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Fundamentos de Matemática

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 3

10 de janeiro de 2014

Aula 3 Fundamentos de Matemática 1

Negação

Aula 3 Fundamentos de Matemática 2

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?

x < 1.

Resposta: x ≥ 1.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 3

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?

x < 1.

Resposta: x ≥ 1.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 4

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?

x < 1.

Resposta: x ≥ 1.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 5

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Qual é a negação do predicado abaixo (assumindo que x representaum número real)?

x < 1.

Resposta: x ≥ 1.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 6

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p},

então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸

conjuntouniverso

− A.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 7

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p},

então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸

conjuntouniverso

− A.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 8

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p},

então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸

conjuntouniverso

− A.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 9

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p},

então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸

conjuntouniverso

− A.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 10

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p},

então{x | x satisfaz ∼ p} = AC = U︸︷︷︸

conjuntouniverso

− A.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 11

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).

Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 12

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).

Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 13

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).

Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 14

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).

Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.

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Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∨ q) = (∼ p) ∧ (∼ q).

Exemplo: a negação de x < −δ ou x > δ é x ≥ −δ e x ≤ δ quepode ser escrita da seguinte forma compacta: −δ ≤ x ≤ δ.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 16

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).

Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 17

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).

Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 18

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).

Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 19

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).

Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 20

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (p ∧ q) = (∼ p) ∨ (∼ q).

Exemplo: a negação de −δ < x < δ (isto é, −δ < x e x < δ) éx ≤ −δ ou x ≥ δ.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 21

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (∼ p) = p.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 22

Negação

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

∼ p

(a negação do predicado p) se x não satisfaz o predicado p.Notações para a negação do predicado p: ∼ p ou ¬p.

Regras do Jogo

Fato: ∼ (∼ p) = p.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 23

Contrapositiva

Aula 3 Fundamentos de Matemática 24

Contrapositiva

Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença

∼ B ⇒∼ A.

Regras do Jogo

Exemplo: a contrapositiva da sentença (assumindo que m representaum número natural)

se m2 é um número par, então m é um número par

é a sentença

se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 25

Contrapositiva

Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença

∼ B ⇒∼ A.

Regras do Jogo

Exemplo: a contrapositiva da sentença (assumindo que m representaum número natural)

se m2 é um número par, então m é um número par

é a sentença

se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 26

Contrapositiva

Dada uma sentença A⇒ B, sua contrapositiva é a sentença

∼ B ⇒∼ A.

Regras do Jogo

Exemplo: a contrapositiva da sentença (assumindo que m representaum número natural)

se m2 é um número par, então m é um número par

é a sentença

se m é um número ímpar, então m2 é um número ímpar .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 27

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 28

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 29

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 30

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 31

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 32

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 33

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 34

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 35

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 36

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 37

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 38

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 39

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 40

Teorema

A⇒ B é verdadeira se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é verdadeira.

Demonstração.

(⇒) Suponha, por absurdo, que A⇒ B seja verdadeira, mas que ∼ B ⇒∼ A seja falsa.Então, ∼ B ⇒∼ A possui pelo menos um contraexemplo, isto é, existe um objeto x quesatisfaz ∼ B, mas não satisfaz ∼ A. Logo, x satisfaz A, mas não satisfaz B. Portanto,x é um contraexemplo para a sentença A ⇒ B. Logo, a sentença A ⇒ B é falsa, umacontradição.

(⇐) Basta usar (⇒), trocando “A⇒ B” por “∼ B ⇒∼ A” e observando que ∼ (∼ A) = Ae ∼ (∼ B) = B.

Corolário:

A⇒ B é falsa se, e somente se, sua contrapositiva ∼ B ⇒∼ A é falsa.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 41

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 42

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 43

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 44

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 45

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 46

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 47

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 48

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 49

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 50

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 51

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 52

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 53

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 54

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 55

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 56

Contrapositiva: exercício resolvido

Se m é um inteiro, mostre que a sentença abaixo é verdadeira!

Se m2 é par, então m é par.

Demonstração: basta demonstrar que a contrapositiva da sentença é verdadeira, isto é,basta demonstrar que se m é ímpar, então m2 é ímpar. Para isso, faremos umademonstração direta. Seja m um número inteiro ímpar. Então existe k ∈ Z tal quem = 2 k +1. Portanto, m2 = (2 k +1)2 = 4 k2 +4 k +1 = 2 (2 k2 +2 k)+1 é um númeroímpar.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 57

Quantificadores

Aula 3 Fundamentos de Matemática 58

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 59

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 60

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 61

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 62

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 63

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 64

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 65

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ [1,∞[, x2 ≥ x

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x ∈ [1,∞[, então x ≥ 1 ex > 0. Portanto, x · x ≥ 1 · x , isto é, x2 ≥ x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 66

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x

A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 67

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x

A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 68

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x

A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 69

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x

A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 70

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x

A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 71

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀x ∈ R, x2 ≥ −x

A sentença é falsa. Justificativa: existe x ∈ R tal que x2 < −x . Defato: se x = −1/2, então x ∈ R e x2 = 1/4 < 1/2 = −x .

