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Fig 4.1

Viga biapoiada

A B

A

a

x

x L - x

L

b

B

HBVBVA

C

I II

x

P

y

ADMF

DEC

BC

C

+

+

-

Pab L

Pa L

Pb L

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-A B

A B

C

M

xx

L

a

I II

SI SII

b

DMF

DEC

A B

HB

x

y

+

-M

a L

Mb L

ML

ML

ML

ML

Fig 4.2

Viga biapoiada

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HB

x

y

S

q

x

L

qx

A B

qL2

x2

qL2

A BDMF

+ qL2

8

qL2

8

A B

DEC

qL

+

-qL2

qL2

qL2

Fig 4.3

Viga biapoiada com carregamento uniforme

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Fig 4.4

Viga biapoiada submetida a carregamento triangular

HB

xA B

xL

yq

R∆(x) = q(x) . x/2 = qx2 / 2L

q(x)

S

BA

M máx.

DMF

DEC tg = 0

tg = 0

+

+

-

qL 6

qL 3

L3

qL2

9

qL6

x3

qL3

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BA4 tf

5,1 tf

3 m 4 m 4 m 2 m

I II III IV 7,9 tf

2 tf 7 tf

1 2 3

1 2 3

15,3

19,5

DMF(tfm)

15,8

BA

+

1,1

0,9

5,1

DEC(tf )

7,9

BA

-

+

Fig 4.5 Viga biapoiada com três forças concentradas

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Fig 4.6

Viga biapoiada com carregamento uniforme

BA

q = 1tf/m

13 m

VBVA

HB

6,5

6,5

-

+

DEC(tf )

BA

DMF(tfm)

BA

+ qL2

8 = 21,1

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Fig 4.7

Viga biapoiada com momento concentrado

BAHA C

M = 200 kNm

L = 10 m

LSC

LSC

LSC

a = 4 m

I II

b = 6 m

VA VB

120

80

DMF(kNm)

-

+

20

DEC(kN) +

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C

5 tf/m

R = 5 × 3/2 = 7,5

R(x)

q(x)

x – 2

x – 23

x

HA

VBVA

1 m

3 m

tg = 0

BA

DEC(tf )

LSC

DEN - Nulo

+

DMF(tfm)

xQ= 0 = 3,34

-

+

LSC

LSC

LSC

LSC

LSC

3

Mm

áx. =

4,34

1,5

6

2 m

III

= 5

qL2 9IIFig 4.8

Viga biapoiada com carregamento triangular parcial

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Fig 4.9

Viga biapoiada. A) Exercício proposto; B) Diagramas dos ESI

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Fig 4.10

Princípio da superposição (diagramas dos momentos fletores)

HAVA VB

a = 3 m

L

P = 13 tf q = 1tf/m

DMF(tfm)

30

(q)

(P)

+

+15

b = 10 m

(P + q)

qa2/8 = 1,125

a/2 a/2 b/2b/2

+

45

qL2/8 = 21,13

qb2/8 = 12,5

qb2/8 = 12,5

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10

(P) DEC(tf )

(q)

(P + q)

6,5

6,5

16,5

13,5

30,5

+

+

+

-

-

-

9,5

Fig 4.11

Princípio da superposição (diagramas dos esforços cortantes)

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120 kNm

1,5 m 1,5 m 3,6 m

I II III

I II IIIDC120 kNm100 kN

AB

A B

50 kN/m

6,6 m

80 kNHA

MA

60 kN

VA

50 kN/m

34

Fig 4.12

Viga engastada e livre ou viga em balanço.

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Fig 4.13

Linhas de Estado ou Diagramas dos ESI

80

DN(kN) +

DMF(kNm)

120-

588

363

1,2 2,4

228 qL

III2

9=

72

150

90

DEC(kN)

tg = 0

+

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A

DMF (tfm)DQ (tf )

3 m

2 m

0,5 tf/m

3,6 tf/m

3tfy

x

BHB

VBMB

--

24,3

14,7

8

3,4

3

3,9

5,6

8

11,2

1 m

4 m

Fig 4.14

Viga em balanço típica de dimensionamento de muro de arrimo

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Fig 4.15

Viga em balanço

200 N/m

200 N/m

800 N3

BA2

MA

HA

VA

666

DMF(Nm)

20 m

53313

444444

4666

5331

3

tg ≠ 0

+

DEC(N)

4666

666

- 444

DN(N)

= 10000qL2

8

= 10000qL2

8

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A B C1

A B

2A B C

1 2

Fig 4.16

Diferenciação entre nó e apoio

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Fig 4.17

Viga biapoiada dotada de balanço à direita

A A

HA

VA VB

B

P

C

P

α

a a a a

I D II III

HA

VA VB

B

P

C

P senα

P cosα

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Fig 4.18

Diagramas dos esforços internos

P cos

α

DN

- -

DMFPa senα

+-

DEC P senαP/3 (1 - senα)

P/3 (2 + senα)

