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Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno
2016
SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIOAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
étodos
uméricos
Conteúdo
1. Solução numérica de EDO.2. Métodos de Runge-Kutta.3. Métodos de Adams.4. Comparação de métodos para EDO.5. Sistemas de equações diferenciais ordinárias.
Equações Diferenciais Ordinárias - EDO
• São ferramentas fundamentais para modelagem matemática devários fenômenos físicos, químicos, biológicos, etc, quando essesfenômenos são descritos em termos de taxa de variação.
• Por exemplo: a taxa de variação da corrente i em função do tempo t,em um circuito RL
• Esse é um exemplo de EDO de primeira ordem.
• Essa ED é ordinária visto que a corrente i é função apenas de umavariável independente, o tempo t;
• Se a função de for definida em termos de duas ou mais variáveis,ter-se-ia uma equação diferencial parcial, por exemplo, a equação deLaplace:
Equações Diferenciais Ordinárias - EDO
• A EDO é de primeira ordem quando a derivada de maior ordem é deordem 1.
• Quando a equação contiver uma derivada de ordem n, ela é dita EDOde ordem n
• A Solução de uma EDO é a função que satisfaz a equação diferenciale certas condições iniciais na função.
• Resolver uma EDO analiticamente é encontrar uma solução geralcontendo constantes arbitrárias.
• Então determina-se essas constantes de modo que a expressãocombine com as condições iniciais.
Solução Numérica de EDO• Métodos analíticos são restritos apenas a algumas formas especiais
de função.
• Nem toda EDO tem solução analítica.
• Métodos numéricos não possuem tal limitação.
• Solução numérica é obtida como uma tabela de valores da funçãopara vários valores da variável independente.
• Solução analítica é uma relação funcional.
• Praticamente qualquer EDO pode ser resolvida numericamente.
• Se as condições iniciais forem alteradas, toda a tabela deve serrecalculada.
• Métodos numéricos para a solução de EDO, sujeitas às condiçõesiniciais.
Solução Numérica de EDO
• O PVI de primeira ordem apresenta a forma:
1 - Problema do Valor Inicial - PVI:
• A solução do PVI é uma função y = y(x) contínua e diferençável quesatisfaz o PVI.
• Calcular aproximação yi da solução exata y(xi) do PVI nos pontos
onde m é o número de subintervalos de [a, b] e h é o tamanho dointervalo.
• Solução numérica do PVI é uma tabela contendo os pares (xi, yi)sendo que
Solução Numérica de EDO2 – Método de Euler:
Apesar de ser utilizado raramente na prática, a sua simplicidade servepara exemplificar as técnicas envolvidas na construção de algunsmétodos mais avançados, sem a enfadonha álgebra que acompanhaessas construções. É um método da série de Taylor de ordem 1.
Solução Numérica de EDO
• Seja uma expansão da solução exata y(x), em série de Taylor, emtorno do valor inicial x0
• Truncando a série após o termo de derivada primeira, sendo x1 = x0 +h e y1 uma aproximação de y(x1) e sabendo que y’ = f(x, y)
• Sucessivas aproximações yi de y(xi) podem ser obtidas pela fórmulade recorrência
• Fórmula conhecida como método de Euler.
• Leonhard Euler propôs este método em 1768.
Solução Numérica de EDOExemplo: Calcular a solução do PVI da função a seguir no intervalo[0, 1], com m = 10 subintervalos.
Solução Numérica de EDO• Solução exata:
• Método de Euler com h = 0,1 só forneceu uma decimal exata para oPVI.
Solução Numérica de EDO• Comparação com h = 0,01
• Redução do passo h para 0,01 melhorou a solução numérica do PVI.
• Exatidão da solução é melhorada quando o valor do passo forreduzido.
Solução Numérica de EDOExemplo: Utilize o método de Euler para aproximar a solução do PVI:
Considerando n = 10. Então, h = (2-0)/10 = 0.2; xi = 0.2i; i=0, 1, ..., 9;y0 = 0,5.
yi+1 = yi + h y’(xi , yi) = yi + 0.2(yi – xi2 + 1) = 1.2yi – 0,008 i2 + 0,2
A solução analítica é y(x) = (x+1)2 – 0,5ex.
A tabela 1 a seguir mostra a comparação entre os valoresaproximados e os valores exatos.
Solução Numérica de EDO
Solução Numérica de EDO
Solução Numérica de EDO
• Definição (Passo simples): Um método é de passo simples quando aaproximação yi+1 for calculada a partir somente do valor yi do passoanterior. Sendo a função incremento. Um método de passo simplesé definido na forma
3 – Definições:
• Definição (Passo múltiplo): Sejam os p valores yi, yi-1, yi-2, ... , yi-p+1
previamente calculados por algum método. Um método é de passomúltiplo se estes p valores yi, yi-1, yi-2, ... , yi-p+1 forem utilizados paracalcular yi+1, para i = p – 1, p, p+1; ... , m - 1.
