1. Leis de Kirchhoff - · PDF fileManual de Electrónica Básica Capítulo 1 – Análise de redes eléctricas Página 5 1. Leis de Kirchhoff 1.1. DEFINIÇÕES Os circuitos eléctricos

Manual de Electrónica Básica

Capítulo 1 – Análise de redes eléctricas Página 5

1. Leis de Kirchhoff

1.1. DEFINIÇÕES Os circuitos eléctricos podem ser definidos como sendo dispositivos que permitem um ou vários trajectos fechados para a corrente eléctrica constituindo uma rede eléctrica. A rede apresenta pontos em que se encontram três ou mais condutores, a que chamaremos nós ou nodos, e trajectos da corrente eléctrica entre dois nós, a que chamaremos ramos. O nodo é, assim, um ponto do circuito em que se encontram três ou mais ramos, cada um percorrido por correntes diferentes. Ao conjunto de ramos que constituem um trajecto fechado, e que nos permitem partir de um ponto do circuito e chegar a ele, sem passar duas vezes pelo mesmo ramo, chamamos malha. Na figura 1, os pontos A e B serão nodos, e teremos os ramos ACB, AEB, ADB, passando cada um deles pelas diferentes resistências Temos neste circuito três malhas: ADBEA, ADBCA, AEBCA. A tensão em cada ramo do circuito é a diferença de potencial existente entre os seus terminais.

Figura 1 - Circuito eléctrico com malhas distintas. A figura 2 mostra um ramo simples constituído por uma resistência, a qual é percorrida por uma corrente I, cujo sentido é do terminal com maior potencial - A -, para o de menor potencial - B. A tensão nos terminais da resistência ou a queda de tensão na resistência é dada pelo produto do valor da corrente pelo valor da resistência ( Lei de Ohm ). O sentido positivo da queda de tensão num ramo do circuito é indicado por uma seta, conforme mostra a figura.

Figura 2 - Representação da tensão e da corrente num ramo.

1.1.1 1.ª LEI DE KIRCHHOFF ( LEI DOS NODOS OU DAS CORRENTES ) Como o seu próprio nome indica, é aplicada aos nós e diz o seguinte: A soma das correntes que se aproximam de um nó é igual à soma das correntes que se afastam desse mesmo nó.

No circuito da figura 1 teremos, quer no nó A, quer no nó B : I 1 + I 2 = I 3



1.1.2 2.ª LEI DE KIRCHHOFF ( LEI DOS MALHAS OU DAS TENSÕES ) Esta lei é aplicada as malhas e diz o seguinte: A soma algébrica das tensões numa malha é nula.

No circuito anterior teremos, por exemplo para a malha ADBEA : UAD + UDB +UBE + UEA = 0

1.2 APLICAÇÕES DAS LEIS DE KIRCHHOFF As leis de Kirchhoff são usadas para determinação das correntes nos ramos dos circuitos eléctricos. Cada ramo do circuito é percorrido pela sua própria corrente. Antes de escrever as equações da 1.ª e 2.ª lei de Kirchhoff deve-se proceder do seguinte modo: REGRA 1. arbitrar para cada ramo o sentido positivo de corrente e assinalá-lo com uma seta 2. arbitrar um sentido positivo de circulação ao longo de cada malha 3. se as tensões tiverem o mesmo sentido da circulação serão positivas, caso contrário serão

negativas.

1

2

Figura 3 - Arbitrar o sentido das correntes e da circulação nas malhas Para que as equações obtidas sejam realmente independentes, devemos escrever:

1. pela lei dos nodos, tantas equações como o número de nós menos um. 2. pela lei das malhas, tantas equações como o número de ramos sem fonte de corrente, menos o

número de equações escritas pela lei do nodos. Teremos tantas equações, quantas as correntes não determinadas. Uma malha deve incluir pelo menos um ramo não anteriormente incluído noutra malha. Consideremos o seguinte circuito, onde pretendemos determinar as correntes nos ramos.