+ +-

(1 - senα)2Pa3

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Fig 4.19

Viga biapoiadadotada de balanços e diagramas dos esforços internos

15 kN/m10 kN

AB

CD

2 m 2 m 2 m

LII = 4 m

VB

2 m 2 m

E

30 kN

HD

VD

DEC(kN)

33,3

2,2 m

10

26,7

30

+ +

--

Mm

áx =

17

6,6

DMF(kNm)

20

60

qLII2/8 = 30kNm

30

2 2

+-

-

I II III IV

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Fig 4.20

Viga biapoiada dotada de balanços e respectivas linhas de estado

DA

5 tf

10 tf3 tfm 2 tf/m

8 tf/m

1,5 1

VB

34

3,5 1,5 2,5

I II III IV V

B C E F

HE

4,7 tf/m

VE

DN(tf )

DMF(tfm)

DEC(tf )

tg=0

5

5

23,55

24,45

15,55

+

-

+

6 -

811

,03

6,25

13,05

12,25

12,25

2,25

18,48

28,16

21,48

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Fig 4.21

Viga Gerber

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Fig 4.22

A) Exemplos de vigas Gerber; B) Identificação das vigas simples associadas, classificação em SEP e CEP e sequência de cálculo

1

A B A B C D A B B11 2

CEP III CEP II CEP II

SEP I

1 2B1

SEP I

B

SEP I

1

1

A

CEP II

A

B

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Vão extremo

A B C D

q q

q

q

Vão extremoBalanço BalançoVão intermediário

L1 L3

L1

+ +--

L’’2 L’’2L’2

XB

L2

qL22

8

qL12

8

L1

M =q(L’2)2

8

+q(L’’2)2

2

qL’2L’’22

A

B

C

Fig 4.23Escolha da melhor posição das rótulas para uma solução otimizada: A) modelo genérico; B) solução limite como três vigas biapoiadas; C) solução otimizada

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Fig 4.24

Viga contínua com três vãos: estrutura hiperestática

HA

VA VB VC VD

A B C D

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Fig 4.25

Viga Gerber: estrutura isostática

A B 1 2

M2 = 0M1 = 0

C D

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A

E F

B

10 tf

10

I II III 1 2IV V VI VII

10 10 10 105 5

25 tf

2 tf/mC D

20 tf

5 tf

HA

VA VB VC VD

Fig 4.26

Viga Gerber

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-

-

- -

- -

+

+

++

13,75

175

75

35

10

10 12,5

7,55

DN(tf )

DEC(tf )

DMF(tfm)

3,75

37,5

25

50

Fig 4.27Linhas de estado da Viga Gerber

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Fig 4.28

Viga inclinada com carregamento vertical distribuído q ao longo da projeção horizontal LH

q.LH = R

y (local)Y (global)

x (local)

AHA = 0

VA = (qLH/2)

VB = (qLH/2)

L V =

Lse

nα

B

X (global)

LH = Lcosα

LR

cos

α

α

R senα

R

α

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A

q.(LH/L).senα = qcosα senαq.(LH/L).cosα = qcos2α

B

q.(LH/2)senα

q.(LH/2)cosα

q.(LH/2)cosα

q.(LH/2)senα

Fig 4.29

Carregamento distribuído referido ao sistema local. Duas componentes: uma na direção do eixo (direção x-local) e outra na direção perpendicular ao eixo (direção y-local)

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DN

DMF

+

A

B

-

+

qLH2

senα

qLH2

senα

qLH2

8

DEC

A

B

-

+

qLH2

cosα

qLH2

cosα

Fig 4.30Diagramas dos esforços solicitantes internos

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Fig 4.31

Viga inclinada com carregamento horizontal distribuído q ao longo da projeção vertical LV

qLVse

nα

qLV

qL Vcosα

HA = qLv

q.LV = R VB =qLVtgα

2

VA =qLVtgα

2

y (local)Y (global)

x (local)

A

L V =

Lse

nα

B

X (global)

LH = Lcosα

L

α

α

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A

q.(L V/L).cosα = qcosα senαq.(L V/L).senα = qsen2 α

B

Fig 4.32

Carregamento distribuído referido ao sistema local. Duas componentes: uma na direção do eixo (direção x-local) e outra na direção perpendicular ao eixo (direção y-local)

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Fig 4.33Viga inclinada com carregamento vertical distribuído ao longo do comprimento inclinado L da viga

α

q

VA = qL/2

VB = qL/2

L V = Ls

enα

Lq.L

cosα

q.L senα

q.L

LH = Lcosα

α

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A

q.L.cosα/L = q cosαB

q.(L/2)senα

q.(L/2)cosα

q.(L/2)cosα

q.(L/2)senα

qLsenα/L = qsenα

Fig 4.34

Carregamento distribuído referido ao sistema local. Duas componentes: uma na direção do eixo (direção x-local) e outra na direção perpendicular ao eixo (direção y-local)

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Fig 4.35

Diagramas dos esforços solicitantes internos

DN

DEC

DMF

+

A

B

-

+

A

B

-

+

q.cosα L2/8

q(L/

2)se

nα

q(L/

2)se

nα

q(L/

2)co

sα

q(L/

2)co

sα