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Juros compostos é uma seqüência de juros simples. A
primeira seqüência é igualzinha. Como os juros são reinvestidos,
o montante vira capital na seqüência seguinte. O tempo
será sempre igual a 1. Como um prédio: tem vários andares, mas
cada andar é UM andar.
Juros compostos é uma seqüência de
juros simples. O primeiro período é igualzinho; nos
outros, o capital é o montante do
período anterior.
i = 200% = 2COMPOSTOSCOMPOSTOS
100 200 300600 900
2.7001.8005.400 8.100
SIMPLESSIMPLES
100i = 200% = 2
200200200200
900
300900
2.700
t = 1
800
Seqüência de juros simples, onde o juros é
reinvestido. Assim, o
montante de uma seqüência
torna-se o capital da seqüência seguinte.
JUROS SIMPLES E COMPOSTOSJUROS SIMPLES E COMPOSTOS
8.100
2.7002.700900900
3 X 3 X 3 X 3
100 200200 300600600 900
2.7001.8001.8005.4005.400 8.100
i = 200% = 2i = 200% = 2(it)+1=3
4
t = 1t = 1
9009002.7002.700
(it)+1=3
(it)+1=3
(it)+1=3
= 81
300300
JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOS
100100300300
= 3
100100 300300 9009002.7002.700
2002006006001.8001.8005.4005.400
JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOS
300 900 2.700 8.100100100
((it)+1) (it)+1=3 (it)+1=3 (it)+1=3(i*1)+1i + 1 i + 1 i + 1 i + 1(2)+13 3 3 3
3 X 3 X 3 X 3 = 3 4 = 81
3 = i + 1 (i + 1)^n4 = n
300300 900900 2.7002.700 8.1008.100(( i + 1 )(( i + 1 ) ^ n ^ n))resulta em um número que, multiplicadoresulta em um número que, multiplicado
pelo Capital, gera o Montante. A estepelo Capital, gera o Montante. A estenúmero chamamos de:número chamamos de:
Fator MultiplicadorFator Multiplicadorouou
Fator de CapitalizaçãoFator de Capitalização
(( i + 1 )(( i + 1 ) ^ n ^ n))resulta em um número que, multiplicadoresulta em um número que, multiplicado
pelo Capital, gera o Montante. A estepelo Capital, gera o Montante. A estenúmero chamamos de:número chamamos de:
Fator MultiplicadorFator Multiplicadorouou
Fator de CapitalizaçãoFator de Capitalização
M = M = CC ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n ^ n))M = M = CC ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n ^ n))
2.7002.700900900
100 200200600600
1.8001.8005.4005.400
100100
9009002.7002.700
300300300300
8.0008.000++
JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOS
Juros
Sabendo-se que o Montante é igual a
Juros + Capital,tem-se que
Juros é igual a Montante - Capital.
J = M - C
J = C * (( i + 1 )^n) - C
8.1008.100Montante
J = C * ((( i + 1 )^n) - 1)(( i + 1 )^n)(( i + 1 )^n)
J = M - C
Montante é igual a Juros + Capital
M = J + Clogo:
Juros é igual a Montante - Capital
J = M - C
100100
8.0008.000
M = C * (( i + 1 )^n) .M = C * (( i + 1 )^n) .
J = C * ((( i + 1 )^n) - 1)
:
Observe que:Montante = 100 * 81
Juros = 100 * 80a diferença é:
Capital = 100 * 1Assim:Juros = 100 * (81-1)
Observe que:Montante = 100 * 81
Juros = 100 * 80a diferença é:
Capital = 100 * 1Assim:Juros = 100 * (81-1)
J = C * ((( i + 1 )^n) - 1) J = C * ((( i + 1 )^n) - 1) J = C * ((( i + 1 )^n) - 1) J = C * ((( i + 1 )^n) - 1)
++
CALCULANDO O JUROCALCULANDO O JUROJ = M - C como C = M / (1+i)^n
J = M - (M / (1+i)^n)Temos uma subtração de frações
(M/1) - (M / (1+i)^n)
o denominador será (1+i)^ne o numerador será:
M*((1+i)^n)-M ou M*((1+i)^n-1)
J = M *((1+i)^n-1) / (1+i)^n
A fórmula do Juro a partir do Montante é
= ++++--JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOS
M = C * (( i + 1 )^n) . M/C = (( i + 1 )^n). (M/C)^(1/n) = ( i + 1 ) . (M/C)^(1/n)-1 = ( i ) . (M/C)^(1/n)-1 = i .
