Introdução à trigonometria

Trigonometria

“Todos nós sabemos que a Ciência moderna é, na sua estrutura racionalista, um produto do génio grego. Todavia, nós devemos pensar que se, há cinco mil anos, o Homem não tivesse necessidade de talhar e medir terrenos nas margens do Nilo, talvez os filósofos gregos não tivessem matéria para as suas magníficas especulações”.

José Sebastião e Silva

Curiosidades

A palavra TRIGONOMETRIA surge da composição de três termos gregos e significa « medida de triângulos » .

tri - três gono - ângulo metria - medida

A TRIGONOMETRIA estuda as relações entre as medidas dos ângulos e

as medidas dos lados ( elementos ) de um triângulo.

(Ângulo) GONO

(Medida) METRIA

(Três)

TRI

Notas históricas

O mais famoso astrónomo grego da Antiguidade foi Hiparco, nascido cerca de 160 anos a. C.

Pode-se dizer que foi o Pai da Trigonometria. Nos seus estudos, que envolviam

ângulos e relações trigonométricas teve necessidade de elaborar tabelas,

que foram as primeiras tabelas trigonométricas conhecidas.

Aristarco de Samos determinou as distâncias relativas da Terra ao Sol e da Terra à Lua. Eratóstenes de Cirene obteve a medida do raio da Terra.

Heron de Alexandria é conhecido na história da matemática, sobretudo pela fórmula do cálculo da área de um triângulo. Mostrou através do cálculo de ângulos, como cavar um túnel numa montanha (túnel de Samos) começando ao mesmo tempo de ambos os lados, de modo a se encontrarem no meio.

No séc. XV, o astrónomo prussiano Johann Müller sistematizou os conhecimentos trigonométricos até então conhecidos.

No séc. XVI, Viète introduziu novos teoremas que permitiram relacionar lados e ângulos de triângulos não rectângulos.

E muitos outros deram o seu contributo para o aprofundamento da Trigonometria.

A trigonometria começou como uma área da Matemática eminentemente prática, para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente.

A trigonometria serviu para resolver problemas de astronomia, ajudando a

prever eclipses, a estimar equinócios e a estabelecer calendários.

A trigonometria atualmente têm importância prática na navegação, topografia e

movimento harmónico simples em física.

A trigonometria serviu e continua a servir para resolver problemas em várias áreas da ciência, nomeadamente: engenharia, astronomia, aeronáutica e medicina.

Quais as aplicações da Trigonometria?

Semelhança de Triângulos

• Critério de semelhança : AAA

Dois triângulos são semelhantes se têm, de um para o outro, dois ângulos iguais (logo os três).

• Critério de semelhança : LAL Dois triângulos são semelhantes se têm, de um para o outro, dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual.

• Critério de semelhança : LLL Dois triângulos são semelhantes se têm, de um para o outro, os três lados proporcionais.

Razões trigonométricas num triângulo retângulo

• Observe a figura.

Os triângulos [ADA’] , [BDB’] e [CDC’] são retângulos e

semelhantes (critério AAA).

• Como em triângulos semelhantes a ângulos iguais

opõem-se lados de comprimentos proporcionais, temos:

Ou seja, é constante a razão entre o comprimento do cateto oposto e o do cateto adjacente a a .

A essa razão constante chama-se seno de a e escreve-se sena ou sina .

Assim,

DC

CC

DB

BB

DA

AA '''

aa

senhipotenusa

aopostocateto

Razões trigonométricas num triângulo retângulo (cont.)

• A esta razão constante chama-se cosseno de a e escreve-se cos a

Assim,

• A esta razão constante chama-se tangente de a e escreve-se tga ou tana

Assim,

Podemos agora concluir que qualquer uma das razões trigonométricas de um ângulo apenas depende do valor do ângulo e não das dimensões do triângulo retângulo.

DC

DC

DB

DB

DA

DA '''

'

'

'

'

'

'

DC

CC

DB

BB

DA

AA

aa

coshipotenusa

aadjacentecateto

aa

atg

aadjacentecateto

aopostocateto

Como medir os ângulos?

