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Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos
Esfera e cubo
Esfera e cilindro
Esfera e cone reto
Cilindro e cone reto
Introdução
� Nosso último estudo em Geometria serádestinado aos sólidos inscritos e circunscritos.
� Existem numerosas relações entre dois sólido quando construímos um deles dentro do outro.
� São algumas dessas relações que estudaremos a partir de agora.
Esfera e cubo
� Considere uma esfera cujo o raio mede R inscrita em um cubo cujas arestas têm medida a.
� Existe uma relação entre as medidas das arestas do cubo e do raio da esfera.
� Como a superfície esférica intersecta o cubo em seis pontos, localizados nos centros das faces, temos três pares de pontos diametralmente opostos.
� Assim, a medida de cada aresta do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera.
Ra .2=
Esfera e cubo
� Considere um cubo cujas arestas medem A, inscrito em uma esfera cujo o raio tem medida R:
� Observe que os vértices do cubo pertencem à superfície esférica.
� Assim, a medida da diagonal do cubo é igual ao dobro da medida do raio da esfera.
RDcubo .2=
Ra .23. =
Esfera e cuboPara você fazer – p. 34
1) Uma esfera está inscrita em um cubo cujo o volume é igual a 64 dm³. Calcule o volume da esfera.
4dma64dma que temos cubo, do arestas das medida a a"" Sendo 3
=
→=
32.
3
4
π
π
34 V
:então, Vigual é volume seu e dm, 2 R portanto, 2.R, a é esfera da raio do medida a Assim,
esfera
3esfera
=
=
==
R
3
3
32dm
π=esferaV
Esfera e cuboPara você fazer – p. 34
2) Uma esfera, cuja área da superfície mede 192πcm², circunscreve um cubo. Calcule o volume desse cubo.
cmR 34192 =→= ππ 2.R4 que temos esfera, da raio do medida a R Sendo8cma34.23a temos cubo, do arestas das medida a a"" Sendo =→=
3512cm=38 a igual é cubo do volume o Assim,
Esfera e cilindro
� Considere uma esfera cujo raio mede R inscrita em um cilindro reto.
� Como a superfície intersecta as bases do cilindro nos seus centros, e o círculo máximo da esfera écongruente às bases do cilindro, então as medidas do raio e da altura do cilindro são iguais, respectivamente, a R e 2R, ou seja o cilindro éequilátero.
Esfera e cilindro
� Nesse caso como podemos estabelecer uma relação entre as medidas do raio da esfera, do raio do cilindro e da altura do cilindro?
� Observe a figura a seguir:
� No triângulo retângulo, de catetos medindo h e 2r, onde h e r são as medidas da altura e do raio do cilindro, e da hipotenusa medindo 2R, podemos escrever:
( ) ( ) 222
2 hr +=2R
22244 hrR +=
2Rh
2r
Esfera e cilindroPara você fazer – p. 35
1) Uma esfera está inscrita em um cilindro cuja altura mede 10cm. Calcule o volume compreendido entre o cilindro e a esfera.
Resposta:
� Se a altura do cilindro mede 10cm, então o raio da base desse cilindro e o raio da esfera medem 5 cm.
� Assim, o volume compreendido entre o cilindro e a esfera éigual a
3
5002505..
3
410.5.
32 ππππ −=−
− cilindroesfera VV3
3
250cmVt
π=
Esfera e cilindroPara você fazer – p. 35
2) Em uma esfera, está inscrita um cilindro reto cuja altura mede 20 cm e cujo raio da base mede 8cm. Calcule a área da superfície dessa esfera.
( ) ( ).412
1642564004162022222
cmR
RR
2R que temos figura, Na
=→
=→+=→+=
( ) 22
656412 cm .4 a igual é esfera da superfície da área A ππ =
Esfera e cone reto
� Da mesma forma como o cubo e o cilindro, em uma cone também é possível inscrever ou circunscrever uma esfera.
� Vamos, inicialmente, considerar uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio R e altura h.
� Sendo g a medida da geratriz do cone, podemos, por meio de uma semelhança de triângulos, estabelecer a seguinte proporção
g
rh
R
r −=
Esfera e cone reto
� Se o cone for equilátero, não há necessidade de utilizar a proporção anterior.
� Basta lembrar que a medida do raio da esfera é igual 1/3 da medida da altura do cone, ou seja, h = 3r
� Assim, por meio do Teorema de Pitágoras, temos:
( ) ( )
22
222
222
93
94
32
rR
rRR
rRR
=→
+=→
+=
3rR=
Esfera e cone reto
� Agora, considere uma esfera de raio R, circunscrevendo um cone de raio r e altura h.
