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“Todos nós sabemos que a Ciência moderna é, na sua estrutura racionalista, um produto do génio grego. Todavia, nós devemos pensar que se, há cinco mil anos, o Homem não tivesse necessidade de talhar e medir terrenos nas margens do Nilo, talvez os filósofos gregos não tivessem matéria para as suas magníficas especulações”. José Sebastião e Silva - três tri GONO METRIA (Medida) (Ângulo) TRI (Três)
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Trigonometria
“Todos nós sabemos que a Ciência moderna é, na sua estrutura racionalista, um produto do génio grego. Todavia, nós devemos pensar que se, há cinco mil anos, o Homem não tivesse necessidade de talhar e medir terrenos nas margens do Nilo, talvez os filósofos gregos não tivessem matéria para as suas magníficas especulações”.
José Sebastião e Silva
Curiosidades
A palavra TRIGONOMETRIA surge da composição de três termos gregos e significa « medida de triângulos » .
tri - três gono - ângulo metria - medida
A TRIGONOMETRIA estuda as relações entre as medidas dos ângulos e
as medidas dos lados ( elementos ) de um triângulo.
(Ângulo) GONO
(Medida) METRIA
(Três)
TRI
Notas históricas
O mais famoso astrónomo grego da Antiguidade foi Hiparco, nascido cerca de 160 anos a. C.
Pode-se dizer que foi o Pai da Trigonometria. Nos seus estudos, que envolviam
ângulos e relações trigonométricas teve necessidade de elaborar tabelas,
que foram as primeiras tabelas trigonométricas conhecidas.
Aristarco de Samos determinou as distâncias relativas da Terra ao Sol e da Terra à Lua. Eratóstenes de Cirene obteve a medida do raio da Terra.
Heron de Alexandria é conhecido na história da matemática, sobretudo pela fórmula do cálculo da área de um triângulo. Mostrou através do cálculo de ângulos, como cavar um túnel numa montanha (túnel de Samos) começando ao mesmo tempo de ambos os lados, de modo a se encontrarem no meio.
No séc. XV, o astrónomo prussiano Johann Müller sistematizou os conhecimentos trigonométricos até então conhecidos.
No séc. XVI, Viète introduziu novos teoremas que permitiram relacionar lados e ângulos de triângulos não rectângulos.
E muitos outros deram o seu contributo para o aprofundamento da Trigonometria.
A trigonometria começou como uma área da Matemática eminentemente prática, para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente.
A trigonometria serviu para resolver problemas de astronomia, ajudando a
prever eclipses, a estimar equinócios e a estabelecer calendários.
A trigonometria atualmente têm importância prática na navegação, topografia e
movimento harmónico simples em física.
A trigonometria serviu e continua a servir para resolver problemas em várias áreas da ciência, nomeadamente: engenharia, astronomia, aeronáutica e medicina.
Quais as aplicações da Trigonometria?
Semelhança de Triângulos
• Critério de semelhança : AAA
Dois triângulos são semelhantes se têm, de um para o outro, dois ângulos iguais (logo os três).
• Critério de semelhança : LAL Dois triângulos são semelhantes se têm, de um para o outro, dois lados proporcionais e o ângulo por eles formado igual.
• Critério de semelhança : LLL Dois triângulos são semelhantes se têm, de um para o outro, os três lados proporcionais.
Razões trigonométricas num triângulo retângulo
• Observe a figura.
Os triângulos [ADA’] , [BDB’] e [CDC’] são retângulos e
semelhantes (critério AAA).
• Como em triângulos semelhantes a ângulos iguais
opõem-se lados de comprimentos proporcionais, temos:
Ou seja, é constante a razão entre o comprimento do cateto oposto e o do cateto adjacente a a .
A essa razão constante chama-se seno de a e escreve-se sena ou sina .
Assim,
DC
CC
DB
BB
DA
AA '''
aa
senhipotenusa
aopostocateto
Razões trigonométricas num triângulo retângulo (cont.)
• A esta razão constante chama-se cosseno de a e escreve-se cos a
Assim,
• A esta razão constante chama-se tangente de a e escreve-se tga ou tana
Assim,
Podemos agora concluir que qualquer uma das razões trigonométricas de um ângulo apenas depende do valor do ângulo e não das dimensões do triângulo retângulo.
