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Capítulo 7

Leis de Kirchhoff

LEI DE KIRCHHOFF PARA A TENSÃO (LKT)

A lei de Kirchhoffpara a tensão, ou lei das malhas, afirma que a tensão aplicada a um circuito fechado é igual àsoma das quedas de tensão nesse circuito. Este fundamento foi usado no estudo de circuitos série e foi expressoda seguinte forma:

Tensão aplicada = soma das quedas de tensão

(7-1)

onde ~A é a tensão aplicada e V~, 112 e 113 são as quedas de tensão.Uma outra forma de se enunciar a LKT é: a soma algébrica das elevações, ou aumentos, com as quedas de ten

são deve ser iguala zero. Uma fonte de tensão ou fem é considerada como uma elevação de tensão; uma tensão emum resistor consiste numa queda de tensão. Para ~cilitar a denominação, normalmente se usa índices alfabéticospara indicar as fontes de tensão e índices numéricos para indicar as quedas de tensão. Esta forma da lei pode serescrita transpondo os termos da direita da Equação (7-1) para o lado esquerdo:.

Tensão aplicada — soma das quedas de tensão = O

Substituindo por letras:

Vs—Vi—Vz—V30

Introduzindo um símbolo novo,!, a letra grega maiúscula sigma, temos

(7-2)

na qual LV, a sorna algébrica de todas as tensões ao longo de qualquer circuito fechado, é igual a zero. L significa“somatório de”. -

Atribuímos um sinal positivo (+) para uma elevação de tensão e um sinal negativo (—) para urna queda de ten- -

são na fórmula EV= O (Figura 7-1). Ao percorrer as quedas de tensão ao longo de um circuito, comece no terminalnegativo da fonte de tensão, O percurso do terminal negativo até o terminal positivo, passando pela fonte de tensãocorresponde a uma elevação de tensão. Continuamos a percorrer o circuito do terminal positivo passando por todosos resistores e voltamos ao terminei negativo da fonte, Na Figura 7-1. se começarmos pelo ponto a, o terminal negativo da bateria, e se percorrermos o circuito no sentido abcda, atravessaremos V~ do — para 0+, assim V~ = +100V.

E 1’ a ‘2 — ~‘t — 1’~ — 1’3

V2=30V = 100-50—30—20a 100—100=0

Se partirmos do ponto b e percorreremos o circuito no sentido oposto badcb, atravessaremos V4 do + pano —, assina= —100V. A queda de tensão através de qualquer resistência será negativa (—) se a percorreremos no sentido do t

parao-.Assim,naFigura7-l, sepercorre mosocircuitonosentjdoabcd,j, V~=-5OV, V2—30Ve1Ç~=-2OV.Aqueda de tensão será positiva (+) se atravessarmos a resistência do sentido do — para o+. Portanto, ao percorreremoso circuito no sentido abcda, teremos

Lv = oVÀ — Vi ½— = O

100—50—30 —20 = O

0=0

Exemplo 7.1 Determine o sentido da tensão ao longo do circuito abcda (Figura 7-2) e em seguida escreva as expressõespara as tensões ao longo do circuito.

Adote o sentido da corrente conforme indicado na figura. Marque as polaridades + e — de cada resistor.

ti, = o

+VA — i’1 — 1/2 — 1/3 — i’3• =

a 6V

VI 7

-1-

o 1’3n2V

Figura 7-2 Ilustração da lei de Kirchhoffpara tensão com duas fontes.

P7gum 7-3 Determinação de uma fonte de tensão.

b~ ~ c

CAPÍTULO 7• LEIS DE KIRc1~n1orF 123

‘2~

a V3=20V d

Figura 7-1 Ilustração da fórmula XV = 0.

é urna fonte de tensão (+).

~1 duma queda de tensão (—).V2 duma queda de tensão (—).

6 urna fonte de tensão (—).

1/3 é uma queda de tensão (—).

(É uma elevação de tensão no sentido adotado pan a comute.)(É uma diminuição no sentido adotado para a corrente.)(É uma diminuição no sentido adotado.)(É urna diminuição de tensão no sentido adotado para a corrente.)(É uma diminuição no sentido adotado.)