Aula 3 Fundamentos de Matemática 72

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 73

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 74

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 75

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 76

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 77

Quantificador universal (∀)

Dizemos que a expressão quantificada

∀x ∈ X , q(lê-se “para todo x pertencente a X , q”)

é verdadeira se todo elemento x do conjunto X satisfaz o predicado q,isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q é verdadeira. Note que “∀x ∈ X , q”é falsa se existe pelo menos um x ∈ X que não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∀a,b ∈ R, (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a,b ∈ R, então (a + b)2 =(a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2 ab + b2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 78

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√

5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 79

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√

5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 80

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√

5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 81

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√

5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 82

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√

5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 83

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√

5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 84

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√

5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 85

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x − 1 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa: se x = (1+√

5)/2, então x ∈ Re x2 − x − 1 = 0.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 86

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0

A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 87

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0

A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 88

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0

A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 89

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0

A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 90

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0

A sentença é falsa. Justificativa: para todo x ∈ R, x2 − x + 1 =(x − 1/2)2 + 3/4 > 0.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 91

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃a,b, c ∈ N | a2 = b2 + c2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 92

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃a,b, c ∈ N | a2 = b2 + c2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 93

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃a,b, c ∈ N | a2 = b2 + c2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 94

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃a,b, c ∈ N | a2 = b2 + c2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 95

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃a,b, c ∈ N | a2 = b2 + c2

A sentença é verdadeira. Justificativa: se a = 5, b = 3 e c = 4, entãoa2 = 25 = 9 + 16 = b2 + c2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 96

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn

A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).

Aula 3 Fundamentos de Matemática 97

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn

A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).

Aula 3 Fundamentos de Matemática 98

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn

A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).

Aula 3 Fundamentos de Matemática 99

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn

A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).

Aula 3 Fundamentos de Matemática 100

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn

A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).

Aula 3 Fundamentos de Matemática 101

Quantificador existencial (∃)

Dizemos que a expressão quantificada

∃x ∈ X | q(lê-se “existe x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe pelo menos um elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui pelomenos um exemplo. Note que “∃x ∈ X | q” é falsa se todo elementox ∈ X não satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Exemplo:∃n,a,b, c ∈ N | n > 2 e an = bn + cn

A sentença é falsa. Justificativa: difícil (ler a respeito do ÚltimoTeorema de Fermat).

Aula 3 Fundamentos de Matemática 102

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Dizemos que a expressão quantificada

∃!x ∈ X | q(lê-se “existe um único x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe um único elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui umúnico exemplo. Note que “∃!x ∈ X | q” é falsa se existe mais de umelemento x ∈ X que satisfaz o predicado q ou se todo elemento x ∈ Xnão satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Aula 3 Fundamentos de Matemática 103

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Dizemos que a expressão quantificada

∃!x ∈ X | q(lê-se “existe um único x pertencente a X tal que q”)

é verdadeira se existe um único elemento x do conjunto X quesatisfaz o predicado q, isto é, se a sentença x ∈ X ⇒ q possui umúnico exemplo. Note que “∃!x ∈ X | q” é falsa se existe mais de umelemento x ∈ X que satisfaz o predicado q ou se todo elemento x ∈ Xnão satisfaz o predicado q.

Regras do Jogo

Aula 3 Fundamentos de Matemática 104

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 105

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 106

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 107

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 108

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 109

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 110

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 111

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 112

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 113

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 114

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | 2 x − 4 = 0

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈ R e 2 x − 4 = 2 (2)− 4 = 4− 4 = 0.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈ R tais que 2 x1−4 = 0 e 2 x2−4 = 0. Logo2 x1 − 4 = 2 x2 − 4. Portanto, 2 x1 = 2 x2. Assim, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 115

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 116

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 117

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 118

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 119

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 120

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 121

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 122

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 123

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 124

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 125

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 126

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 127

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 4

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Se x = 2, então x ∈]0,+∞[ e x2 = (2)2 = 4.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 4 e x22 = 4. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 128

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | x2 = 4

A sentença é falsa. Justificativa: se x1 = −2 e x2 = 2, então x1 ∈ R,x2 ∈ R, x2

1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 129

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | x2 = 4

A sentença é falsa. Justificativa: se x1 = −2 e x2 = 2, então x1 ∈ R,x2 ∈ R, x2

1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 130

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | x2 = 4

A sentença é falsa. Justificativa: se x1 = −2 e x2 = 2, então x1 ∈ R,x2 ∈ R, x2

1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 131

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈ R | x2 = 4

A sentença é falsa. Justificativa: se x1 = −2 e x2 = 2, então x1 ∈ R,x2 ∈ R, x2

1 = 4, x22 = 4 e x1 6= x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 132

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 133

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 134

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 135

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 136

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 137

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 138

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 139

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 140

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 141

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 142

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 143

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 144

Quantificador existencial de unicidade (∃!)

