Juros compostos é uma seqüência de juros simples. A primeira seqüência é igualzinha. Como os juros são reinvestidos, o montante vira capital na seqüência

Juros compostos é uma seqüência de juros simples. A

primeira seqüência é igualzinha. Como os juros são reinvestidos,

o montante vira capital na seqüência seguinte. O tempo

será sempre igual a 1. Como um prédio: tem vários andares, mas

cada andar é UM andar.

Juros compostos é uma seqüência de

juros simples. O primeiro período é igualzinho; nos

outros, o capital é o montante do

período anterior.

i = 200% = 2COMPOSTOSCOMPOSTOS

100 200 300600 900

2.7001.8005.400 8.100

SIMPLESSIMPLES

100i = 200% = 2

200200200200

900

300900

2.700

t = 1

800

Seqüência de juros simples, onde o juros é

reinvestido. Assim, o

montante de uma seqüência

torna-se o capital da seqüência seguinte.

JUROS SIMPLES E COMPOSTOSJUROS SIMPLES E COMPOSTOS

8.100

2.7002.700900900

3 X 3 X 3 X 3

100 200200 300600600 900

2.7001.8001.8005.4005.400 8.100

i = 200% = 2i = 200% = 2(it)+1=3

4

t = 1t = 1

9009002.7002.700

(it)+1=3

(it)+1=3

(it)+1=3

= 81

300300

JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOS

100100300300

= 3

100100 300300 9009002.7002.700

2002006006001.8001.8005.4005.400


300 900 2.700 8.100100100

((it)+1) (it)+1=3 (it)+1=3 (it)+1=3(i*1)+1i + 1 i + 1 i + 1 i + 1(2)+13 3 3 3

3 X 3 X 3 X 3 = 3 4 = 81

3 = i + 1 (i + 1)^n4 = n

300300 900900 2.7002.700 8.1008.100(( i + 1 )(( i + 1 ) ^ n ^ n))resulta em um número que, multiplicadoresulta em um número que, multiplicado

pelo Capital, gera o Montante. A estepelo Capital, gera o Montante. A estenúmero chamamos de:número chamamos de:

Fator MultiplicadorFator Multiplicadorouou

Fator de CapitalizaçãoFator de Capitalização

(( i + 1 )(( i + 1 ) ^ n ^ n))resulta em um número que, multiplicadoresulta em um número que, multiplicado

pelo Capital, gera o Montante. A estepelo Capital, gera o Montante. A estenúmero chamamos de:número chamamos de:

Fator MultiplicadorFator Multiplicadorouou

Fator de CapitalizaçãoFator de Capitalização

M = M = CC ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n ^ n))M = M = CC ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n ^ n))

2.7002.700900900

100 200200600600

1.8001.8005.4005.400

100100

9009002.7002.700

300300300300

8.0008.000++


Juros

Sabendo-se que o Montante é igual a

Juros + Capital,tem-se que

Juros é igual a Montante - Capital.

J = M - C

J = C * (( i + 1 )^n) - C

8.1008.100Montante

J = C * ((( i + 1 )^n) - 1)(( i + 1 )^n)(( i + 1 )^n)

J = M - C

Montante é igual a Juros + Capital

M = J + Clogo:

Juros é igual a Montante - Capital

J = M - C

100100

8.0008.000

M = C * (( i + 1 )^n) .M = C * (( i + 1 )^n) .

J = C * ((( i + 1 )^n) - 1)

:

Observe que:Montante = 100 * 81

Juros = 100 * 80a diferença é:

Capital = 100 * 1Assim:Juros = 100 * (81-1)

Observe que:Montante = 100 * 81

Juros = 100 * 80a diferença é:

Capital = 100 * 1Assim:Juros = 100 * (81-1)

J = C * ((( i + 1 )^n) - 1) J = C * ((( i + 1 )^n) - 1) J = C * ((( i + 1 )^n) - 1) J = C * ((( i + 1 )^n) - 1)

++

CALCULANDO O JUROCALCULANDO O JUROJ = M - C como C = M / (1+i)^n

J = M - (M / (1+i)^n)Temos uma subtração de frações

(M/1) - (M / (1+i)^n)

o denominador será (1+i)^ne o numerador será:

M*((1+i)^n)-M ou M*((1+i)^n-1)

J = M *((1+i)^n-1) / (1+i)^n

A fórmula do Juro a partir do Montante é

= ++++--JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOS

M = C * (( i + 1 )^n) . M/C = (( i + 1 )^n). (M/C)^(1/n) = ( i + 1 ) . (M/C)^(1/n)-1 = ( i ) . (M/C)^(1/n)-1 = i .