8.100 = 100 * (( i + 1 )^4)8.100/100 = (( i + 1 )^4) . 81^(1/4) = ( i + 1 ) .
= **/ / ^̂\/\/____
=++++-- = **/ / = ^̂\/\/
____= (M/C)^(1/n)-1 = ( i * 100)% .
M = C * (( i + 1 )^n) . M/C = (( i + 1 )^n) .
(M/C)^(1/n) = ( i + 1 ) . (M/C)^(1/n)-1 = i ou .
8.100 = 100 * (( i + 1 )^4) .
8.100/100 = (( i + 1 )^4) . 81^(1/4) = ( i + 1 ) .
2 = ( i * 100)% . 3-1 = i ou
3-1 = ( i ) . 2 = i .i = (M/C)^(1/n)-1
M = (( i + 1 )^n) * C . M/C = (( i + 1 )^n) .
(M/C)^(1/n) = ( i + 1 ) .
(M/C)^(1/n)-1 = i ou. (M/C)^(1/n)-1 = ( i * 100 ) / 100 .
CALCULANDO A TAXACALCULANDO A TAXA
t = 1
M = M = C C ** (( i (( i ** t )t ) + 1) + 1)
M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n) ^ n)M=C+J
JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOS
CC = J / = J / ((((( i + 1 )( i + 1 ) ^ n) - 1 ^ n) - 1))
i = ( M / i = ( M / C ) C ) ^ ( 1/n ) - 1 ^ ( 1/n ) - 1 J = J = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n) - 1 ^ n) - 1
10 = 5 * 2 logo: 5 = 10 / 2CC = M / = M / (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n) ^ n)
CALCULANDO O CAPITALCALCULANDO O CAPITALCALCULANDO O CAPITALCALCULANDO O CAPITAL
M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n) ^ n)J = J = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n) - 1 ^ n) - 1
JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOS300 900 2.700 8.100
a1 a2 a3 a4 a5
* q* q n-1n-1 == aa11 aa
nn
C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n ^ n) ) == MMC C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n ^ n) ) == MM
100 * 3100 * 3 (5-1)(5-1) = = a5 = 8.100 = 8.100 100 * 3100 * 3 44 == 8.1008.100
100100 300300 900900 2.7002.700 8.1008.1003 3 33
..
q q é a razão é a razãoq q é a razão é a razão
Exemplo: após 4 períodos R$ 100,00,aplicados em juros compostos,
transformaram-se em R$ 8.100,00.Qual o valor no final do 1º período?
Nas progressões geométricas um termo éigual à média geométrica de termos
eqüidistantes. Assim, o 3º termo é igual à média geométrica do 1º e do 5º termo; o 2º é igual à média geométrica do 1º e do 3º termo.
Média geométrica entre 2 números é a raiz quadrada do produto destes números.
100100 300300 900900 2.7002.700 8.1008.100
C A L C U L A N D O :
(a 1*a5
)^(1/2)
= a3
a1 = 100 a5 = 8.100
a3=(100*8.100)^(1/2)
a3=900a2=(100*900)^(1/2)
a2=300
(a 1*a3
)^(1/2)
= a2
20+2024
+2428,8
+28,8,8
34,56+
34,56
++100100
1,201,20* 1,20* 1,20
1,441,44
1,44 1,44 * 1,20 * 1,20
1,7281,728
172,80+ 34,56207,36
1,728 1,728 * 1,20 * 1,20
2,07362,0736
20+2024
+2428,8
+28,8,8
34,56+
34,56
++100100Fator Multiplicador
ouFator de Capitalizaçãomultiplicado pelo Capital
resulta no Montante
M = CM = C**((i + 1)((i + 1)^n^n) ) M = CM = C**((i + 1)((i + 1)^n^n) ) 100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^1^1) = 120) = 120 100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^1^1) = 120) = 120 100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^2^2) = 144) = 144 100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^2^2) = 144) = 144100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^3^3)) == 172,80172,80100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^3^3)) == 172,80172,80100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^4^4)) == 207,36207,36100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^4^4)) == 207,36207,36
20+2024
+2428,8
+28,8,8
34,56+
34,56
++100100
++100100
34,56+
34,56
20+2024
+2428,8
+28,8,8
172,80172,80144,00144,00
JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOS
100,00 20,0020,00 120,0024,0024,00 144,00
172,8028,8028,80207,36
i = 20% = 0,2i = 20% = 0,2 it +1=1,2
100,00100,00t = 1t = 1
144,00144,00
1,2
1,2
1,2
120,00120,00120,00120,00
34,5634,564 = 2,07361,2
Fator de CapitalizaçãoC C * * (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n ^ n) ) == MMC C * * (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n ^ n) ) == MM
172,80172,80
i +1=1,2
Termos eqüidistantes têm produtos iguais eo termo do meio é a média geométrica de
termos eqüidistantes.