:escrever podemos destaque, em retângulo triângulo No
( )22 rhr −+=2R
Esfera e cone reto
� Existem outras relações entre as medidas do raio da esfera da base do cone, da altura e da geratriz do cone.
� Porém, não existe necessidade de conhecê-las, pois, por meio da relação anterior, podemos obter quaisquer outras medidas.
� Se o cone é equilátero, a media do raio é igual a 2/3 da medida da altura do cone, ou seja, h = 3R/2.
� Logo, por meio do Teorema de Pitágoras, temos:
( )
4
3
4
93
4
94
2
3
2
2
2
2
2
22
2
2
Rr
Rr
Rrr
Rr
=
=
+=
+=22r
2
3Rr =
Esfera e cone retoPara você fazer – p. 36
1) Uma esfera está inscrita em um cone reto cuja altura mede 8cm e cujo raio da base mede 6cm. Calcule o volume dessa esfera.
10cmg86g que temos cone, do geratriz da medida a g Sendo 222 =→+=
3cmR6R4810R10R8
6R
:que ,triângulos desemelhança uma de meio por temos, esfera, da raio do medida a R Sendo
=→−=→−
=
33 cm 36334 a igual é esfera da volume o Assim, ππ =..
Esfera e cone retoPara você fazer – p. 36
2) Em um cone equilátero, cujo volume é igual 72π√3 cm³, inscreve-se uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera.
raio. domedia da dobro ao igual é geratriz da medida a ,equilátero cone um Em
( ) 3222
RhhR =→+=2R:que temos cone, do altura da medida a h sendo Assim,
cmRRRR
cm
62163...3
1 32
3
=→=→= ππ
π
372:temos ,372 a igual é cone do volume o Como
32 medeesfera da raio o cone, do altura da medida da parte terça a igual é esfera da
raio do medida a como e, cm 36 é cone do altura da medida a Assim,
( ) 32
48 cmππ =32.4 a igual é esférica superfície da área A
Esfera e cone retoPara você fazer – p. 36
3) Um cone equilátero está inscrito em uma esfera cujo volume mede 288π m³. Calcule a área lateral desse cone.
cmRRR 6216288..33 =→=→= ππ3
4 temos esfera, da raio do medida a R Sendo
mhhh 93
26 =→=→= 3
2R temos cone, do altura da medida a h Sendo( )
( ) mrrr
hR
332792222
222
=→=→+=
+=
2.62R então ,equilátero cone base da raio do medida a r Sendo
25436.33. m .r.g a igual é cone do lateral área a Assim, πππ ==
Cilindro e cone retos
� Considere um cilindro de altura h e raio da base R.
� Inscrevendo-se nele um cone reto, temos a seguinte figura:
� Note que o vértice do cone coincide com o centro de uma das bases do cilindro, e a base do cone coincide com a outra base do cilindro.
� Assim, os raios das bases do cone e do cilindro são, evidentemente, congruentes, da mesma forma que as medidas das alturas.
Cilindro e cone retos
� Observe um cilindro reto, com raio da base r e altura h, inscrito em um cone reto de raio da base R e altura H.
Cilindro e cone retos
H
G
g
G - g
R
r
r R - r
H -h
h h
Cilindro e cone retos
� Pela semelhança existente entre três triângulos da figura, podemos escrever as seguintes proporções:
G
g
H
rH=
−=R
rtemos I, e II Tomando
I
II
III
gG
g
h
rH
−=
−=r-R
rtemos III, e II Tomando
G
gG
H
h −==R
r-Rtemos I, e III Tomando
Cilindro e cone retosPara você fazer – p. 37
� Se um cilindro cuja altura mede 10cm está inscrito em cone reto cuja geratriz mede 25 e com raio da base medindo 20 cm, calcule o volume desse cilindro.
hR ..2π=cilindroV
:temos volume, o calcular Para
cmhh 152022 =→+=225
:que temos cone, do altura da medida a h Sendo
cmrH
rH
3
20
15
1015=→
−=→
−= 20
rRr
:podemos triângulo, de semelhança uma de meio Por
9
400010.
3
20...
2
2 πππ =
== hRcilindroV
:temos volume, o Assim3
9
4000cm
π=cilindroV
Resolução de Atividades
� Página 37 e 38
� Nota livre - Vestibulares
Parabéns, chegamos ao fim da Geometria
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