= 3V

VI VA=ISVS

a d

124 ELEWIcIDADE BÁSICA

Agrupando os aumentes e as quedas de tensão:

— (111 + V2 + 1’3 + VB)

Observe que as quedas de tendo incluem urna fonte dc tendo, V,. Normalmente. urna fonte seria positiva. Neste caso,a polaridade da fonte age contra o sentido siotado para a corrente. Porisato, o seu efeito é o de reduzir a tensão

Exemplo 7.2 Determine a teu sKo V~ (Figura 7-3).O sentido do fluxo da conente está indicando através da seta. Marquespolaridade das quedas de tensão nos resistores.

Percorra o circuito no sentido do fluxo da cotxeiae partindo do ponto a. Esatva a equaç~o da tensão ao longo dc circuito.

EV=O

Utilize as regras do + e — para os aumentos e quedas de ttns~o respeclivamente.

Obtenha o valor de VB.

— V1 — — 1’3 = O

(7-2)

VB=VA—V1—V2-- V3=15—3—6—2=4V Resp.

Como se obteve um valor positivo de V~, o sentido adotado para a corr~te ~ de fato o sentido da corrente.

LEI DE KIRCHHOFF PARA A CORRENTE (LKC)

A lei de kirchhoffpara a corrente, ou lei dos nós, afirms que a sorna das correntes que en#um numa junção é iguala soma das correntes que saem da junção. Suponha que tenhamos seis correntes saindo e entrando numa junçãocomum ou ponto, por exemplo, o ponto P (Fipira 7-4). Este ponto comum é também chamado dc nó.

Ponto cctnufl3, junção ou ii6

Figura 7-4 As correntes em um ponto comum.

Soma de todas as correntes que enitam soma de todas as correntes qcie saem

fl + I~3 + 14 + ‘6 12 + 15

Substitufdo por letras:

se consideramos as contntes que entram numa jun9âo como positivas (÷) e as que saem da mesma junç~o comonegaüvas (—), entilo esta lei afirma tamb4m que a soma algébrica de todas as conentes que se encontram num junção comum é zero. Utilizando o símbolo de somatório, E. temos;

EI = O (7-3)

CAPITULO 7 • LEIS DE KIRCI*IOFF 125

onde El, a soma algébrica de todas as correntes num ponto comum, ó zero.

1j — 12 + 13 + 14—13 + 16 = O

Se transpusermos os termos negativos para o lado direito do sinal de igual, teremos a mesma forma da equaçãooriginal.

Exemplo 7.3 Escreva a equaç~o para a corrente 1~, na parte (a) e na parte (b) da Figura 7-5.

la—?.w.

4—.

{b)

Figura 7-5 Ilustração da ei de Kirchhoff para corrente (LXC).

A soma algébrica de todas as correntes em um nó é zero. As correntes que entram são -1-; as correntes que saem são —

(a) +11—12—13=0

11I2+ly Resp.

(1’) +lj—F2—13—14=0

u1l2+13+14 Resp.

Exemplo 7.4 Calcule as correntes desconhecidas na parte a e na parte b da Figura 7-6.

li=ka13734A Resp.(b) +11+12—13+14=0

t4~I~jI2+l32t3*4lA Resp.

O sinal negativo dei4 significa que o sentido adotado para 4 está incorreto e que 4, na verdade, está saindo do ponto P.

(a)

e- —,

= 2À_,____?S_~ 4A

-‘2(a) (1’)

Figura 7-6 Determinação da corrente.

A soma algébrica de todas as correntes em um nó é zero. As correntes que en~am são i-; as correntes que saem são—.

(°) —11-1-12—13=0.