(a1*a5)^(1/2) = a3
(100 * 207,36)^(1/2) = 144
(a1* a5) = (a2 * a4)(100 * 207,36)=(120 * 172,80)
20.736 = 20.736
(a1* a5) = (a2 * a4)a4 = (a1* a5) / a2
Quando falamos em juros, falamos de umCapital aplicado por um tempo determinado,
rendendo uma taxa que também tem umtempo determinado. Assim, a taxa pode
ser mensal e a aplicação não ser mensal;ser trimestral, semestral ou anual.Não há mistério, elevaremos (i+1)
a n vezes 3, 6 ou 12 , respectivamente.No caso inverso, ou seja:
o tempo da taxa ser superior ao da aplicaçãoeleva-se (i+1) a uma fração de
numerador = n denominador = tempo da taxa.
M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ n ^ n))
Caso 1:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao mês,
durante 1 ano. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.Este 1, entretanto, representa 12 meses,
portanto, elevamos (i+1) a (12/1) = (i+1)^12.Neste caso, a fórmula será:
Caso 2:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao mês,
durante 1 semestre. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.
Este 1, entretanto, representa 6 meses,portanto, elevamos (i+1) a (6/1) = (i+1)^6.
Neste caso, a fórmula será:
Caso 3:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao mês,
durante 1 trimestre. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.
Este 1, entretanto, representa 3 meses,portanto, elevamos (i+1) a (3/1) = (i+1)^3.
Neste caso, a fórmula será:
Caso 4:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao dia,
durante 1 mês. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.
Este 1, entretanto, representa 30 dias,portanto, elevamos (i+1) a (30/1) = (i+1)^30.
Neste caso, a fórmula será:
M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (12/1) ^ (12/1))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (6/1) ^ (6/1))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (3/1) ^ (3/1))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (30/1) ^ (30/1)))
M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ n ^ n))
Caso 5:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao dia,
durante 1 trimestre. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.
Este 1, entretanto, representa 90 dias,portanto, elevamos (i+1) a (90/1) = (i+1)^90.
Neste caso, a fórmula será:
Caso 6:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao dia,
durante 1 semestre. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.
Este 1, entretanto, representa 180 dias,portanto, elevamos (i+1) a (180/1) = (i+1)^180.
Neste caso, a fórmula será:
Caso 7:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao dia,
durante 1 ANO. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.
Este 1, entretanto, representa 360 dias,portanto, elevamos (i+1) a (360/1) = (i+1)^360.
Neste caso, a fórmula será:
CONCLUSÃOPara obtermos a integralidade da taxa,é necessário um determinado tempo.Como uma fração que só atinge o seu
valor inteiro, quando completa-se.Assim, um mês é 30/30, pois o mês está
dividido em 30 partes (30 dias); assim comoo ano, que pode estar dividido em 12 ou
360 partes, meses ou dias, respectivamente.
Se o tempo de aplicação forMAIOR
do que o tempo da taxa,significa que receberemos esta taxa
várias vezes.Assim, a exemplo, se a taxa é em dias
e aplicamos por 1 ano temos
360/1 = 360
M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (90/1) ^ (90/1))) M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ (180/1) ^ (180/1))) M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ (360/1) ^ (360/1)))
Se o tempo de aplicação forMENOR
do que o tempo da taxa,significa que NÃO receberemos esta taxa
inteira, receberemos parte dela.Nestes casos, teremos de tirar a raiz de
quantas partes o todo se dividia e elevarmosa quantas partes temos do todo.