Figura 4 - Determinação das correntes nos ramos do circuito



Comecemos por escolher os sentidos positivos das correntes em cada um dos ramos. Sejam os indicados na figura. Como temos dois nós, só devemos escrever uma equação, por exemplo no nó A :

I 1 + I 3 = I 2 Escolhemos de seguida duas malhas, pois são 3 correntes no total e já temos uma equação pela lei dos nós. Sejam as malhas as assinaladas por 1 e 2, com os respectivos sentidos da circulação assinalados. Na malha 1, e começando, por exemplo, no ponto A , a tensão na resistência R2, por ter o mesmo sentido da circulação, entrará no somatório como a tensão positiva. No gerador de f.e.m. E1, a tensão apresenta-se como negativa por ter um sentido contrário ao da circulação. Analogamente, a tensão em R1 é positiva. Resulta assim: R2.I 2 + E2 – E1 + R1.I 1 = 0

Tensão em R2 Tensão em R1

Na malha 2, a tensão no gerador de f.e.m. E3 será positiva mas em R3 já será negativa por se apresentar como tendo sentido contrário ao da circulação. O mesmo sucede no gerador de f.e.m. E2 e na resistência R2. Virá:

E3 – R3.I 3 – E2 – R2.I 2 = 0

Tensão em R3 Tensão em R1 O número de correntes a calcular são três e já dispomos das três equações necessárias:

I 1 + I 3 = I 2 R2.I 2 + E2 – E1 + R1.I 1 = 0

E3 – R3.I 3 – E2 – R2.I 2 = 0

Supondo que:

E1 = 24 V E2 = 12 V E3 = 18 V R1 = 1KΩ R2 = 4KΩ R3 = 2KΩ Temos, por substituição

I 1 + I 3 = I 2 4.I 2 + 12 – 24 + 1.I 1 = 0 18 – 2.I 3 – 12 – 4.I 2 = 0

( o valor das resistências vem em KΩ logo, a corrente virá em mA )

Resolvendo o sistema, começamos por substituir I 2 na 2.ª e 3.ª equações pelo valor da 1.ª equação:

I 2 = I 1 + I 3

4.( I 1 + I 3 ) - 12 + 1.I 1 = 0 ⇒ 5.I 1 + 4.I 3 = 12 6 - 2.I 3 - 4.( I 1 + I 3 ) = 0 - 4.I 1 - 6.I 3 = - 6



Multiplicando ambos os termos da 2.ª equação por 4 e os da 3.ª equação por 5, teremos:

20.I 1 + 16.I 3 = 48 ( x 4 ) - 20.I 1 - 30.I 3 = - 30 ( x 5 )

- 14. I 3 = 18 I 3 = - 1,286 mA

Substituindo o valor de I 3 na 3.ª equação, virá:

- 4.I 1 - 6 x( - 1,286 ) = - 6 ⇒ I 1 = -6 x ( - 1,286 ) + 6 ⇒ I 1 = 3,43 mA 4 Finalmente, substituindo na 1.ª equação os valores de I 1 e I 3 : I 2 = 3,43 + ( - 1,286 ) ⇒ I 2 = 2,14 mA O sinal menos na corrente I3 significa que o sentido da corrente é contrário ao arbitrado. As correntes que percorrem o circuito são: I 1 = 3,43 mA I 2 = 2,14 mA

I 3 = 1,286 mA Passemos à análise de outro exemplo: Pretende-se calcular as correntes no circuito e as tensões UBA e UCA .

Figura 5 - Circuito em analise - determinação das correntes nos ramos do circuito

Este circuito possui uma fonte de corrente dependente, isto é, o valor da corrente debitada depende do valor de outra grandeza, que neste caso é uma corrente do próprio circuito. Aplicando a lei dos nodos ao nó B:

I 4 + I 3 = I 1



É importante notar que um gerador de corrente ideal não tem nos seus terminais uma tensão que possa ser relacionada directamente com a corrente por ele debitada. A lei das malhas não pode, portanto, ser aplicada a malhas que contenham ramos com fontes de corrente, como foi dito anteriormente. Neste caso temos dois ramos sem fontes de corrente e, portanto só escrevemos uma equação:

E2 – R1.I 1 – E1 – R4.I 4 = 0

Temos então duas equações para calcularmos 2 correntes, já que a terceira corrente já é conhecida ( I 3 = 50.I 4 ) Usando este valor, teremos:

I 4 + 50.I 4 = I 1 ⇒ 51.I 4 = I 1 E2 – R1.I 1 – E1 – R4.I 4 = 0 E2 – 51 R1.I 4 – E1 – R4.I 4 = 0

⇒ 15 – 51 x 1.I 4 – 0,5 – 500.I 4 = 0 ⇒ I 4 = 0,0263 mA = 26,3 µA Substituindo na primeira equação o valor de I 4 : I 1 = 51 x ( 26,3 x 10 – 6 ) ⇒ I 1 = 1,34 mA Assim: I 3 = 50 x ( 26,3 x 10 – 6 ) ⇒ I 3 = 1,315 mA Como determinar a tensão UBA ? Voltamos a aplicar a lei das malhas. Podemos supor que o ramo BA está contido numa malha que faz aparecer a tensão UBA. Tudo se passa como se existisse uma 3.ª malha. Então:

