliar
Critério de Routh-Hurwitz Casos singulares(linha de zeros)
4455 2345 ssssss
Se, a partir da linha de zeros, não houver trocas de sinal na coluna pivot, então existem raízes sobre o eixo imaginário.
Caso contrário, o número de trocas de sinal indica o número de raízes no SPCD.
Como não existem trocas de sinal na coluna pivot, conclui-se que a linha de zeros corresponde a raízes sobre o eixo imaginário.
Como é de grau 4, existem 2 pares de raízes sobre o eixo imaginário. Como é de grau 5, existe ainda 1 raiz no SPCE.
sQ s
As raízes de são também raízes de . sQ s
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K464
123 sss
sR sY
Critério de Routh-Hurwitz Exemplo
Ksss
KsH
464 23
Para que valores de é o sistema estável?
K
Matriz de Routh:
Ks
Ks
Kss
44
2044
61
0
1
2
3
04
2004
KK
Sistema estável:
204 K
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O efeito de sobre é tanto menor quanto maior for o ganho
sW sYK
Não é possível atenuar o efeito de sobre sW sY
Rejeição de perturbações perturbações na cadeia de acção
cadeia aberta
K sG
sW
sY sR
00
sRsWsYsYsY
sWsGsRsKGsY
cadeia fechada
K sG
sW
sY sR
sWsKG
sGsR
sKG
sKGsY
11
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Rejeição de perturbações exemplo
K
1
1
s
sW
sY sR
5K 10K
100K30K
saída sem perturbação
perturbação
saída com perturbação
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Rejeição de perturbações perturbações na cadeia de acção + ruído nos sensores
0
000
00
sWsR
sNsR
sNsW sYsYsYsY
sNsKG
sKGsW
sKG
sGsR
sKG
sKGsY
111
K sG
sW
sY sR
sN ruído nos sensores
• Impossivel, sem qualquer outra restrição, obter simultaneamente um bom seguimento da referência e uma boa rejeição do ruído
• Na prática, a ocupação espectral dos sinais de referência e de ruído é normalmente diferente
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Sensibilidade à variação de parâmetros
sHsKG
sKGsM
1
Sensibilidade de M(s) relativamente a G(s):M
G
dG
dM
GdG
MdM
S MG
sHsKGsM
sG
sHsKG
sHsGKsHsKGKS M
G
1
1
1
12
2
Quanto maior KGH menos sensível se torna a função de transferência em cadeia fechada a variações de parâmetros no sistema, G(s), a controlar.
K sG
sR sY
sH
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Erro em regime estacionário
sG
sR sY sE
Erro em regime estacionário:
teet
lim
Sinal de erro:
tytrte
sEsGsRsYsRsE
sRsG
sE
1
1
Nn
Nm
pspspss
zszszsKsG
21
21
Sistema (em cadeia fechada) de tipo N – sistema cuja função de transferência em cadeia aberta tem N polos na origem.
TVF:
ssRsG
ssEess 1
1limlim
00
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Erro em regime estacionário
s
sR1
tutr 1
t
ttutr 1
t
t
tuttr 12
2
1
sina
is d
e te
ste
escalão
rampa
parábola
2
1
ssR
3
1
ssR
- erro estático de posiçãope
- erro estático de velocidadeve
- erro estático de aceleraçãoae
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Erro em regime estacionário
Erro estático de posição
1;0;
lim21
21
0 NNK
pspspss
zszszsKK p
NnN
m
sp
ssRsG
es 1
1lim
0
s
sR1
sGsGe
ss
p
00 lim1
1
1
1lim
pK (coeficiente de erro estático de posição)
superiorou 1 tipode sistema;0
0 tipode sistema;1
1
pp Ke
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Erro em regime estacionário
Erro estático de velocidade
2;1;00;0
lim21
121
0NNKN
pspspss
zszszsKK v
NnN
m
sv
ssRsG
es 1
1lim
0
2
1
ssR ssGssG
es
sv
00 lim
1
1
1lim
vK (coeficiente de erro estático de velocidade)
superiorou 2 tipode sistema;0
1 tipode sistema;1
0 tipode sistema;
vv K
e
Estabilidade e RealimentaçãoFundamentos de Controlo
DEEC/ISTIsabel Lourtie
Erro em regime estacionário
Erro estático de aceleração
3;2;01,0;0
lim21
221
0NNK
N
pspspss
zszszsKK a
NnN
m
sa
ssRsG
es 1
1lim
0
3
1
ssR sGsssG
es
sa 2
0
20 lim
1
1
1lim
aK (coeficiente de erro estático de aceleração)
superiorou 3 tipode sistema;0
2 tipode sistema;1
1ou 0 tipode sistema;
aa K
e
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Erro em regime estacionário
r(t)y(t)
r(t)y(t)
r(t)y(t)
r(t)y(t)
r(t)y(t)
r(t)y(t)
r(t)y(t)
r(t)y(t)
r(t)y(t)
ttt
ttt
ttt
10
50
ssG
10
1502
ss
ssG 10
50
sssG
Tipo 0 Tipo1 Tipo 2
61
51
51
sG
sR sY sE
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