Alguns instrumentos com que se medem os ângulos

• As medições de ângulos em engenharia e em topografia

faz-se hoje com grande rigor usando aparelhos aperfeiçoados – os teodolitos.

Mas nem sempre foi assim.

• Os nossos navegadores na época dos Descobrimentos usaram principalmente o grafómetro, o astrolábio e o quadrante.

• Também a navegação marítima usa o sextante

astrolábio quadrante

Relações entre o seno, o cosseno e a tangente de um mesmo ângulo

•

•

Fórmula Fundamental da Trigonometria

.cos

sen Então,

a

o

h

ah

o

cos

sen

:se- tem,cos por sen Dividindo

h

acos

h

osenComo

aa

a

aa

a

aa

aa

tg

tg

e

1cossen1h

o

h

a1

o

h

a

h

h

h

oa

:se-tem,hpor membros os ambos Dividindo

hoa

:Pitágoras de teoremaoaplicar podemos ,rectângulo é triânguloo Como

22

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

222

aah

Tabela Trigonométrica Calculadora

Com as tabelas trigonométricas podemos resolver dois problemas

Sendo β a amplitude de um ângulo agudo obter valores aproximados das suas razões trigonométricas.

Calcula: º27 sen º23 cos º55 tg

Dado um valor de sen β, cos β ou tg β Determinar um valor aproximado de β

Determina β sabendo que:

º31 º54

8570,cos 8110,sen

Determina as razões trigonométricas do ângulo de 31o.

Calcula: 31ºsen cos 31º 31ºtg

A calculadora deve estar em modo DEG (graus)

Dado o valor do seno, cosseno ou da tangente determinar o valor aproximado do ângulo.

Determina β sabendo que: 0,669sen

No visor aparece o valor do ângulo em graus. Logo,

Analogamente,

permitem calcular a amplitude do ângulo, conhecido o seu cosseno ou a sua tangente.

º42

Exemplos de Aplicação

Analisando o esquema (triângulo retângulo)

O que é dado:

hipotenusa

Cateto oposto

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa?

comprimento do cateto oposto ao ângulosen

comprimento da hipotenusa

aa

1,2

1,7 sena 45ºa

= 1,7 m

= 1,2 m

seno

Analisando o esquema (triângulo retângulo)

O que é dado:

hipotenusa

Cateto adjacente

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa?

5cos

6 a 34ºa

= 6 m

= 5 m

Cosseno

cos

comprimento do cateto adjacente ao ângulo

comprimento da hipotenusa

aa

Analisando o esquema (triângulo retângulo)

O que é dado:

Cateto oposto

Cateto adjacente

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com o cateto adjacente ?

25

30 tga 40ºa

= 25 cm

= 30 cm

Tangente

comprimento do cateto oposto ao ângulotg

comprimento do cateto adjacente ao ângulo

aa

a

Analisando o esquema acima (triângulo retângulo)

O que é dado:

Cateto oposto

Cateto adjacente

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com o cateto adjacente ?

30

90 tg 18º

= 30 cm

= 90 cm

Tangente

comprimento do cateto oposto ao ângulotg

comprimento do cateto adjacente ao ângulo

A Descolagem do Avião

Resolução:

O que queres saber:

Analisando o esquema acima (triângulo retângulo) indica:

O que é dado:

ângulo = 20o

hipotenusa= 400 m

1. A distancia percorrida na horizontal (d)

2. A altura atingida (a)

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa?

1. A distancia percorrida da horizontal (d)

Cosseno

Cálculo do cateto adjacente (d)

20cos 20

comprimento do cateto adjacente ao ângulo

comprimento da hipotenusa

0,94400

d

0,94 400d

376d m

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa?

2. A altura atingida (a)

seno

Cálculo do cateto oposto (a)

2020

comprimento do cateto oposto ao ângulosen

comprimento da hipotenusa

0,34400

a

0,34 400a

136a m

Resolver um triângulo retângulo é encontrar as medidas dos comprimentos dos

lados e as amplitudes dos ângulos internos do triângulo.

