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Fig 8.1

Diferença entre Linhas de Estado e Linhas de Influência

a

A B C

SP

D E

ℓb1 ℓb2ℓ

b c d e

A

B

Pb

S

se P é xa e S é móvel → Linha de estado de M

MS = –Pbd/ℓ

MS -

Exemplo de Momentos Fletores

Linha de Estado de MP qualquer → xa

C

MSA

se P é móvel e S é xa → Linha de inuência de MS

Mij → i – efeito → j – causaMSB → momento etor em S (efeito) para uma carga unitária P = 1 aplicada em B (causa)

MSB

MSS = cd/ℓ

MSS

MSE- -+

Linha de Inuência de MS P = 1 → móvel

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A B C DS

E F

CEPSeção S na estrutura

SEP

A B C DS

E F

Fig 8.2

Seções-chave para as Linhas de Influência.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

S13

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Fig 8.3

Seções igualmente espaçadas.

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Fig 8.4

Viga bi-apoiada.

a b

ℓ

S

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I II

S

P = 1x

Fig 8.5 Força unitária P antes de S.

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Fig 8.6

Força unitária P depois de S.

I II

S

P = 1x

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Fig 8.7

Linha de influência de cortante em S.

+-

S

LIQS

a/ℓ

= ηe

ηe + ηd =

ηd =

b/ℓ

a + bℓ

= = 1ℓℓ

1

1

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S

a b

ℓ

ℓb1 ℓb2

Y

X

Fig 8.8

Viga biapoiada com balanços laterais.

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S1

I

x

II III IV

Fig 8.9

Força unitária P no trecho em balanço (antes de S).

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Fig 8.10

Força unitária P no vão entre apoios (antes de S).

S1x

III IVI II

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S

1x

III IVI II

Fig 8.11

Força unitária P no vão entre apoios (depois de S).

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S

1

III IV

x

I II

Fig 8.12

Força unitária P no trecho em balanço (depois de S).

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Fig 8.13

Linha de influência de momento fletor em S.

S

LIMs

ℓ b1b

/ℓ

ℓ b2a

/ℓ

ab/ℓ +

- -

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P

A B

Fig 8.14

Viga biapoiada.

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Fig 8.15

Liberação em S do vínculo associado à RA.

RA

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Maria Cascão Ferreira de AlmeidaEstruturasisostáticas1

x

LIRA

η+Fig 8.16

Linha de influência de RA.

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Fig 8.17

Exemplos de LIR.

A B C

ℓℓ a b c ℓb2ℓb1ℓb

DA BA

LIRA LIRB LIRD

B

RB

E F

RBRA

ℓ +

ℓ b ℓ(b

+ c

)ℓb1

ac

b +

cc

ℓ b2 c

+ + +

--

1 1 1

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Fig 8.18

Sentidos positivos de Qs.

ℓb1

ℓ

ℓb2b

S

a

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Fig 8.19

Deformada que define a linha de influência de cortante em S.

+ +- -

ℓ b1 ℓ

ℓ b2 ℓ

b/ℓ

a/ℓ

LIQS

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Fig 8.20

Exemplos de LIQ.

A

S

1

1

1

LIQAe LIQA

d LIQS

BA

S SB A B

-+ +

--

ℓb1 ℓb2ℓ

ℓ b1/ℓ ℓ b2

/ℓℓ

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a

S

LIMS

b

ℓ

Fig 8.21

viga biapoiada.

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Fig 8.22

Introdução de uma rótula em S e sentidos positivos de M.

M M

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η Sϕe

ϕe

ϕdϕ = 1

ϕd

Fig 8.23Sentidos de giro e deformada vertical que define a LIMs.

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Fig 8.24

Linha de momentos fletores em S.

+ab

/ℓ

LIMS

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Fig 8.25

Linha de influência de momento reativo em A.

A

(reativo) (reativo)

ϕ

ℓ

LIMRA

Bℓ

ℓ

MA

+

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S

A B

ℓb1

LIMS

a b ℓb2

C D

bℓb 1

a + b

aℓb 2

a + b

aba + b

+- -

Fig 8.26

Linha de influência de momento fletor em S.

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S

S

lb1 lb2a

A B C D E

b c d

+-

cdc+d

clb2

c+d

Fig 8.27Linha de influência de momento fletor em S.

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Fig 8.28

LIQs1 e LIMs2 em vigas Gerber: S1 e S2 em estruturas SEP.

S2

S2

CEP III

LIQS1

LIMS2

SEP II

SEP I S1

S1

- -+

+-

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Fig 8.29LIMs3 em viga Gerber: S3 em estrutura CEP.

- -+

LIMS3

S3CEP III

SEP I

SEP II

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Fig 8.30

Exemplo de determinação de LIQs e LIMs.

3

LIQS

LIMS

5 2 5 3S

3 6 2

3 209 20

6 8

15 8

15 8

5 8

5 83 8

3 8

1 8

--

-+ +

++-

-

+

+

28

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Fig 8.31

Linhas de influência em treliças.