126 ELETRICIDADE BÁSICA

AS CORRENTES DE MALHA

Ás leis de kixchhoff podem ser simplificadas por meio de um método que utiliza as correntes de nwlha. Uma mc-11w é qualquer percurso fechado de um circuito. Não importa se o percurso contém ou não uma fonte de tensão.Ao resolver um circuito.utilizando as correntes de malha, temos que escolher previanxente quais os percursos queformarão as malhas. A seguir, designamos uma corrente de malha para cada malha. Por conveniência, as correntesde malha são geralmente indicadas no sentido horário. Este sentido E arbitrário, mas é o mais usado. Aplica-se então a lei de kirchhoff para a tensão ao longo dos percursos de cada malha. As equações resultantes determinam ascorrentes de malha desconhecidas. A partir dessas correntes, podem-se calcular a corrente ou a tensão de qualquerresistor.

Na Figura 7-7, temos um circuito com duas malhas denominadas de malhal e malha 2. A malhal é formadapelo percurso abcda e a malhal é formada pelo percurso adefa. Todas as fontes de tensão e as resistências sãoconhecidas. O procedimento para se determinar as correntes 4 e 4 das malhas do seguinte:

Passo 1: Depois de definir as malhas, mostre as correntes 4 e ‘2 das malhas no sentido horário. Indique apolaridade da tensão em cada resistor, de acordo cora o sentido adotado para a corrente. Lembre-se de que o fluxo convencional de corrente, num resistor, produz uma polaridade positiva onde acorrente entra.

Passo 2: Aplique a lei de Kirchhoff para a tensão, ZV= 0, ao longo de cada malha. Percorra cada malha nosentido da corrente de malha. Observe que há duas correntes diferentes (4,4) fluindo em sentidosopostos, através do resistor li2, que é comum a ambas as malhas. Por esse motivo aparecem doisconjuntos de polaridades para 1?, (Figura. 7-7). Percorra a malha 1 no sentido abcda.

+VA 2. 11R1 — 11i?2 + lzi?2 = O

+VA—It(Rl +Rz)+12R10

+Ii(Ri+Rz)—12R2=V4 (1)

Observe que na primeira expressão I,fl2é positivo (+), pois passamos por uma queda de teu-são do — para o +.

Percorra a malha 2 no sentido adefa.

1’3

Figura 7-7 Um circuito com duas malhas.

—12R2+11R2—12R3 — l’j =0

(2)

- Observe que lI)?2 é uma queda de tensão positiva (-i-), pois passamos por uma queda de tensãodo — para o +.

Passo 3: Calcule 4 e 4, resolvendo as Equações (1) e (2) simultaneamente.

CAPtWLO 7 • LEIS DE K1RCRHOFF 127

Passo 4: Quando as correntes de malha forem conhecidas, calcule todas as quedas de tensão nos resistoresutilizando a lei de Ohm.

Passo 5: Verifique a solução das correntes dc malha percorrendo a malha abcdefa.

VA — — lzl?s — Vi = O

Exemplo 7.5malha e as quedas de tensAo no circuito.

Figura 74 Determinação das correntes de malha e das quedas de tensão.

Passo 1: Escolha as duas malhas conforme a indicação da figura. Indique a corrente da malha no senfido horário. Indique as polaridades em cada reBistor.

Pasao2: ApliqueZV=0~sma1ha~ 1~

VÁ = 55

=10V 11= lOA1 R2

(a) (b)

b a

-4 = 6 A

Malha l,t2bcda: +58 —~ti ~ *312=0

+711—312=5S (1)

Malba2,adefa: 3h —312—212 — 10=0

311—512=10 (2)

Observe que as correntes l~ e ‘2 das malhas passam aftavés de I?2, o resistor comum a ambas.

Passo 3: Calculei, e 4, resolvendo as Equações (1) e (2) simultaneamente.

7h — ~ = 58 - (1)

311—512=10 (2)

Multiplicando a Equação (1) por 5 e a Equação (2) por3 obtêm-se as Equações (la) e (2a). A seguir, subtrai-sea Equação (2a) da Equação (la).

3511—1512=290 (Ia)

~‘i —1512= 30 (2a)

h=1OA .‘~.

128 EL2TRICIDADE BÁsicA /

Substituindo 1~ = lOA na Equação (1), obtêm-se 1~.

711—312=58

7(10)—31a=S8

—31z~58—70

Resp.

A corrente através do ramo da é

1da11l2l046A Resp.