8.100 = 100 * (( i + 1 )^4)8.100/100 = (( i + 1 )^4) . 81^(1/4) = ( i + 1 ) .

= **/ / ^̂\/\/____

=++++-- = **/ / = ^̂\/\/

____= (M/C)^(1/n)-1 = ( i * 100)% .

M = C * (( i + 1 )^n) . M/C = (( i + 1 )^n) .

(M/C)^(1/n) = ( i + 1 ) . (M/C)^(1/n)-1 = i ou .

8.100 = 100 * (( i + 1 )^4) .

8.100/100 = (( i + 1 )^4) . 81^(1/4) = ( i + 1 ) .

2 = ( i * 100)% . 3-1 = i ou

3-1 = ( i ) . 2 = i .i = (M/C)^(1/n)-1

M = (( i + 1 )^n) * C . M/C = (( i + 1 )^n) .

(M/C)^(1/n) = ( i + 1 ) .

(M/C)^(1/n)-1 = i ou. (M/C)^(1/n)-1 = ( i * 100 ) / 100 .

CALCULANDO A TAXACALCULANDO A TAXA

t = 1

M = M = C C ** (( i (( i ** t )t ) + 1) + 1)

M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n) ^ n)M=C+J


CC = J / = J / ((((( i + 1 )( i + 1 ) ^ n) - 1 ^ n) - 1))

i = ( M / i = ( M / C ) C ) ^ ( 1/n ) - 1 ^ ( 1/n ) - 1 J = J = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n) - 1 ^ n) - 1

10 = 5 * 2 logo: 5 = 10 / 2CC = M / = M / (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n) ^ n)

CALCULANDO O CAPITALCALCULANDO O CAPITALCALCULANDO O CAPITALCALCULANDO O CAPITAL

M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n) ^ n)J = J = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n) - 1 ^ n) - 1

JUROS COMPOSTOSJUROS COMPOSTOS300 900 2.700 8.100

a1 a2 a3 a4 a5

* q* q n-1n-1 == aa11 aa

nn

C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n ^ n) ) == MMC C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n ^ n) ) == MM

100 * 3100 * 3 (5-1)(5-1) = = a5 = 8.100 = 8.100 100 * 3100 * 3 44 == 8.1008.100

100100 300300 900900 2.7002.700 8.1008.1003 3 33

..

q q é a razão é a razãoq q é a razão é a razão

Exemplo: após 4 períodos R$ 100,00,aplicados em juros compostos,

transformaram-se em R$ 8.100,00.Qual o valor no final do 1º período?

Nas progressões geométricas um termo éigual à média geométrica de termos

eqüidistantes. Assim, o 3º termo é igual à média geométrica do 1º e do 5º termo; o 2º é igual à média geométrica do 1º e do 3º termo.

Média geométrica entre 2 números é a raiz quadrada do produto destes números.

100100 300300 900900 2.7002.700 8.1008.100

C A L C U L A N D O :

(a 1*a5

)^(1/2)

= a3

a1 = 100 a5 = 8.100

a3=(100*8.100)^(1/2)

a3=900a2=(100*900)^(1/2)

a2=300

(a 1*a3

)^(1/2)

