Gráficos e regressão linear

GRÁFICOS E MODELAGEM MATEMÁTICA

ANALISANDO DADOS EXPERIMENTAIS

PROF. MARTINHO

Gráfico?

Experimentos Medidas Dados

Visualização da relação entre os dados

Tabelas Gráficos Funções

Experimento

Fenômeno Real

Fenômeno Representado em Laboratório

Instrumentos/ equipamentos para medir as

grandezas

Possíveis Grandezas envolvidas no

fenômenoDados

Experimentais

Analisar Dados Experimentais

Visualização dos Dados

Eu sou a mosca....

Drosophila melanogaster

Visualização dos dados experimentais

Tabela de dados

Apresenta os resultados das medidas das grandezas envolvidas no processo em intervalos estipulados pelo experimentador.

Tabela 1 - Mortalidade de Drosophila melanogaster expostasao inseticida carbofuran.Concentração Mortalidade (%)* Desvio padrão(mg.mL-1)2,50 04 1,73,75 39 2,35,00 57 1,86,25 83 1,87,50 94 2.6

Gráfico

Visualização dos dados experimentais em forma de “desenho”, o qual representa a relação direta ou inversa entre os mesmos.

Construção do Gráfico

Plano de Referência: Cartesiano

Bidimensional Percentual

ConcentraçãoRelaciona 2 grandezas

Tridimensional

Relaciona 3 grandezas envolvidas no processo

Percentual

Concentração

Temperatura

Escalas - Linear

L – comprimento do eixo

∆G – Valor máximo – Valor mínimo (experimental)

Fator de Escala (f)

Fator de escala - cada unidade de comprimento passará a corresponder a um dado valor da grandeza pertencente à tabela de dados.

Tabela 1 - Mortalidade de Drosophila melanogaster expostas ao inseticida carbofuran.

Concentração Mortalidade (%)* X Y2,50 04 3,75 39 5,00 57 6,25 83 7,50 94

mmg/cm 625,08

00,5f

Gf

x

xx

xL

Lx = 8cm Ly = 5cm

∆Gx = 7,50 – 2,50 = 5,00∆Gy = 94 – 4 = 90

Qual o valor do fator de escala?

cmf

Lf

y

yy

/%185

90

G y

P.S.: é aconselhável, para facilitar as contas, utilizar-se sempre um fator de escala arredondado múltiplo de 2 ou 5 (sempre para mais). Caso f seja menor do que 1 deixá-lo com apenas um algarismo significativo. Por exemplo: f = 0,59444 deve-se usar 0,6.

fx = 1,00 mg/cm fy = 20 %/cm

Mortalidade de Drosophila melanogaster expostas ao inseticida carbofuran

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00

% de mortalidade

C(mg/mL)

Qual a melhor função que representa a relação entre as grandezas?

Análise Gráfica

Descobrir a dependência funcional entre as variáveis plotadas nos eixos; isto é, achar a fórmula matemática que descreva a sua inter-relação.

• Permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege um fenômeno;• O conhecimento dessas leis é muito importante para a elaboração de modelos teóricos que expliquem o fenômeno.

Relação Linear

Obedece a função: y = ax + b

O gráfico será uma reta:

Percentual

Concentração

Percentual

Concentração

Relação direta Relação inversa

Como determinar a melhor função?

Método?

Método da Regressão Linear

Serve para obtermos a reta que melhor relaciona os dados experimentais.

Consiste em minimizar os desvios (dispersões) em torno da reta média.

Como fazer então?

y = ax +b

Quem é o y?

Quem é o x?

Percentual

Concentraçãopercentual

concentração

Quem é o a? Relação entre percentual e a concentração: % de mortalidade/mmg de toxina

Quem é o b?Representa o Percentual de mortalidade quando a concentração é igual a zero.

Como calcular a e b?

Tabela 1 - Mortalidade de Drosophila melanogaster expostas ao inseticida carbofuran. Concentração Mortalidade (%)*

X Y2,50 04 3,75 39 5,00 57 6,25 83 7,50 94

Somatório de x = 25,00 Somatório de y = 277

00,25 ix 277iy

Em linguagem matemática trocamos a palavra somatório pelo símbolo:

1º Passo n (número de dados) = 5

2ºpasso

xi . yi xi2

10,00 6,25

146,25 14,06

285,00 25,00

518,75 39,06

705,00 56,25

00,1665. ii yx 63,1402ix

Tabela 1 - Mortalidade de Drosophila melanogaster expostas ao inseticida carbofuran. Concentração Mortalidade (%)*

X Y2,50 04 3,75 39 5,00 57 6,25 83 7,50 94

Problema de junta......

n = 5 número de dados

00,25 ix 277iy

00,1665. ii yx 63,1402ix

22 )x(xn

)y)(x(yxna

ii

iiii

Finalmente calculando a e b:

22

2

)(

))(())((

ii

iiiii

xxn

xyxxyb

22 )x(xn

)y)(x(yxna

ii

iiii

22

2

)(

))(())((

ii

iiiii

xxn

xyxxyb

mmga

a

a

a

/%91,17

15,78

1400

62515,703

69258325

)25(63,140.5

277 . 251665 . 52

%17,34

15,78

49,2670

62515,703

4162551,38954

)25(63,140.5

25 . 1665140,63 . 2772

b

b

b

b

Finalmente a equação da Reta:

Y = 17,91.x - 34,17, onde:

y porcentagem de mortalidade

x concentração da toxina

E o gráfico.......