VA

am bm

h

am + 1

m m + 1

m’ (m + 1)’

II

S

D

α

S

D

bm + 1

VB

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m

LIS

m + 1

ab Lh

b ha h

-

Fig 8.32

Traçado da linha de influência do normal no elemento do banzo superior entre m e m+1

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Fig 8.33

Traçado da linha de influência do normal no elemento do banzo inferior entre m e m+1

mLII

m + 1

+ambm

hL

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m

m

LID

m + 1

m + 1

+-

amLsenα

1senα

-1 senα

bm + 1Lsenα

Fig 8.34Traçado da linha de influência de normal no elemento diagonal entre m e m+1

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Fig 8.35

Barras verticais V1 e Vc na treliça.

I

V1 VC

I I I I

(m)’ (m + 1)’ (m + 2)’

I I

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Fig 8.36Equilíbrio do nó (m+1)' para cálculo de Vc.

1S S

Vc

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-1

m m + 1 m + 2

LIVC

Fig 8.37

Traçado da linha de influência de normal na barra vertical Vc - carregamento superior.

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Fig 8.38

Carregamento superior: (a) equilíbrio do nó; (b) linha de influência normal na barra vertical V1.

-1I1

V1

VA

V1 + VA = 0 ∴ V1 = -VA

LIV1 A B

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Fig 8.39Carregamento inferior: (a) equilíbrio do nó 1; (b) linha de influência normal na barra vertical V1.

-1

1 2unir ospontos

I1

V1

VA = 1

LIV1 (carregamento inferior)

1

Para P = 1 depois de 2:V1 + VA = 0 ∴ V1 = -VA

LIV1 = -LIRAPara P = 1 sobre 1: V1 = 0

I1

V1

VA

b 2 L

A B

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m’ (m + 1)’

m + 1I

S

I

S

VS

VI

VI

VS

m

m’

m

h

VA VB

m’ (m + 1)’

m

a b

m + 1

h

S

Fig 8.40

Viga Hassler

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-

ligar ospontos

LIS

m m + 1

ab ha h

-( )LIMmh

Fig 8.41Linha de influência diagonal no elemento do banzo superior entre m e (m+1)

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Fig 8.42

Carregamento inferior: (a) equilíbrio no nó 1; (b) linha de influência de normal na barra vertical V1

LIV1I

1

1

b2unir ospontos

2

b 2 L-I1

VA

1

Para P = 1 depois de 2:V1 = -VA

LIV1 = -LIVAPara P = 1 sobre 1: V1 = 0

VA

V1I

I

I

I

V1IA B

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Fig 8.43

Seção de Ritter para obtenção da linha de influência de normal em elementos diagonais da viga Hassler.

m’ (m + 1)’

m m + 1

h

S

m’ (m + 1)’

m

VA VB

S

DS

DIO DI

DS

S

I Iα

m + 1

h

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unir ospontos

mm + 1

LIDS = -LIDI

-+

12 s

enα

12 s

enα

αα

VS

O

VI

DI

DS

A B

Fig 8.44Elementos diagonais da viga de Hassler:(a) equilíbrio do nó O indicado na Fig. 8.43;(b) linhas de influências dos normais nas diagonais entre os nós m e m+1

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Cortetransversal

P

P’

p’

long

arin

a

long

arin

a

tabuleiro

PP

Pm

m

m’

inde

nid

asin

den

idas

den

idas

Trem

tipo

sobr

e as l

onga

rinas

Planta

guar

da co

rpo

Fig 8.45Trem-tipo especificado para pontes e viadutos rodoviários (NBR 7188)

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Fig 8.46Trem-tipo especificado para pontes e viadutos ferroviários (NBR 7189)

P1 P14 x P2 4 x P3 4 x P34 x P2 q

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Fig 8.47Aplicação do Princípio da Superposição.

q1

LIES

Ω1

Ω2

Ω3η 1 η 2 η 3

P1 P2 P3 q3

q2

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Fig 8.48Pesquisa dos valores máximos e mínimos.

a

ℓ

S

b

ℓPi < R a < ΣPiΣ

k-1

i=1

k

i=1

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Fig 8.49Análise das posições mais desfavoráveis (dois sentidos).

10tf1º sentido

2º sentido

8tf 15tf 20tf

20tf 15tf 8tf 10tf

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Fig 8.50Estrutura e seções

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Fig 8.51

Trem-tipo

3tf/m20tf 40tf

3m

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Qg5 Mg5

5

DEQCarga permanente (g) DMF

- - --

+ +

+5

Fig 8.52ESI devidos à carga permanente (g)

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Fig 8.53

Efeitos provenientes da carga móvel.

LIQ5 LIM5

Máx. +

Máx. -

Máx. +

Máx. -

3tf/m 3tf/m

3tf/m3tf/m

40tf

40tf

++ - - -+

-

40tf

20tf

3tf/m3tf/m

3tf/m40tf

20tf 20tf

20tf

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Fig 8.54Envoltórias máximas e mínimas.

Cortantes Momentos Fletores

- -- -+ +

+

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3m 3m 3m 3m

1 2 3 4 5

Fig 8.55Viga biapoiada

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Fig 8.56

Carregamento de peso próprio.

g = 2tf/m

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Fig 8.57Trem-tipo

1tf/m20tf

3m

10tf

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+

+-

12

1 2

DEQ(tf )

DMF(tfm)

34 5 1 2 3 4 56

27 27

6

3612

Fig 8.58

ESI do peso próprio.