• Definição (Erro local): Supondo que o valor calculado por ummétodo de passo k seja exato, isto é, yi+j = y(xi+j) para j = 0, 1, ... , k -1, então o erro local em xi+k é definido como
Solução Numérica de EDO• Definição (Ordem): Um método de passo simples tem ordem q se a
função incremento for tal que
• Definição (Consistência): Um método numérico é dito consistentecom o PVI se a sua ordem q 1.
• Definição (Convergência): Um método de passo k é convergente se,para o PVI.
é válido para todo x [a, b].
Solução Numérica de EDO• Consistência significa que a solução numérica corresponde à solução
do PVI.
• A consistência de um método limita a magnitude do erro localcometido em cada passo.
• Estabilidade controla a propagação do erro durante os cálculos.
• Um método é convergente se ele for consistente e estável.
Métodos de Runge-Kutta• Exatidão dos resultados pode ser melhorada se o passo h for
reduzido.
• Se exatidão requerida for elevada, esta metodologia pode acarretargrande esforço computacional.
• Melhor exatidão pode ser obtida mais eficientemente pelaformulação denominada métodos de Runge-Kutta.
• C. D. T. Runge desenvolveu o primeiro método em 1895.
• M. W. Kutta elaborou a formulação geral em 1901.
• Runge-Kutta são métodos de passo simples.
Métodos de Runge-Kutta• Métodos de Runge-Kutta explícitos: Forma geral de métodos
explícitos de s estágios
a, b, c: constantes de cada método particular.
Métodos de Runge-Kutta• Constantes exibidas na notação de Butcher
Os métodos de Runge-Kutta podem ser classificados de acordocom a sua ordem.
Métodos de Runge-Kutta
• Seja a expansão em série de Taylor, na qual as derivadas em y sãoescritas em termos de f, a partir de dy/dx = f(x, y)
1 – Métodos de Segunda Ordem:
• Simplificando a notação fi = f(xi, yi).
• Sendo
As derivadas não são conhecidas
explicitamente. Mas se f é
suficientemente derivável, elas podem
ser obtidas considerando-se a derivada
total de y’=f(x,y), com respeito a x,
tendo em mente que y é função de x.
Métodos de Runge-Kutta• Forma geral em termos de k1 e k2
• Substituindo na equação anterior:
• Expandindo f(x, y), em série de Taylor, em termos de (xi, yi) eretendo somente os termos de derivada primeira:
• Rearranjando:
Métodos de Runge-Kutta• Comparando com
• Sistema não linear com 2 equações e 4 incógnitas
• Então pode-se gerar uma variedade de métodos de segunda ordem:
Métodos de Runge-Kutta
• Constantes do método na notação de Butcher
• Forma do método de Euler modificado
• Um exemplo de Metodo de Runge-Kutta de segunda ordem é ochamado Método de Euler modificado:
Métodos de Runge-Kutta
• Constantes do método na notação de Butcher
• Forma do método de Euler melhorado
• Um outro método de Runge-Kutta de segunda ordem é o Métodode Euler melhorado:
Métodos de Runge-KuttaExemplo: Comparar a solução do PVI para a função a seguir nointervalo [0, 1], com m = 10 subintervalos.
Solução exata
Métodos de Runge-Kutta
Métodos de Runge-Kutta2 – Métodos de Quarta Ordem:
• Mesmo desenvolvimento para obter métodos de Runge-Kutta deordem mais elevada.
• No caso de quarta ordem, obtem-se um sistema não linear com 11equações e 13 incógnitas.
• Método clássico de Runge-Kutta.
• Constantes na notação de Butcher
Métodos de Runge-KuttaExemplo: Calcular a solução do PVI no intervalo [0, 1], com m = 10subintervalos para a função:
Métodos de Runge-Kutta
Métodos de Runge-Kutta
Métodos de Runge-Kutta
+
+
+
h
h
Euler Melhorado
Métodos de Runge-Kutta3 – Método de Runge-Kutta-Fehlberg:
• Uma forma de verificar se um método de Runge-Kutta produzvalores dentro da exatidão desejada.
• Para isso deve-se recalcular o valor de yi+1 no final de cadaintervalo, utilizando o passo h dividido ao meio.
• O valor deve ser aceito se houver apenas uma pequena diferençaentre os dois resultados.
• Caso contrário, h deve ser dividido ao meio até que a exatidãodesejada seja alcançada.
• Esta estratégia pode requerer um grande esforço computacional.• Um processo proposto por E. Fehlberg utiliza dois métodos de
ordens diferentes, um de ordem 4 e outro de ordem 5.• Compara valores de yi+1 obtidos nos dois casos.• Método de Runge-Kutta-Fehlberg é considerado método de ordem
4.