DC
DC
DB
DB
DA
DA '''
'
'
'
'
'
'
DC
CC
DB
BB
DA
AA
aa
coshipotenusa
aadjacentecateto
aa
atg
aadjacentecateto
aopostocateto
Como medir os ângulos?
Alguns instrumentos com que se medem os ângulos
• As medições de ângulos em engenharia e em topografia
faz-se hoje com grande rigor usando aparelhos aperfeiçoados – os teodolitos.
Mas nem sempre foi assim.
• Os nossos navegadores na época dos Descobrimentos usaram principalmente o grafómetro, o astrolábio e o quadrante.
• Também a navegação marítima usa o sextante
astrolábio quadrante
Relações entre o seno, o cosseno e a tangente de um mesmo ângulo
•
•
Fórmula Fundamental da Trigonometria
.cos
sen Então,
a
o
h
ah
o
cos
sen
:se- tem,cos por sen Dividindo
h
acos
h
osenComo
aa
a
aa
a
aa
aa
tg
tg
e
1cossen1h
o
h
a1
o
h
a
h
h
h
oa
:se-tem,hpor membros os ambos Dividindo
hoa
:Pitágoras de teoremaoaplicar podemos ,rectângulo é triânguloo Como
22
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
222
aah
Tabela Trigonométrica Calculadora
Com as tabelas trigonométricas podemos resolver dois problemas
Sendo β a amplitude de um ângulo agudo obter valores aproximados das suas razões trigonométricas.
Calcula: º27 sen º23 cos º55 tg
Dado um valor de sen β, cos β ou tg β Determinar um valor aproximado de β
Determina β sabendo que:
º31 º54
8570,cos 8110,sen
Determina as razões trigonométricas do ângulo de 31o.
Calcula: 31ºsen cos 31º 31ºtg
A calculadora deve estar em modo DEG (graus)
Dado o valor do seno, cosseno ou da tangente determinar o valor aproximado do ângulo.
Determina β sabendo que: 0,669sen
No visor aparece o valor do ângulo em graus. Logo,
Analogamente,
permitem calcular a amplitude do ângulo, conhecido o seu cosseno ou a sua tangente.
º42
Exemplos de Aplicação
Analisando o esquema (triângulo retângulo)
O que é dado:
hipotenusa
Cateto oposto
Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa?
comprimento do cateto oposto ao ângulosen
comprimento da hipotenusa
aa
1,2
1,7 sena 45ºa
= 1,7 m
= 1,2 m
seno
Analisando o esquema (triângulo retângulo)
O que é dado:
hipotenusa
Cateto adjacente
Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa?
5cos
6 a 34ºa
= 6 m
= 5 m
Cosseno
cos
comprimento do cateto adjacente ao ângulo
comprimento da hipotenusa
aa
Analisando o esquema (triângulo retângulo)
O que é dado:
Cateto oposto
Cateto adjacente
Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com o cateto adjacente ?
25
30 tga 40ºa
= 25 cm
= 30 cm
Tangente
comprimento do cateto oposto ao ângulotg
comprimento do cateto adjacente ao ângulo
aa
a
Analisando o esquema acima (triângulo retângulo)
O que é dado:
Cateto oposto
Cateto adjacente
Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com o cateto adjacente ?
30
90 tg 18º
= 30 cm
= 90 cm
Tangente
comprimento do cateto oposto ao ângulotg
comprimento do cateto adjacente ao ângulo
A Descolagem do Avião
Resolução:
O que queres saber:
Analisando o esquema acima (triângulo retângulo) indica:
O que é dado:
ângulo = 20o
hipotenusa= 400 m
1. A distancia percorrida na horizontal (d)
2. A altura atingida (a)
Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa?
1. A distancia percorrida da horizontal (d)
Cosseno
Cálculo do cateto adjacente (d)
20cos 20
comprimento do cateto adjacente ao ângulo
comprimento da hipotenusa
0,94400
d
0,94 400d
376d m
Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa?
2. A altura atingida (a)
seno
Cálculo do cateto oposto (a)
2020
comprimento do cateto oposto ao ângulosen
comprimento da hipotenusa
0,34400
a
0,34 400a
136a m
Resolver um triângulo retângulo é encontrar as medidas dos comprimentos dos
lados e as amplitudes dos ângulos internos do triângulo.