Caso 1:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao ano,
durante 1 mês. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.Este 1, entretanto, representa 1/12 do ano,
portanto, elevamos (i+1) a (1/12).Neste caso, a fórmula será:
Caso 2:R$ 100,00 à taxa de 200% ao semestre,
durante 1 mês. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.
Este 1 representa 1/ 6 do semestre,portanto, elevamos (i+1) a (1/6).
Neste caso, a fórmula será:
Caso 3:R$ 100,00 à taxa de 200% ao trimestre,
durante 1 mês. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.
Este 1 representa 1/3 do trimestre,portanto, elevamos (i+1) a (1/3).
Neste caso, a fórmula será:
Caso 4:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao mês,
durante 1 dia. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.
Este 1, entretanto, representa 1/30 do mês,portanto, elevamos (i+1) a (1/30).
Neste caso, a fórmula será:
Caso 5:R$ 100,00 à taxa de 200% ao trimestre,
durante 1 dia. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.
Este 1 representa 1/90 do trimestre,portanto, elevamos (i+1) a (1/90).
Neste caso, a fórmula será:
Caso 6:R$ 100,00 à taxa de 200% ao semestre,
durante 1 dia. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.
Este 1 representa 1/180 do semestre,portanto, elevamos (i+1) a (1/180).
Neste caso, a fórmula será:
Caso 7:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao ano,
durante 1 DIA. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.
Este 1, entretanto, representa 1/360 do ano,portanto, elevamos (i+1) a (1/360).
Neste caso, a fórmula será:
M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ 1/n ^ 1/n))
Caso 8:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao ano,
durante 49 DIAS. Temos: i = 200/100 = 2 n = 49.
Estes 49 representam 49/360 do ano,portanto, elevamos (i+1) a (49/360).
Neste caso, a fórmula será:
CONCLUSÃOPara obtermos a integralidade da taxa,é necessário um determinado tempo.Como uma fração que só atinge o seu
valor inteiro, quando completa-se.Assim, um mês é 30/30, pois o mês está
dividido em 30 partes (30 dias); assim comoo ano, que pode estar dividido em 12 ou
360 partes, meses ou dias, respectivamente.
Se o tempo de aplicação forMENOR
do que o tempo da taxa,significa que NÃO receberemos esta taxa
inteira, receberemos parte dela.Assim, a exemplo, se a taxa é ao ano
e aplicamos por 49 dias teremos 49/360,ou seja, teremos 49 partes de um todo
que se completava em 360 partes.
Em nossos exemplos,trabalhamos com o ano comercial,no qual o mês tem sempre 30 dias
e o ano tem sempre 360 dias.O juro obtido é chamado de
juro comercial ou juro ordinário.No juro exato, o ano tem 365 diase o mês pode ter de 28 a 31 dias.
M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (1/12) ^ (1/12))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (1/6) ^ (1/6))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (1/3) ^ (1/3))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (1/30) ^ (1/30))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (1/90) ^ (1/90))) M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ (1/180) ^ (1/180))) M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ (1/360) ^ (1/360)))M = M = CC ** (( i + 1)(( i + 1) ^̂ (49/360)(49/360)))
CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$100,00 5,00% 1
CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$500,00 5,00% 5
CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$15.777,00 12,00% 9
CAPITAL % a m ANOS JUROS ? MONTANTE ?R$250,00 2,50% 3
CAPITAL % a a em Meses JUROS ? MONTANTE ?R$100,00 6,00% 1
CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$2.000,00 5,00% 1
CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$200,00 8 R$1.014,19
CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$10.000,00 8 R$607.107,52
CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$2.000,00 8 R$18.434,08
CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?5,00% 5 R$500,00
CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?5,00% 5 R$108,24
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F I M
F I M
F I M
F I M
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Você pode parar a qualquer momento, basta
clicar no botão FIM.
Por: Amauri Pinheiro - Reg.Prof. 13.221
1 - Princípios Básicos - As Frações1 - Princípios Básicos - As Frações
2 - Porcentagem e Juros Simples2 - Porcentagem e Juros Simples
3 - Juros Compostos e Taxas3 - Juros Compostos e Taxas
4 - Taxas e Descontos4 - Taxas e Descontos
5 - Tabelas Price e SAM5 - Tabelas Price e SAM
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