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EletromagnetismoIIProf.DanielOrquizadeCarvalhoEl
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SJBV
• Equações de Maxwell
• Relações constitutivas
• Condições de Contorno
• Equivalência entre Eqs de Maxwell e Eq. de Onda para campos EM
Eletromagnetismo II – Campos Variáveis no Tempo
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1
Equações de Maxwell e Equação de Onda (Capítulo 9 – Páginas 288 a 292) (Capítulo 11 – Páginas 267 a 272)
SJBV
Equações de Maxwell
Eletromagnetismo II – Campos Variáveis no Tempo
• Juntando a L.F., L.A., e as Leis de Gauss Elétrica e Magnética, temos as 4 equações
de Maxwell, no domínio do tempo:
• Estas equações em seu conjunto “regem” dois tipos de fenômenos:
∇×!E= -∂
!B∂t
(Lei de Faraday)
∇×!H= !J+∂!D∂t
(Lei de Ampère)
∇⋅!D= ρv
∇⋅!B= 0
(Lei de Gauss Elétrica)
(Lei de Gauss Magnética)
(1)
(2)
(3)
(4)
o Os campos gerados por cargas (paradas e em movimento), e portanto a força que
estas cargas exercem umas sobre as outras.
o A radiação eletromagnética (ondas de radio, microondas, luz, Raios X, etc...).
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Equações de Maxwell
Eletromagnetismo II – Campos Variáveis no Tempo
• Antes de prosseguir, é importante mencionar alguns fatos:
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o As equações constitutivas (relacionando D e E ou B e H) ainda são válidas.
o Os dipolos continuam interagindo com os campos instantaneamente. Para
campos com variação senoidal os dipolos oscilam na mesma freq. dos campos.
o As condições de contorno na interface entre os diferentes meios que vimos não
são modificadas (também são satisfeitas instantaneamente).
o Os vetores polarização e magnetização são dependentes do tempo M(t) e P(t)
o As forças entre cargas e correntes podem ser calculadas usando os campos e vão
ter seus valores instantâneos associados a estes.
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Equações de Maxwell e Equação de Onda
Eletromagnetismo II – Campos Variáveis no Tempo
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• A L.F. e a L.A. em conjunto são equivalentes a uma equação de onda para os
campos.
∇×!E= -∂
!B∂t
• As soluções matemática de uma equação de onda são ondas propagantes ou
estacionárias.
• Para derivar a Eq. de Onda das duas leis, começamos tomando o rotacional dos dois
lados da Lei de Faraday:
⇒ ∇× ∇×!E( )= -
∂ ∇×!B( )
∂t• Onde o operador rotacional foi aplicado diretamente sobre B do lado direito.
• Se considerarmos um meio sem cargas ou correntes, a L.A. pode ser reescrita na forma:
∇×!H= !J+∂!D∂t
⇒ ∇×!B= µ ∂
!D∂t
= µε∂!E∂t
(5)
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Equações de Maxwell e Equação de Onda
Eletromagnetismo II – Campos Variáveis no Tempo
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• Onde assumiu-se que o meio é homogêneo em termos de µ e ε.
• Substituindo no lado direito de (5) resulta em:
• Podemos aplicar a seguinte identidade vetorial no lado esquerdo da Eq. acima:
• A equação resultante é:
∇×!B
∇× ∇×!E( )= -µε ∂
2!E
∂t2
∇× ∇×!A( ) =∇ ∇⋅
!A( )−∇2
!A
∇ ∇⋅!E( )−∇2
!E= -µε ∂
2!E
∂t2 (6)
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Equações de Maxwell e Equação de Onda
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• No entanto, para meio sem densidade de carga, a L.G.E. implica:
• Substituindo este resultado na Eq. (6), temos:
• Note que das duas primeiras equações de Maxwell, chegamos em uma equação em
função de E somente.
∇⋅!D = ε∇⋅
!E = 0 ⇔ ∇⋅
!E = 0
∇2!E -µε ∂
2!E
∂t2 = 0
• Além disso a Eq. envolve derivadas duplas no tempo e no espaço.
• Esta equação é a forma vetorial da Eq. de Onda, cujas soluções gerais são ondas
(propagantes ou estacionárias).
(7)
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Equações de Maxwell e Equação de Onda
Eletromagnetismo II – Campos Variáveis no Tempo
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• A forma geral da equação que descreve uma onda se propagando com velocidade de
fase ‘v’ é:
• Caso a onda se propague no espaço livre, µ = µ0 e ε = ε0. A veloc. da luz no espaço
livre é:
∇2!E - 1
v2∂2!E
∂t2 = 0 (8)
• Comparando (7) e (8) vemos que a velocidade da onda (Eletromagnética) num meio
depende dos parâmetros constitutivos do meio da seguinte forma:
v = 1µε
c = 1µ0ε0
= 2,9979×108 m / s
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Equação de Onda
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• A equação de onda (7) vetorial corresponde a três equações escalares (1 por
componente):
∂2E x
∂x2+∂2E x
∂y2+∂
2E x
∂z2 - µε ∂
2E x
∂t2= 0,
∂2E y
∂x2+∂2E y
∂y2+∂2E y
∂z2 - µε
∂2E y
∂t2= 0 e
∂2E z
∂x2+∂2E z
∂y2+∂
2E z
∂z2 - µε ∂
2E z
∂t2= 0.
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Equação de Onda
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• Estas equações podem representar ondas se propagando em direções arbitrárias no
espaço.
• Alguns anos após os trabalhos teóricos de Maxwell, Hertz gerou e detectou radiação
eletromagnética usando antenas rudimentares.
• Veremos que se a onda se propaga em uma direção somente (por exemplo, a do eixo
‘z’) elas são simplificadas bastante.
• Radiação EM compreende ondas com frequências desde raios gama até ondas de
radio, passando pelo visível.
• Ondas EM em diferentes frequências interagem com a matéria de formas diferentes.
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Espectro Eletromagnético
Prédio Humanos Abelha Ponta de Alfinete
Protozoários Moléculas Átomo Núcleo
103 10-2 10-5 0,5x10-6 10-8 10-10 10-12
Comprimento de onda (metros)
Tamanho aprox.
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Equação de Onda
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• A equação de onda será usada par descrever o comportamento dos modos em guias
de onda e linhas de transmissão (Ondas e Linhas).
• Ela também será a base para a descrição das ondas esféricas geradas por antenas.
• Os modos são superposições de onda planas.
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