136d m 136a m 400h m
Comprimento dos lados
Amplitude dos ângulos
20º
90º
180º 20º 90º 70º
Resolve o seguinte triangula retângulo
x
C
B A 4 cm
7 cm
Determinar os ângulos desconhecidos:
Determinar o lado desconhecido:
40,571
7 senx senx
ˆABC =90º
ˆCAB=180º-35º-90º=55º
cos35º cos35º 77
BC
BC4
7
AB cm
AC cm
ºx 35
7335,BC
80 cm
10º
x
O que é dado:
Cateto oposto
ângulo
Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa?
10º10º
comprimento do cateto oposto ao ângulosen
comprimento da hipotenusa
= 80 cm
= 10º
seno
O que queres saber: hipotenusa
360ºˆ 72º5
BOC
O pentágono inscrito na circunferência é regular. Assim, os ângulos agudos ao centro são geometricamente iguais.
72ºˆ 36º2
AOM
O apótema de um polígono regular divide ao meio qualquer um dos seus lados
4AM 2cm
2= =
O que é dado:
Cateto oposto
ângulo
= 2 cm
= 36º
O que queres saber:
Cateto adjacente
Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com o cateto adjacente ? Tangente
36º
2 cm
O que é dado:
Cateto oposto
ângulo
= 2 cm
= 36º
O que queres saber:
hipotenusa
Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa ? seno
Ou podemos aplicar o teorema de Pitágoras
Fórmulas Secundárias
•
•
de cotangente cotgtg
1
sen
coscotg :Nota
sen
1cotg1
:obtemos 0, sen sendo , senpor igualdade mesma na Dividindo
cos
11tg
cos
11
cos
sen
cos
1
cos
cos
cos
sen
cos
1
cos
cossen
: vem
,0cos sendo ,cospor 1cossen igualdade da membros os ambos dividirmos Se
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
22
222
aaaa
aa
aa
aa
aa
aa
a
aa
a
a
a
aa
aa
aaaa
Relações entre as razões trigonométricas de ângulos complementares
• Consideremos agora os dois ângulos agudos (complementares) do triângulo da figura e vamos determinar as expressões de cos a , sen a , cos e sen :
aaa
a
aaaa
aa
aa
aa
cotg ) - 90º ( tgseja,ou ,tg
1 ) - 90º ( tg:Nota
) - 90º ( cos sen e ) - 90º (sen cos
:queafirmar podemos assim, Sendo
. - 90º 90º temos,rectângulo é o triângulo Como
cossen e sen cos Logo,
h
ocos;
h
asen
e
h
osen;
h
acos
Exercícios resolvidos
• 1. Determine a valor de cos a sabendo que a é um ângulo agudo e que:
Resolução
2
5 tan.2.1
3
1 sen 1.1.
a
a 11.
12.
Exercícios resolvidos (cont.)
• 2. Demonstrações Resolução
sen
sen
sen
sensen
cos1
cos1.3.2
cos
1
tan
1tan.2.2
11
cos.1.2
2
2.1.
2.2.
2.3.
Razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º
• Ângulo de 45º De acordo com a figura, temos:
a
a
1
2
2
2
2
cos45º
sen45º 45º tg,emente Consequent
2
2
hipotenusa
adjacente cateto45º cos
te,Analogamen
0 hip e 0 a pois ,2a hip
a2hipaa hipotenusa
auxiliares Cálculos2
2
2
1
2a
a
hipotenusa
a
hipotenusa
oposto cateto45ºsen
22222
Razões trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º (cont.)
• Ângulos de 30º e de 60º
Observando a figura tem-se que:
33
3
tg30º
1 60º tge
2
1 30ºsen 60º cos
2
3 30º cos 60ºsen
:que se- temte,Analogamen
3
3
3
1
2
3
2
1
30º cos
30ºsen 30º tgemente,Consequent
0 xpois ,2
3 x
4
3 x
14
1 x1
2
1 x
2
3x
1
x 30º cos
auxiliares Cálculos 2
1
1
2
1
30ºsen
2
22
2
2
FIM
Prof. Deolinda Sá