Mortalidade de Drosophila melanogaster expostas ao inseticida carbofuran

y = 17,91x - 34,17

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00

% de mortalidade

C(mg/mL)

Finalmente a Melhor Reta com respectiva Função

Vamos treinar....

A tabela abaixo relaciona os valores mais comuns de altura de árvores e o diâmetro médio.

Altura (m) Diâmetro (mm)

1,5 3,0

3,0 8,0

9,0 40,0

18,0 120,0

36,0 350,0

72,0 1000,0

144,0 2800,0

288,0 8000,0

a) Identifique pictoricamente a escala e os pontos da tabela em escala linear.

b) Identifique escrevendo a função linear que representa a relação entre os dados experimentais.

c) A partir da função no item b, desenhe a reta.

Resolvendo

Altura (m) Diâmetro (mm)

1,5 3,0

3,0 8,0

9,0 40,0

18,0 120,0

36,0 350,0

72,0 1000,0

144,0 2800,0

288,0 8000,0 mm 429,11427

0,7997f

Gf

x

yy

yL

a) Construindo a escala:

∆H = 288,0 -1,5 = 286,5m

∆D = 8000,0 -3,0 = 7997,0mm

X Y

Fator de escala em X e Y:

m65,2810

5,286f

Gf

x

xx

xL

1200,0 mm

30,0 m

X Y0,05 0,000,10 0,010,30 0,030,60 0,101,20 0,292,40 0,834,80 2,33

Localização dos pontos no Gráfico

Altura (m) Diâmetro (mm)

1,5 3,0

3,0 8,0

9,0 40,0

18,0 120,0

36,0 350,0

72,0 1000,0

144,0 2800,0

288,0 8000,0

X Y

Qual a melhor curva que representa a relação entre os pontos?

Vamos tentar a regressão linear .....

Diâmetro de árvore X altura

0

1200

2400

3600

4800

6000

7200

8400

0,0 30,0 60,0 90,0 120,0 150,0 180,0 210,0 240,0 270,0 300,0 330,0

Altura (m)

Diâ

met

ro (

mm

)

Aplicando o método da regressão Linear

X Y X.Y X2 NÚMERO

DE PARES

DE DADOS

(n)

a( coefiente da equação da

reta)

B(coeficiente da reta)

Y Teórico

1,5 3 4,5 2,3 8 27,443366 -420,360461 -379,1953,0 8 24 9,0 -338,039,0 40 360 81,0 -173,37

18,0 120 2160 324,0 73,6201336,0 350 12600 1296,0 567,600772,0 1000 72000 5184,0 1555,562

144,0 2800 403200 20736,0 3531,484288,0 8000 2304000 82944,0 7483,329

x y x.y x2

110576,3571,5 12321 2794348,5

Diâmetro de árvore X altura

y = 27,443x - 420,36

0

1200

2400

3600

4800

6000

7200

8400

0,0 30,0 60,0 90,0 120,0

150,0

180,0

210,0

240,0

270,0

300,0

330,0

Altura (m)

Diâ

met

ro (

mm

)

Será a reta a melhor representação?

Precisamos de outro parâmetro......

Função Potencial

Y = a.xn

n>0 n<0

X Y X.Y X2 NÚMERO

DE PARES

DE DADOS

(n)

a( coefiente da equação da

reta)

B(coeficiente da reta)

Y Teórico Linear

Y Teórico Polinomial

1,5 3 4,5 2,3 8 27,443366 -420,360461 -379,195 2,853773,0 8 24 9,0 -338,03 8,1216289,0 40 360 81,0 -173,37 42,61587

18,0 120 2160 324,0 73,62013 121,281836,0 350 12600 1296,0 567,6007 345,159472,0 1000 72000 5184,0 1555,562 982,2993

144,0 2800 403200 20736,0 3531,484 2795,555288,0 8000 2304000 82944,0 7483,329 7955,952

x y x.y x2

110576,3571,5 12321 2794348,5

Diâmetro de árvore X altura

y = 1,5478x1,5089

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0,0 30,0 60,0 90,0 120,0 150,0 180,0 210,0 240,0 270,0 300,0 330,0

Altura (m)

Diâ

me

tro

(m

m)

y = 1,5478.x1,5089

Diâmetro de árvore X altura

y = 1,5478x1,5089

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

0,0 30,0 60,0 90,0 120,0 150,0 180,0 210,0 240,0 270,0 300,0 330,0

Altura (m)

Diâ

me

tro

(m

m)

Coeficiente de correlação quadrático

CC – varia entre 0 e 1

Quando =1 o ajuste da curva é perfeito

Quando = 0 – horrível ajuste

2

22 )(.)(

)).((

yyxx

yyxxCC

Para os modelos utilizados:

Regressão Linear:

2

22 )(.)(

)).((

yyxx

yyxxCC

2

22 )(.)(

)).((

yyxx

yyxxCC CC=0,973

Função Potencial: CC = 0,999

Melhor aproximação

Fazendo média....

mx 4,718

0,2880,1440,720,360,180,90,35,1

dados de número -n

dados dos média - x

msx 82,9918

)4,71.(83,110576 2

n

xx i

Média Aritmética:

n

yy i

mmy 125,15408

8000280010003501204083

Desvio Padrão (s)

1

22

n

xnxs

mmsy 5,277718

)125,1540.(872978573 2