= a2

20+2024

+2428,8

+28,8,8

34,56+

34,56

++100100

1,201,20* 1,20* 1,20

1,441,44

1,44 1,44 * 1,20 * 1,20

1,7281,728

172,80+ 34,56207,36

1,728 1,728 * 1,20 * 1,20

2,07362,0736

20+2024

+2428,8

+28,8,8

34,56+

34,56

++100100Fator Multiplicador

ouFator de Capitalizaçãomultiplicado pelo Capital

resulta no Montante

M = CM = C**((i + 1)((i + 1)^n^n) ) M = CM = C**((i + 1)((i + 1)^n^n) ) 100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^1^1) = 120) = 120 100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^1^1) = 120) = 120 100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^2^2) = 144) = 144 100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^2^2) = 144) = 144100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^3^3)) == 172,80172,80100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^3^3)) == 172,80172,80100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^4^4)) == 207,36207,36100100**((0,20 + 1)((0,20 + 1)^4^4)) == 207,36207,36

20+2024

+2428,8

+28,8,8

34,56+

34,56

++100100

++100100

34,56+

34,56

20+2024

+2428,8

+28,8,8

172,80172,80144,00144,00


100,00 20,0020,00 120,0024,0024,00 144,00

172,8028,8028,80207,36

i = 20% = 0,2i = 20% = 0,2 it +1=1,2

100,00100,00t = 1t = 1

144,00144,00

1,2

1,2

1,2

120,00120,00120,00120,00

34,5634,564 = 2,07361,2

Fator de CapitalizaçãoC C * * (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n ^ n) ) == MMC C * * (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ n ^ n) ) == MM

172,80172,80

i +1=1,2

Termos eqüidistantes têm produtos iguais eo termo do meio é a média geométrica de

termos eqüidistantes.

(a1*a5)^(1/2) = a3

(100 * 207,36)^(1/2) = 144

(a1* a5) = (a2 * a4)(100 * 207,36)=(120 * 172,80)

20.736 = 20.736

(a1* a5) = (a2 * a4)a4 = (a1* a5) / a2

Quando falamos em juros, falamos de umCapital aplicado por um tempo determinado,

rendendo uma taxa que também tem umtempo determinado. Assim, a taxa pode

ser mensal e a aplicação não ser mensal;ser trimestral, semestral ou anual.Não há mistério, elevaremos (i+1)

a n vezes 3, 6 ou 12 , respectivamente.No caso inverso, ou seja:

o tempo da taxa ser superior ao da aplicaçãoeleva-se (i+1) a uma fração de

numerador = n denominador = tempo da taxa.

M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ n ^ n))

Caso 1:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao mês,

durante 1 ano. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.Este 1, entretanto, representa 12 meses,

portanto, elevamos (i+1) a (12/1) = (i+1)^12.Neste caso, a fórmula será:


durante 1 semestre. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.

Este 1, entretanto, representa 6 meses,portanto, elevamos (i+1) a (6/1) = (i+1)^6.

Neste caso, a fórmula será:


durante 1 trimestre. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.

Este 1, entretanto, representa 3 meses,portanto, elevamos (i+1) a (3/1) = (i+1)^3.


Caso 4:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao dia,

durante 1 mês. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.

Este 1, entretanto, representa 30 dias,portanto, elevamos (i+1) a (30/1) = (i+1)^30.


M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (12/1) ^ (12/1))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (6/1) ^ (6/1))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (3/1) ^ (3/1))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (30/1) ^ (30/1)))

M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ n ^ n))


durante 1 trimestre. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.




durante 1 semestre. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.




durante 1 ANO. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.



CONCLUSÃOPara obtermos a integralidade da taxa,é necessário um determinado tempo.Como uma fração que só atinge o seu

valor inteiro, quando completa-se.Assim, um mês é 30/30, pois o mês está

dividido em 30 partes (30 dias); assim comoo ano, que pode estar dividido em 12 ou

360 partes, meses ou dias, respectivamente.

Se o tempo de aplicação forMAIOR

do que o tempo da taxa,significa que receberemos esta taxa

várias vezes.Assim, a exemplo, se a taxa é em dias

e aplicamos por 1 ano temos

360/1 = 360

M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (90/1) ^ (90/1))) M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ (180/1) ^ (180/1))) M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ (360/1) ^ (360/1)))

Se o tempo de aplicação forMENOR

do que o tempo da taxa,significa que NÃO receberemos esta taxa

inteira, receberemos parte dela.Nestes casos, teremos de tirar a raiz de

quantas partes o todo se dividia e elevarmosa quantas partes temos do todo.