E1 + R1.I 1 – UBA = 0 UBA = E1 + R1.I 1

UBA = 0,5 + 1 x 1,34 ⇒ UBA = 1,39 V

Figura 6 - Cálculo da tensão UBA

Para determinar a tensão UCA não podemos considerar trajectos que incluam fontes de corrente. Teremos de utilizar a malha representada na figura 7. Assim, pela lei das malhas: E2 – UCA + R3.I 3 = 0 ⇒ UCA = E2 + R3.I 3 = 15 – 4 x 1,315 ⇒ UCA = 9,74 V

Figura 7 - Determinação da tensão UCA



Podemos assim verificar que existe uma tensão nos terminais do gerador de corrente – UCB – dada por: UCB = UCA - UBA = 9,74 – 1,39 ⇒ UCB = 8,35 V Esta tensão não pode ser directamente relacionada com a corrente debitada pela fonte. É o circuito que impõe este valor.

EXERCICIOS RESOLVIDOS

1. No circuito esquematizado na figura 8 pretende-se calcular as correntes nos ramos do circuito e a tensão UA

( tensão do ponto A em relação à massa ).

Figura 8 - Circuito em analise - determinação das correntes no circuito Podemos redesenhar o circuito da seguinte forma, para uma análise mais simples:

Figura 9 - Circuito redesenhado

Aplicando as leis de Kirchhoff temos:

I 2 = I 1 + I 4

- E1 + R1.I 1 – E3 – R4.I 4 = 0 ⇒ - E1 + R1.I 1 + E3 – R4.I 4 = 0 E2 – R2.I 2 – E3 – R4.I 4 = 0 E2 – R2.( I 1 + I 4 ) – E3 – R4.I 4 = 0

⇒ - 12 + 15.I 1 – 0,6 – 1.I 4 = 0 ⇒ 15.I 1 – 1.I 4 = 12,6 12 – 1,5. I 1 – 1,5 I 4 – 0,6 – 1.I 4 = 0 1,5.I 1 – 2,5.I 4 = – 11,4



⇒ – 37,5.I 1 + 2,5 I 4 = – 31,5 ( x –2,5 ) – 1,5.I 1 – 2,5.I 4 = – 11,4 ( x 1 )

– 39 I 1 = – 42,9 I 1 = 1,1 mA

15.I 1 – 1.I 4 = 12,6 ⇒ 15 x 1,1 - 1.I 4 = 12,6 ⇒ I 4 = 3,9 mA I 2 = I 1 + I 4 ⇒ I 2 = 1,1 + 3,9 ⇒ I 2 = 5 mA Calculo da tensão no ponto A ( UA - tensão em A relativamente à massa ) Ponto A

Figura 10 - Determinação da tensão UCA Definimos uma pequena malha que contenha o ponto A.

E3 – R4.I 4 – UA = 0 ⇒ UA = E3 – R4.I 4 ⇒ UA = 0,6 – 1 x 3,9 ⇒ UA = - 3,3 V

EXERCICIOS DE APLICAÇÃO – LEIS DE KIRCHHOFF

1. Na figura seguinte representa-se um circuito com dois nós.

Figura 11 - Circuito em analise

1.1 Escreva a (s) equação (ões) dos nós. 1.2 Escrevas as equações das malhas para o circuito. 1.3 Enuncie a 2ª Lei de Kirchhoff.

2. Na figura seguinte representa-se um nó P, e algumas correntes.

Figura 12 - Representação do nó P

2.1 Qual é o valor da intensidade I4? 2.2 Qual o sentido de I4? Porquê?



3. Recorrendo ás leis de Kirchhoff, determine o valor de R de tal modo que a corrente que percorre o circuito seja de

0,5 A.

Figura 13 - Determinação da resistência R

4. Determine as correntes nos ramos do circuito da figura 14.

Figura 14 - Determinação das correntes nos ramos do circuito 5. Determine as correntes eléctricas no circuito da figura ilustrada na figura seguinte.

Figura 15 - Circuito em analise - Determinação das correntes nos ramos do circuito

6. Determine a queda de tensão nos terminais da resistência R2.

Figura 16 - Determinação da tensão nos terminais da resistência R2



2. Teorema de Thévenin

2.1 TEOREMA DE THÉVENIN Em qualquer circuito é sempre possível destacar um ramo - ab e, substituir o resto do circuito por um bloco, representado pelo rectângulo C.

Figura 17 - Equivalente de um circuito eléctrico Relativamente ao ramo destacado, o resto do circuito designa-se por dípolo. O dípolo tem, pois, dois terminais acessíveis para ligação de um ramo. Um dípolo que contenha uma fonte de corrente e/ou tensão diz-se activo; caso contrário diz-se passivo. O Teorema de Thévenin diz-nos que o dípolo pode ser substituído por um gerador de tensão equivalente em série com uma resistência equivalente a que se dá o nome de equivalente de Thévenin, com as seguintes características: 1. O gerador equivalente tem a f.e.m. igual á tensão entre os terminais do dipolo ( no caso da figura 1 entre os

pontos ab ), quando não há carga, ou seja, com o dípolo em circuito aberto - E Th. 2. A resistência equivalente de Thévenin é a resistência que o dípolo apresenta nos seus terminais, quando

se substituem as fontes de tensão e de corrente pelas suas resistências internas ou, caso estas sejam nulas, curto circuitam-se todas as fontes de tensão ( independentes ) e abrem-se todas as fontes de corrente ( independentes do circuito ) - R Th.

Analisemos um exemplo de aplicação onde se pretende calcular o valor da corrente que percorre a resistência R.

Figura 18 - Determinação da corrente em R



Podemos considerar a resistência R como o ramo aplicado aos terminais AB do dípolo e, substituir o dípolo pelo equivalente de Thévenin ( gerador de tensão equivalente em série com uma resistência equivalente do dípolo ). Aplicando o teorema de Thévenin, vamos determinar a tensão que aparece entre os pontos A e B, quando estão em aberto. É a tensão aos terminais da resistência R2, do circuito:

Figura 19 - Determinação do gerador equivalente de Thévenin

A corrente no circuito é:

mAIRR

EI 1510

15

21=⇒

+=

+=

E a tensão:

UAB = R2 . I = 5 . 1 ⇒ U = 5 V A f.e.m. do gerador é de 5 V. Para se calcular a resistência equivalente entre os terminais do dipolo, começamos por substituir a fonte de tensão independente E, por um curto-circuito, visto que a sua resistência interna R i= 0 Ω .Obtemos o circuito representado na figura seguinte

Figura 20 - Determinação da resistência equivalente RTh Partindo do ponto A e chegando ao ponto B, concluímos que R1 e R2 estão em paralelo assim, a resistência equivalente será:

Ω=⇒+×

=+×

= K33,3R15101510

RRRRR Th

21

21Th



O dípolo toma a seguinte configuração - equivalente de Thévenin:

Figura 21 - Equivalente de Thévenin

A corrente que percorre a resistência R é agora facilmente calculada:

mA15,1I133,3

5RR

EI21

=⇒+

=+

=

EXERCICIOS RESOLVIDOS

1. Consideremos o seguinte circuito onde é necessário determinar a intensidade de corrente na resistência R4 do

circuito.

Figura 22 - Determinação da corrente em R4 Note-se neste exemplo que na determinação do dípolo equivalente de Thévenin não se torna obrigatório que a parte do circuito que não é substituída esteja numa extremidade do circuito. Para determinarmos a resistência equivalente, e depois de se desligar a carga e substituir a fonte de tensão pela sua resistência interna ( no caso fica em curto-circuito ), obtém-se o circuito seguinte. Verifique-se que a resistência R3 fica nesta situação curto-circuitada.

Ω=

+×

=+×

= K4,24646

RRRRR

21

21Th

Figura 23 - Determinação da resistência equivalente RTh



Para a determinação da tensão de Thévenin ETh podemos redesenhar o circuito. Constatando-se então que, por ser igual nos ramos em paralelo, a tensão aplicada à série R2 e R1 é de 8V. A tensão de Thévenin será a dos terminais de R1.

Figura 24 - Determinação do gerador equivalente de Thévenin Aplicando a fórmula da Lei de Ohm, teremos:

mA,RR

EI 8046

8

21

1 =+

=+

=

Sendo a tensão:

V,,IRUAB 848061 =×=×= O equivalente de Thévenin do circuito “ visto ” dos terminais a e b será o da figura, onde a determinação da corrente em R4 se obtém pela simples aplicação da Lei de ohm, resultando:

mA,,,

,RR

EIT

Th 8403342

84

4=

+=

+=

Figura 25 - Equivalente de Thévenin



EXERCICIOS DE APLICAÇÃO – TEOREMA DE THÉVENIN

1. Relativamente ao circuito representado na figura abaixo, determine o equivalente de Thévenin à esquerda dos pontos A e B.

Figura 26 - Determinação do equivalente de Thévenin

2. Calcule o equivalente de Thévenin entre os pontos A e B.

Figura 27 - Circuito em analise - Determinação do equivalente de Thévenin 3. Deduza o equivalente de Norton do circuito esquematizado na figura 28.

Figura 28 - Circuito em analise - Determinação do equivalente de Norton

4. O circuito da figura 29 é constituído por um transístor polarizado por divisor de tensão. Determine o equivalente de

Thévenin entre os pontos BE.

Figura 29 - Circuito com polarização por divisor de tensão em analise



3. Teorema de Norton

3.1 TEOREMA DE NORTON Trata-se, agora, da substituição de um dípolo, não por um gerador de tensão equivalente, mas sim por um gerador de corrente equivalente.

Figura 30 - Equivalente de Norton do dípolo AB

O Teorema de Norton diz-nos que o dipolo pode ser substituído por um gerador de corrente equivalente em paralelo com uma resistência equivalente a que se dá o nome de equivalente de Norton , com as seguintes características: 1. O gerador equivalente debita uma corrente que circula no ramo AB, quando este pontos estão curto

circuitados - IN. 2. A resistência equivalente de Thévenin é a resistência que o dipolo apresenta nos seus terminais, quando

se substituem as fontes de tensão e de corrente pelas suas resistências internas ou, caso estas sejam nulas, curto circuitam–se todas as fontes de tensão ( independentes ) e abrem–se todas as fontes de corrente ( independentes do circuito ) - R Th.

Vejamos como proceder para a determinação do equivalente de Norton no circuito representado na figura 31.

( Circuito abordado anteriormente no exemplo de aplicação do Teorema de Thévenin - figura 18 / página 19 .)

Figura 31 - Determinação do equivalente de Norton entre os pontos AB

Temos pois de calcular a intensidade de corrente no ramo AB quando estes dois pontos estão em curto circuito, o que nos dá a intensidade de Norton – IN.



Verifica-se que quando fazemos o curto-circuito entre estes dois pontos a corrente deixa de passar pela resistência R2.

mA5,1I

1015

REI N

1N =⇒==

Figura 32 - Calculo da corrente de Norton A resistência equivalente será:

Ω=⇒+×

=+×

= K33,3R15101510

RRRRR N

21

21N

O circuito assume a seguinte configuração - Equivalente de Norton.

Figura 33 - Equivalente de Norton

3.2 ANALOGIA ENTRE O TEOREMA DE THÉVENIN E O TEOREMA DE NORTON

Tomemos o circuito seguinte já analisado anteriormente.

Figura 34 - Circuito em analise



Obtivemos o respectivo equivalente de Thévenin e o equivalente de Norton, que se representam na figura seguinte.

Figura 35 - Equivalente de Thévenin e equivalente de Norton

Se no equivalente de Thévenin curto-circuitarmos os terminais AB, a corrente nesse ramo será:

mA,I,R

EI ccTh

ThCC 51

3335

=⇒==

Ou seja , o valor IN do gerador de corrente - Teorema de Norton.

Se no equivalente de Norton, se abrir os terminais AB, a tensão será:

UAB = IN x RN = 1,5 x 3,33 ⇒ UAB = 5 V

Ou seja, o valor da ETh do gerador de tensão equivalente - Teorema de Thévenin.

NOTA: As siglas CC significam curto-circuito.

EXERCICIOS DE APLICAÇÃO – TEOREMA DE THÉVENIN

1. Deduza o equivalente de Norton do circuito esquematizado na figura 36.

Figura 36 - Circuito em analise - Determinação do equivalente de Norton

2. Reduziu-se um circuito complexo ao correspondente equivalente de Thévenin obtendo-se o circuito esboçado na

figura 37. Pretende-se transformar este circuito no equivalente de Norton.



Figura 37 - Equivalente de Thévenin em analise

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