Métodos de Runge-Kutta4 – Metodo de Dormand-Prince:
• J. R. Dormand e P. J. Prince propuseram método similar ao deRunge-Kutta-Fehlberg, porém de ordem 5, cujos coeficientes sãoapresentados na tabela a seguir.
• Acrescentada uma linha ei contendo os coeficientes para calcularos erros globais, que são as diferenças entre yi+1 obtido peloprocesso de ordem 5 e o de ordem 4.
Métodos de Runge-Kutta
Algoritmo Dormand-Prince:
Métodos de Runge-KuttaExemplo: Calcular a solução do PVI no intervalo [0, 1], com m = 10subintervalos para a função:
Métodos de Runge-Kuttasubintervalos:
Métodos de Runge-Kuttasubintervalos:
Métodos de Adams• Uma outra classe de métodos para resolver PVI chamados métodos
lineares de passo múltiplo.
• Um método de passo k pode ser escrito na forma
• e : constantes específicas de um método particular, sujeitas àscondições
• Quando k = 0, o método é dito explícito e para k 0 ele é ditoimplícito.
• Explícitos: métodos de Adams-Bashforth.
• Implícitos: métodos de Adams-Moulton.
Métodos de Adams• Os métodos de Adams são obtidos pela integração do PVI
• A função integrando f(x, y(x)) pode ser aproximada por polinômiointerpolador P(x).
• P(x) passa pelos pontos (xj, f(xj, yj))
Métodos de Adams
• Seja o polinômio de Lagrange de grau 1, que passa pelos pontos decoordenadas (x0, f0) e (x1, f1)
1 – Método de Passo dois:
• Valor de f0 = f(x0, y0) obtido a partir de y0 (condição inicial).
• Valor de y1 para f1 = f(x1, y1) tem que ser calculado utilizando ummétodo de passo simples.
Métodos de Adams
• Substituindo as expressões
• Integrando
• Fazendo
Métodos de Adams• Fazendo mudança de variável de x u e sendo
• Fórmula explícita de Adams-Bashforth de passo k = 2
Métodos de Adams• Método explícito obtido pela integração do PI no intervalo [x1, x2].
• P(x) determinado a partir dos pontos em [x0, x1].
• Esta extrapolação não produz bons resultados.
• Se polinômio for construído usando pontos no intervalo [x0, x2]consegue-se método mais exato.
• Polinômio de Lagrange de grau 2 que passa pelos pontos (x0, f0),(x1, f1) e (x2, f2)
Métodos de Adams
• Definindo uma variável auxiliar
• Substituindo na expressão de yi+1
• Fazendo mudança de variável de x u
Métodos de Adams
• Fórmula implícita de Adams-Moulton, passo k = 2
• O valor de fi+1 = f(xi+1, yi+1) é necessário para obter o próprio yi+1.
• No entanto o valor de yi+1 obtido por Adams-Bashforth pode serusado em Adams-Moulton para avaliar fi+1 e calcular um valormelhor de yi+1.
• Assim as fórmulas implícitas necessitam ser utilizadas em conjuntocom uma forma explicita fazendo um Método do tipo preditor-corretor.
Métodos de AdamsExemplo: Calcular a solução do PVI para a função a seguir, com m = 10e m = 100 subintervalos.
• Utilizar o método preditor-corretor de passo dois.
• Valores de f1 calculados por Dormand-Prince.
Métodos de Adams
Métodos de Adams2 – Método de Passo três:
• Método explícito de Adams-Bashforth de passo 3
• Obtido pela integração do polinômio de Lagrange de grau 2, nointervalo [x2, x3].
• Substituindo na expressão de yi+1
Métodos de Adams• f0 = (x0, y0) avaliada a partir da condição inicial y0, f1 e f2 obtidos
por método de passo simples.
• Fórmula explícita de Adams-Bashforth com k = 3
• Fórmula explícita obtida por extrapolação.
• Integração no intervalo [xi, xi+1];
• Polinômio construído a partir de pontos em [xi-2, xi].
• Utilizando o mesmo raciocínio anterior obtém-se o Métodoimplícito de Adams-Moulton com k = 3
Métodos de Adams3 – Adams-Bashforth-Moulton de quarta ordem:
• Um dos métodos mais populares de passo múltiplo.
• Preditor, explícito de passo k = 4
• Corretor implícito é o de passo k =3 e deve ser aplicado mais deuma vez para melhorar ainda mais o resultado.
• Os valores de f1, f2 e f3 podem ser calculados por um método depasso simples.
Métodos de AdamsExemplo: Calcular a solução do PVI para a função a seguir, no intervalo[0, 1], com m = 10 subintervalos.
1. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.
Referencias Bibliográficas
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