136d m 136a m 400h m

Comprimento dos lados

Amplitude dos ângulos

20º

90º

180º 20º 90º 70º

Resolve o seguinte triangula retângulo

x

C

B A 4 cm

7 cm

Determinar os ângulos desconhecidos:

Determinar o lado desconhecido:

40,571

7 senx senx

ˆABC =90º

ˆCAB=180º-35º-90º=55º

cos35º cos35º 77

BC

BC4

7

AB cm

AC cm

ºx 35

7335,BC

80 cm

10º

x

O que é dado:

Cateto oposto

ângulo

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa?

10º10º

comprimento do cateto oposto ao ângulosen

comprimento da hipotenusa

= 80 cm

= 10º

seno

O que queres saber: hipotenusa

360ºˆ 72º5

BOC

O pentágono inscrito na circunferência é regular. Assim, os ângulos agudos ao centro são geometricamente iguais.

72ºˆ 36º2

AOM

O apótema de um polígono regular divide ao meio qualquer um dos seus lados

4AM 2cm

2= =

O que é dado:

Cateto oposto

ângulo

= 2 cm

= 36º

O que queres saber:

Cateto adjacente

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com o cateto adjacente ? Tangente

36º

2 cm

O que é dado:

Cateto oposto

ângulo

= 2 cm

= 36º

O que queres saber:

hipotenusa

Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa ? seno

Ou podemos aplicar o teorema de Pitágoras

Fórmulas Secundárias

•

•

de cotangente cotgtg

1

sen

coscotg :Nota

sen

1cotg1

:obtemos 0, sen sendo , senpor igualdade mesma na Dividindo

cos

11tg

cos

11

cos

sen

cos

1

cos

cos

cos

sen

cos

1

cos

cossen

: vem

,0cos sendo ,cospor 1cossen igualdade da membros os ambos dividirmos Se

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

22

222

aaaa

aa

aa

aa

aa

aa

a

aa

a

a

a

aa

aa

aaaa

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos complementares

• Consideremos agora os dois ângulos agudos (complementares) do triângulo da figura e vamos determinar as expressões de cos a , sen a , cos e sen :

aaa

a

aaaa

aa

aa

aa

cotg ) - 90º ( tgseja,ou ,tg

1 ) - 90º ( tg:Nota

) - 90º ( cos sen e ) - 90º (sen cos

:queafirmar podemos assim, Sendo

. - 90º 90º temos,rectângulo é o triângulo Como

cossen e sen cos Logo,

h

ocos;

h

asen

e

h

osen;

h

acos

Exercícios resolvidos

• 1. Determine a valor de cos a sabendo que a é um ângulo agudo e que:

Resolução

2

5 tan.2.1

3

1 sen 1.1.

a

a 11.

12.

Exercícios resolvidos (cont.)

• 2. Demonstrações Resolução

sen

sen

sen

sensen

cos1

cos1.3.2

cos

1

tan

1tan.2.2

11

cos.1.2

2

2.1.

2.2.

2.3.

Razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º

• Ângulo de 45º De acordo com a figura, temos:

a

a

1

2

2

2

2

cos45º

sen45º 45º tg,emente Consequent

2

2

hipotenusa

adjacente cateto45º cos

te,Analogamen

0 hip e 0 a pois ,2a hip

a2hipaa hipotenusa

auxiliares Cálculos2

2

2

1

2a

a

hipotenusa

a

hipotenusa

oposto cateto45ºsen

22222

Razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º (cont.)

• Ângulos de 30º e de 60º

Observando a figura tem-se que:

33

3

tg30º

1 60º tge

2

1 30ºsen 60º cos

2

3 30º cos 60ºsen

:que se- temte,Analogamen

3

3

3

1

2

3

2

1

30º cos

30ºsen 30º tgemente,Consequent

0 xpois ,2

3 x

4

3 x

14

1 x1

2

1 x

2

3x

1

x 30º cos

auxiliares Cálculos 2

1

1

2

1

30ºsen

2

22

2

2

FIM

Prof. Deolinda Sá