Caso 1:R$ 100,00 aplicado à taxa de 200% ao ano,

durante 1 mês. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.Este 1, entretanto, representa 1/12 do ano,

portanto, elevamos (i+1) a (1/12).Neste caso, a fórmula será:

Caso 2:R$ 100,00 à taxa de 200% ao semestre,


Este 1 representa 1/ 6 do semestre,portanto, elevamos (i+1) a (1/6).


Caso 3:R$ 100,00 à taxa de 200% ao trimestre,


Este 1 representa 1/3 do trimestre,portanto, elevamos (i+1) a (1/3).



durante 1 dia. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.

Este 1, entretanto, representa 1/30 do mês,portanto, elevamos (i+1) a (1/30).


Caso 5:R$ 100,00 à taxa de 200% ao trimestre,


Este 1 representa 1/90 do trimestre,portanto, elevamos (i+1) a (1/90).


Caso 6:R$ 100,00 à taxa de 200% ao semestre,


Este 1 representa 1/180 do semestre,portanto, elevamos (i+1) a (1/180).



durante 1 DIA. Temos: i = 200/100 = 2 n = 1.

Este 1, entretanto, representa 1/360 do ano,portanto, elevamos (i+1) a (1/360).


M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ 1/n ^ 1/n))


durante 49 DIAS. Temos: i = 200/100 = 2 n = 49.

Estes 49 representam 49/360 do ano,portanto, elevamos (i+1) a (49/360).


CONCLUSÃOPara obtermos a integralidade da taxa,é necessário um determinado tempo.Como uma fração que só atinge o seu

valor inteiro, quando completa-se.Assim, um mês é 30/30, pois o mês está

dividido em 30 partes (30 dias); assim comoo ano, que pode estar dividido em 12 ou

360 partes, meses ou dias, respectivamente.

Se o tempo de aplicação forMENOR

do que o tempo da taxa,significa que NÃO receberemos esta taxa

inteira, receberemos parte dela.Assim, a exemplo, se a taxa é ao ano

e aplicamos por 49 dias teremos 49/360,ou seja, teremos 49 partes de um todo

que se completava em 360 partes.

Em nossos exemplos,trabalhamos com o ano comercial,no qual o mês tem sempre 30 dias

e o ano tem sempre 360 dias.O juro obtido é chamado de

juro comercial ou juro ordinário.No juro exato, o ano tem 365 diase o mês pode ter de 28 a 31 dias.

M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (1/12) ^ (1/12))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (1/6) ^ (1/6))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (1/3) ^ (1/3))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (1/30) ^ (1/30))) M = M = C C ** (( i + 1 ) (( i + 1 ) ^ (1/90) ^ (1/90))) M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ (1/180) ^ (1/180))) M = M = C C ** (( i + 1) (( i + 1) ^ (1/360) ^ (1/360)))M = M = CC ** (( i + 1)(( i + 1) ^̂ (49/360)(49/360)))

CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$100,00 5,00% 1

CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$500,00 5,00% 5

CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$15.777,00 12,00% 9

CAPITAL % a m ANOS JUROS ? MONTANTE ?R$250,00 2,50% 3

CAPITAL % a a em Meses JUROS ? MONTANTE ?R$100,00 6,00% 1

CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$2.000,00 5,00% 1

CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$200,00 8 R$1.014,19

CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$10.000,00 8 R$607.107,52

CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?R$2.000,00 8 R$18.434,08

CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?5,00% 5 R$500,00

CAPITAL TAXA PERÍODOS JUROS ? MONTANTE ?5,00% 5 R$108,24

Calcule Taxa e Juros

Calcule Capital e Juros

Calcule Capital e Montante


Calcule Juros e Montante

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F I M

F I M

F I M

F I M

F I M

F I M

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Por: Amauri Pinheiro - Reg.Prof. 13.221

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4 - Taxas e Descontos4 - Taxas e Descontos

5 - Tabelas Price e SAM5 - Tabelas Price e SAM

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Juros compostos é uma seqüência de juros simples. A primeira seqüência é igualzinha. Como os juros são reinvestidos, o montante vira capital na seqüência