Exemplo:∃!x ∈]0,∞[ | x2 = 2

A sentença é verdadeira. Justificativa:

(Existência) Difícil: para justificar a existência é necessário estudarprimeiro o conceito de continuidade de funções reais.(Unicidade) Sejam x1, x2 ∈]0,+∞[ tais que x2

1 = 2 e x22 = 2. Logo

x21 = x2

2 e x1 + x2 6= 0. Portanto, x21 − x2

2 = 0 e x1 + x2 6= 0. Assim,(x1 − x2)(x1 + x2) = 0 e x1 + x2 6= 0. Desta maneira, x1 − x2 = 0, istoé, x1 = x2.

Aula 3 Fundamentos de Matemática 145

Cuidado: ordem dos quantificadores

∀a ∈ R,∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)

∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)

Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!

Aula 3 Fundamentos de Matemática 146

Cuidado: ordem dos quantificadores

∀a ∈ R,∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)

∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)

Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!

Aula 3 Fundamentos de Matemática 147

Cuidado: ordem dos quantificadores

∀a ∈ R,∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)

∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)

Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!

Aula 3 Fundamentos de Matemática 148

Cuidado: ordem dos quantificadores

∀a ∈ R,∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)

∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)

Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!

Aula 3 Fundamentos de Matemática 149

Cuidado: ordem dos quantificadores

∀a ∈ R,∃b ∈ R | b > a(Verdadeira)

∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a(Falsa)

Moral: cuidado com a ordem dos quantificadores!

Aula 3 Fundamentos de Matemática 150

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 151

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 152

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 153

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 154

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 155

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 156

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 157

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 158

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 159

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 160

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 161

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 162

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 163

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 164

Negação dos quantificadores

∼ (∀x ∈ X , p) = (∃x ∈ X | ∼ p)

∼ (∃x ∈ X | p) = (@x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p)

∼ (∃!x ∈ X | p) = (∀x ∈ X , ∼ p) ∨ (∃x ∈ X | (p ∧ (∃y ∈ X | p ∧ (x 6= y))))

Negação dos Quantificadores

Exemplos:

∼ (∀x ∈ R, x2 ≥ −x) = ∃x ∈ R | x2 < −x

∼ (∃x ∈ R | x2 − x + 1 = 0) = ∀x ∈ R, x2 − x + 1 6= 0

∼ (∃b ∈ R | ∀a ∈ R,b > a) = ∀b ∈ R, ∃a ∈ R | b ≤ a

Aula 3 Fundamentos de Matemática 165

Negação de uma implicação

∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)

Negação de Uma Implicação

Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]

Aula 3 Fundamentos de Matemática 166

Negação de uma implicação

∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)

Negação de Uma Implicação

Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]

Aula 3 Fundamentos de Matemática 167

Negação de uma implicação

∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)

Negação de Uma Implicação

Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]

Aula 3 Fundamentos de Matemática 168

Negação de uma implicação

∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)

Negação de Uma Implicação

Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]

Aula 3 Fundamentos de Matemática 169

Negação de uma implicação

∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)

Negação de Uma Implicação

Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]

Aula 3 Fundamentos de Matemática 170

Negação de uma implicação

∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)

Negação de Uma Implicação

Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]

Aula 3 Fundamentos de Matemática 171

Negação de uma implicação

∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)

Negação de Uma Implicação

Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]

Aula 3 Fundamentos de Matemática 172

Negação de uma implicação

∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)

Negação de Uma Implicação

Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]

Aula 3 Fundamentos de Matemática 173

Negação de uma implicação

∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)

Negação de Uma Implicação

Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]

Aula 3 Fundamentos de Matemática 174

Negação de uma implicação

∼ (p ⇒ q) = ∃x | (p ∧ ∼ q)

Negação de Uma Implicação

Exemplos:

∼ (x ∈ R⇒ x2 ≥ −x) = ∃x | (x ∈ R ∧ x2 < −x)

∼ (1/x < 1⇒ x > 1) = ∃x | (1/x < 1 ∧ x ≤ 1)

∼ (4 ≤ x2 ≤ 9⇒ 2 ≤ x ≤ 3) = ∃x | [4 ≤ x2 ≤ 9 ∧ (x < 2 ∨ x > 3)]

Aula 3 Fundamentos de Matemática 175

Seção de Exercícios

Aula 3 Fundamentos de Matemática 176