Nesta caso, o sentido adotado para a corrente da malha estava correto, porque os valores das correntes são positivos.Se os valores das correntes fossem negativos, o sentido verdadeiro seria o oposto ao sentido adotado para a corrente (vejaa Figura 7-81’).

Passo 4: Calcule todas as quedas de tensão.

V1=11R1=l0(4)=40V Rnp.

= (li — 12)l?2 = 6(3) = 18V kesp.

V3=12R3=4(2)=SV Resp.

Passo 5: Verifique a solução obtida para a corrente da malim percorrendo o laço abedefa e aplicando a lei de Kircbhoffpara tensão.

VA—Vl—VS—VR—— O

58—40—8—10 = O

58—58=0

00 Vénficado

TENSÕES DOS NÓS

Outro método para resolver um circuito com correntes de malhas utiliza as quedas de tensão para determinar ascorrentes em um nó. Escreve-se, então, as eguaçóes dos nós para as correntes, de forma a satisfazer a lei de Kirchhoff para a corrente. Resolvendo as equações dos nós, podemos calcular as tensões desconhecidas dos nós. Um nóé uma conexão comum a dois ou mais componentes. Um nó principal possui três ou mais conexões. Num circuito,associa-se uma letra ou um número a cada nó. A, 8, O e N são nós, sendo O e N nós principais ou junções (Figura7-9). Uma tensão de nó é a tensão de um determinado nó com relação a um nó em particular, denominado de nóde referência. Escolha o nó G conectado ao terra, ou chassi, como o nó de referência. Então, VÂQ é a tensão entreos nósA eG, V~éatensãoentreosnós8e (3, e V,~éatensãoentxtosnósNeG. Comoatensãodonóésempredeterminada em relação a um detenninado nó de referência, as notações V4, V~ e V~ são usadas para substitufremV,~, V~ e V,~, respectivamente.

Com exceção do nó de referência, pode-se escrever equações que usam a lei de lCiichhoff para corrente emcada nó principal. Logo, o número de equações necessárias é igual ao número de nós principais menos 1. Como ocircuito apresentado (Figura 7-9) contém dois nós principais (N e G), precisamos escrever somente uma equaçãopara o nó N, a tini de calcular todas as quedas de tensão e as correntes do circuito.

-j

— 1’,’

Se VA, V~, R1, R2e 1?~ forem conhecidos, V~,pode ser calculado a partir da Equação (2). Assim, todas as quedasde tensão e as correntes do circuito podem ser determinadas.

Exemplo 7.6 O circuito da Figura 7-8 (Exemplo7.5) resolvido pelo m&odo das correntes nos ramos está redesenhadona Figura 7-10. Resolva por meio da análise das tens6es nodais.

Passo 1: Adote o sentido das correntes conforme mostrado na Figura 7-10. Indique os nós A, li, Me G. Identifique apolaridade da tensão em cada resistor de acordo com o sentido considerado para a corrente.

Passo2: ApliqueaLKCaonóprincipalNeresolvaasequaçõesparaobter ~M

Cn’twLo 7 • LEIS DE KlnctIHoF~ 129

N _Rs+ 8

? •lVb

E~-

‘1~”Malhal Malhal

Figure 7-9 Os nós num elreultocom duas malhas.

Considere que as correntes nos ramos I~ e 12 entram no nó N e que 4 saia do nó N (Figura 7-9). A escolha dosentido das correntes 6 arbitrária. A partir da lei de Kircbhoff para corrente,

ti =0

11 + 1213 = O

13 = 11 + l~

Pela lei de Ohm,

13=—

—

1?3

Substituindo essas expressões na Equação (1),

Vp,r = — V~ + 1’~ —

(1)

(la)

(1h)

(lc)

(2)

13 13 + ~2

130 ElErnIcIop.OE BÁSICA

A ~R1_ ~ - 8

vI___> <~_v340 4 20

+ +r~=sgv ~v3=1ov

‘3

Malhal o ~ Mallia2

Figura 740 Análise das tensões nodais para o mesmo circuito da Figura 7-8.

~N VA—Vj,r V3—VN—~= +

58— VN + 1O—VN3 4 2

Elimine as fraçôes multiplicando cada termo por li

4Vg=3(58—VN)+~Ø(l0— VN)

4~N= 174—3Vp,r+60—6Vji

‘3~N =234

VN = 18V

Passa 3: Calcule todas as quedas de wnslio e as correntes.

V1=V4—Vjy=58—1840V Resp.

YZzVN=l8V Resp.

V3Vj~-Vjq~zl0—l&—8V Resp.

O valor negativo de V, indica que 4 flui no sentido oposto ao sentido adotado e a polaiidade de V3 é o inversodos sinais mostrados em R3 (Figura 7-10).

V1 4011y-4-lOA Resp.

V3 —812=—=—=—4A Resp.

R3 2

13=11+12=10—4=6A Resp.

Wr~flcarR2 3

Todos os valores calculados concordam cornos do Exemplo 7.5.

Problemas Resolvidos

CAPtruLo 7 • LEIS DE KIRCHHOFF 131

+1v

= o—1’, — Vc — V2 — VB + VÁ — = O

(VA — Vc) — (TI1 ÷ 1— TI3) = O

Elevações dc tensão Quedas & tensão

a b

Figura 742 Determinação das correntes pela LKC.

+ “e -

1’ v

7.1 Determine os sinais das tens~es ao se percorrer a malha afedcl’a e escreva as expressõeà para a LKT (Figura7-ll).

1’

Á .3

Figura 7-11 Percorrendo duas malhas.

Considere que os sentidos das correntes sejam os indicados. Marque as polaridades em cada resistor.

TI, é — pois atravessamos uma queda & tensão do + para o —.

V~ 6— pois passamos por um aumento de tensão do + para o —.

V2 é - pois passamos por uma queda de tensão do + para o-.~ é — pois atravessamos um aumento de tensão do ÷ para o—.V~ é + pois atravessamos um aumento de tensão do — para 0+.

I~1 é — pois passamos por uma queda de tensão do + para o—.

Resp.

IS Calculei, e 14 (Figura 7-12).

-÷ -*

I+30A 14r?

~:2Ajhi~0Aj

--a

132 ELEmICIoADE BÁSICA

ApllqueaLKC, ZI=Oaonóa.

30 — 12— 14 = O

14=30—L2=ISA Resp.

Aplique a LKC, EI = O ao nó b.

18—10—13=0

l3=18—108A Resp.

Verifique a soluçEo.

IT=lL+12+13

30=12+10+8

30=30 Ve*ado

73 Calcule todas as correntes nas malhas paraocircuito de duas malhas mostado na Figura 7-13.

= 85

Figura 7-13 Duas malhas com uma fonte de tensão no ramo central.

Passo 1: Indique as correntes nas malhas no sentido horúrio.

Passo2: ApliqueZV=Oparaasmalhasle2ecorracadamalha.aPartirdea.flOSenüdOdaCOrItflWda malta.

Malhal:1011 =40

lj=4~ Resp.

MalhnZ: 45—512=0

)~=9A Rerp.

Passo 3: Faça a verificação percorrendo os laços nas malhas 1 e 2 aplicando EV= O.

VA—ILRI—I2RZ=0

85—4(10)—9(5)=0

85 — 40—45 O

85—85 O Verificado

CAPÍTULO? • LEIS DE KIRCHHOFF 133

7.4 Calcule todas as correntes de malha e as quedas de tensão para o circuito de duas malhas mostrado na Figura 7-14.

I~4 - 110v

Figura 7-14 Duas malhas com uma tente de tensão e uni resislor no ramo central.

Passo 1: Mostre o sentido das correntes de malha conforme indicado.

Passo 2: Aplique ZV=0 panas malhas 1 e 2, no sentido da corrente em cada nialha.

Malha l,abc&z: I1O—Sl~ —190—511+512=0 (1)

—1011+512—80=0

—lOIi+SIz=80

Malha2,adefiz: 511—512+190—1512—2012=0 (2)

511—4022= —190

Passo 3: Calcule I~ e I~, resolvendo as Equaç~es (1) e (2) simultaneamente.

—1011+512= 80 (1)

511 —4012 = —190 (2)

Multiplique a Equaç~o (2) por 2paia obter a Equaçâo (2a); em seguida linplemente a soma.

—10/1+ 512=80 (1)

tplt —. 8012 = —380 (2a)

O/ 300 /

12\~=4A Resp.

Substitna4=4AnaEquaçâo(1)paracalcularj.

—lOIi-j-5(4)=8O

—lOli=60

11=—6A Resp.

O sinal negativo significa que o sentido çonsiderado para 1~ nAo estava correto. Na reaiidade, o sentido de.i~ é o anti-horário. No ramo 4411 ei, estão no mesmo sentido.

d 113

b a 1

134 ELErHIQIOPJ)E 645 LOA

Portanto,

icidIl+12=6+410Ã Rexp.

Passo 4: Calcule as quedas de tensão.

Vi=JjRj=6(5)=30V Resp.

Vi = (Ii+h)Ri = l0(~) = 50V Resp.

Va=12R3=4G5)=60V Resp.

V4=IiR~=4(20)8OV Resp.

Passo 5: Faça a verificação. Percorra o laço abedefa (ntilize o sentido considerado inicialmente para ‘~e

+VA — — 121?3 — = 0

110— (—6)(5) —4(15) —4(20) =0

110 + 30—60 —80 = O

140-140=0 Verificado

7.5 Calcule a tensão V2 em %, pelo método da análise da tensão nodal (Figura 7-14a).

A ÷Rj_ ~ aç w.. 1~3 E

V1__+ e—’E~ ,—

1 — —

+1 + 20 20

J~=12V~ 20 — +

1 6V

(a) Esquema do circuito (b) Percurso fechado 030

Figura 745 Determinação de 1’2 pelo método da tensâo nodal,

Passo 1: Considere o sentido mosuado para as correntes. Maique as polaridades da tensão. Indique osnós A, 8, N, G.

Passo 2: Aplique EI = O ao nó principal N.

13=11+12 (1)

Ví.(la)

Vj VA—VU 12—~N

8 (lb)

1’3 VB-.VN V3—VuI2i= Ã~ (Ic)

C~to7 • ~SDEKIRCKHO~ 135

Somos incapazes de determinar l’3 pela simples an~iise da Equação (lc), porque a queda deF tensão 1’4 não é dada (Figura 7-15a). Portaiito, utilizamos a LKT para determinar V~ percorren

do o circuito completo de O a B, no sentido & ‘2 (Figura 7-15b).GBG constitui um percursocompleto, porque 1’8 é a tensão em E com relação ao terra.

—6—212—V8=Q

= 6 — 212

Substitua a expressão para 1!~ na Equação (lc),

—6—212—Vw12—

a partir da qual obtemos

1: 12= 6

Substituaastrêsexpress&sparaconentenaEquaçâo(l).

Vjql2—V4y —6—Vg8 + 6 (2)

Agora a Equação (2) tem uma variável desconhecida, Ti,,,.

Passo 3: Calcule ‘2 (V2= VN). Multipliquecada termo da Equação (2) por 24.

I2VN =(36—3Vpi)+(—24—4Ypj)

12VN=C—=0,632V

19= 0,632V Resp.

7.6~va as equações.

~-2Ü 40 60.

í~>vH~20V-- 30 ~5O r5V

- +

Maibal Malhs2 Malha3

flgura 7-16 Uni circuito com três malhas.

Indique as correntes de malha no sentido horário. Percorra os laços no sentido adotado para a corrente,usandoaLKr,ZV=0.

Malhal: 20—211—311+312=0 (1)

Malha2: —412—512+513—312+311=0 (2)

MalhaS: —613+5—513-f-512=O (3)

136 EIrHI0IDADE BÁSICA

Combine e rearranje os termos em cada equaçâo.

Malha 1: 20 = 5I~ — ~ Resp.

Malha 2: O = 31L + 1212 —513 Resp.

Malha3: 5——512+tl1a Resp.

Um conjunto de qualquer número de equações simultineas, para um número qualquer de malha, podeser resolvido utilizando-se detentinantes. Este procedimento 6 apresentado no Capítulo 8.

Problemas Complementares

7.7 Calcule os valores desconhecidos indicados na Fig. 7-17 (a) e (b).Résp. (a)1=8A; (b)VB=1OV

20V~

1v~

1 6V 1

~Ca1cu1e a corrente e as quedas de tensão em E1 eR1 (Figura 7-18).Resp. 1=IA; V4=1OV; Y220V

(2’)

‘-À-A.

200 100

VÁ n 4OVT +

= 20 V

Figúra 748

=50V

10V 40 15V

_iIiI+ ‘tA 1111

~0~— 115 V

Figura 7-19

7.9 Uma corrente de 6 A percorre o circuito visto na Figura 7-19. Calcule o valor deR.Resp. R=5fl

e Calcule 1»13 t V~ (Figura 7-20).Resp. i2=6A;13=2Afl’~=152V

(la)(2a1(3a)

(a)

Figura 7-17

7.11 Calcule as correntes de malhal1 e 4 e todas as quedas de tensão pelo método das correntes de malha (Figa-Ia 7-21).Resp. 11=5A;12=3A;Y1=30V;V2=30V;V3=60V;V4=6V;V3=9V;V6=15V

294,

iOV~

7.14 Calcule as correntes 4 e e a corrente na bateria de 20 V, usando o método da cOrreflte de malha (Figura7-24).Resp. 1,=2A;4=5k4—4=3A(fluindodebpaxaa).

7.15 Calcule as correntes I~ e e a corrente no resistor em série com a bateria de 20V (Figura 7-25). Utilize ométodo da cormnte de malha.Resp. 1, —0,1 A; 4 -l A (o sentido considerado para a corrente inicialmentc estava incorreto. Na realidade, osentido dei, é o anti-horário); ~2 = 0,7 A 1, + 4 = 0,8 A (fluindo dei’ para a).

7.16 Calcule as correntes 4 ~ 4 e a corrente no resistor de 20 Ç2 comum às malhas 1 e 2 (Figura 7-26). Apliqueo método da corrente de malha.Resp. 11=O.6A;4=0,4A;12—ij=0,2A(fluindodcaparab).

7.17 Calcule rodas as correntes e as quedas de tensAo pelo método da corrente de malha. (Figura 7-27).Resp. 4=6A;1,=7A;l2—4=IA(fluindodebparaa).

= 8 A

CAi’fruLo7 • LEIS DE KlRcIlHoFr 137

VAL

200

‘l~i2

420 V600

Figura 7-20

120 59

Figura 7-21

cl Calcule todas as correntes nas resistências pelo método da corrente dcRexp. i,=3A;12~. 1A;11—12n2A(fluindodeaparab)

40 a 19

3. malha (Figura 7-22).

10V

.4-

25V..

[r~- 50

‘A,__

~60 :20

10 b 30 15

JSgura 7-22 Figura 7-23

(~j) Calcule a corrente em cada resistor, utilizando o método da corrente de malha (Figura 7-23).Resp. 1, = 2 A; 1, = —1 A (o sentido considerado para a contate inicialmente estava incorreto), ou 1, = 1 A no sentidoanti-horário; 1, + 4 = 3 A (fluindo de a para 15).

Figura 7-24 Figura 7-25

a 15Q 30 a

7.18 Calcule todas as correntes e as quedas de tensão pelo método da análise de tensão nodal (Figura 7-28).Resp. I3=5A;I_lA(emopsiç~OaoSeS1tk1OI1105d0);I,4I2=24~~3\’

7.19 Utilizando o método da tensão nodal, calcule todas as correntes e as quedas de tensão (Figura 7-29).Resp. j,1,42A;J _1,1OA(cmoposiÇAOaOSenfldOmOSft2il0)a3~,32k V,IIAV; ~O,64V V,2,2V¼ = 4A V

138 Etanic IDADE BÁSICA

300 a

40 100

1’ li

10 O

+20V

200 28

Figura 7-26 Figura 7-27

10 1’

.4.

80 •-_~

v l2V-~