Introdução a Trigonometria

ARCOS E ÂNGULOS

Seja uma circunferência de centro O sobre a qual tomados dois pontos distintos, A e B. Em relação a A, B e M temos

duas possibilidades:O percurso mais curto entre A e B;

O percurso mais longo entre A e B.

A

BO

M

O

ARCOS E ÂNGULOSARCOS E ÂNGULOSARCOS E ÂNGULOSARCOS E ÂNGULOS

Na construção de um arco existe um ângulo central correspondente a cada arco tomado.

Ângulo central

)A

BArco AB

O

Ângulo central

É igual à medida do ângulo central correspondente.

Angular

Observe que a medida angular não depende do raio.

MEDIDAS DE UM ARCOMEDIDAS DE UM ARCOMEDIDAS DE UM ARCOMEDIDAS DE UM ARCO

Grau

Unidades de medida de arcos e ângulosUnidades de medida de arcos e ângulosUnidades de medida de arcos e ângulosUnidades de medida de arcos e ângulos

360º

180º

270º

90º

o1 GRAU : MINUTO : '1 SEGUNDO : "1

'o 601 "' 601 "o 36001

1volta=o360

EQUIVALÊNCIAS

SubmúltiplosSubmúltiplos

Radiano

Um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência.

O A

B

1 radr Arco de comprimento

r

Indicamos, abreviadamente por rad.

med(AB) = 1 rad.

A medida de um arco em radiano é o quociente entre o comprimento do arco (L) e o raio da circunferência que o

contém (r)

rL )Bmed(A

Exemplo: Qual a medida em radianos, de um arco de comprimento 8 cm pertencente a uma circunferência de 2 cm de raio?

Sol:

A medida do arco em radianos é:

rad 428

rL

Em uma circunferência o comprimento total é 2r

Logo a medida em radianos da circunferência toda é:

rad 2r

r2

0

rad 2º360

rad 2

3º270

rad º180

rad 2

º90

1) Determinar, em radianos, a medida equivalente a 1200:

Resolução:Lembrando que π rad equivale a 1800, basta resolver a regra de três:

rad grausπ 1800

x 1200

180x = 120π x = 120π

180x = 2π rad 3

: 6

: 6

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

2) Determinar, em graus, a medida equivalente a π rad:

6 Resolução:Resolvendo a regra de três:

rad grausπ 1800π 6

x

3) Determinar, em graus, a medida equivalente a 1 rad:

Resolução:Resolvendo a regra de três:

rad grausπ 1800

1 xx = 180 rad πFazendo π = 3,14 temos:x = 180 graus

3,14

x = 570

~

1

2

3

4

56

7

8

9

1211

10

4) Determinar, em graus, a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 8h 20min.

1

2

3

4

56

7

8

9

1211

10

120ºx

A cada 60 min o ponteiro das horas percorre 30º

60 min 30º

20 min x º1060

600x

120 + 10 = 130º

Sol:

Linear

É a medida do comprimento do arco.

MEDIDAS DE UM ARCOMEDIDAS DE UM ARCOMEDIDAS DE UM ARCOMEDIDAS DE UM ARCO

Comprimento de um Arco

O A

B

r

r

L

2r 360º

Comprimento Arco em Graus

L

Exemplo: Numa circunferência de raio r = 30 cm, qual é o comprimento de um arco que subentende um ângulo central de 60º? Considere = 3,14.

Sol:

O A

B

30cm 60

º

L

30cm

2r 360º

Comprimento Arco em Graus

L

º360r2

L

3603600

º360º60302

L

4,31L14,31010L

Exemplo: O Pêndulo de um relógio tem comprimento 0,5 m e executa o movimento, de A para B, indicado na figura. Determine o comprimento do arco AB que a extremidade do pêndulo descreve.

A B

30º0,5m

Sol:

rad 3

º60

rL

3

321

35,0

L

m6

L31

21

L

5,0L

3

30º

• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.

• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2.

• Forma geral:

• São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.

• A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2.

• Forma geral:

A

B

x = + 2k ou

x = + k.360o

x = + 2k ou

x = + k.360o

ARCOS CÔNGRUOSARCOS CÔNGRUOSARCOS CÔNGRUOSARCOS CÔNGRUOS

O xA’ A

y

B

B’

1

1

P

+

-

CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICACIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICACIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICACIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA