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Limite e Continuidade. Profa. Marli. Noção Intuitiva. Limites Intuitivos.
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Limite e Continuidade
Profa. Marli
Noção Intuitiva
Sucessões numéricas Dizemos que:
1, 2, 3, 4, 5, .... Os termos torna-se cada vez maior sem atingir um limite
x +
Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor
x 1
1, 0, -1, -2, -3, ... Os termos torna-se cada vez menor sem atingir um limite
x -
Os termos oscilam sem tender a um limite
,.....6
5,
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
,...7,7
6,5,
4
5,3,
2
3,1
Limites Intuitivos
>
<
=
)(lim)(
)(lim)(
1)(lim)(
0)(lim)(
0
0
xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
)(b
)(a
)(d
)(c
]1,1[)(lim)(
)(lim)(
]1,1[)(lim)(
0)(lim)(
0
0
entrexfd
xfc
entrexfb
xfa
x
x
x
x
0)(lim)(
0)(lim)(
)(lim)(
)(lim)(
0
0
xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
)(b
)(a
)(d
)(c
<
)(b
)(a )(d
)(c
)(lim)(
0)(lim)(1
xfb
xfa
x
x
)(b
)(a
Definição de Limites
• Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de a (um número real), exceto talvez em a.
c a d
• Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a a e escrevemos
Figures 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10).
Figures 1.13: Um
se para todo > 0, existe um número correspondente > 0 , tal que
|x-a|< |f(x)-L|< ,
para todos os valores de x.
Lxfax
)(lim
Figura 1.11: Relação entre e na definição de limite.
Propriedades dos Limites
• Se L, M, a, c são números reais e n inteiro
eLxfax
)(lim ,)(lim Mxgax
• Regra da soma(subtração):
• Regra do Produto:
• Regra da multiplicação por escalar:
• Regra do quociente:
MLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
MLxgxfxgxfaxaxax
.)(lim).(lim)().(lim
Lcxfcxfcaxax
.)(lim.)(.lim
M
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
)(lim
)(lim
)(
)(lim
• Regra da potencia:
• Regra da raíz
se é impar.
nn
ax
n
axLxfxf
))(lim()(lim
nn
ax
n
axLxfxf
)(lim)(lim
nLxfax
,0)(lim
• Regra do logaritmo:
• Regra do seno(o mesmo vale para o cosseno)
• Regra da exponencial:
0)(limlog
))(lim(log))((loglim
xfseL
xfxf
axc
axcc
ax
Lxfxfaxax
sen))(limsen()(senlim
Lxfxf
axccc ax
)(lim)(lim
Limites de Funções Polinomiais
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser obtidos por Substituição:
Se 0
11 ...)( axaxaxP n
nn
n
então
....)()(lim
01
1 acacacPxPcx
nn
nn
Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial
322246496
224164)32(3
2)2()2()2(4)2(3
243
245
245
2lim
xxxxx
Limites de Funções Racionais
Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por Substituição, caso o limite do denominador não seja zero:
Se e são polinômios e ,
então
)(xP )(xQ 0)( cQ
)(
)(
)(
)(lim
cQ
cP
xQ
xP
cx
Exemplo – Limite de Uma Função Racional
06
0
5)1(
3)1(4)1(
5
342
23
2
23
1lim
x
xx
x
Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum
xx
xx
x
2
2
1
2lim
Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este tambémé zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fraçãomais simples, com os mesmos valores da original para x 1:
x
x
xx
xx
xx
xx 2
)1(
)2)(1(22
2
Se x 1
Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores quando x 1 por substituição:
31
2122limlim
12
2
1
x
x
xx
xx
xx
22
1
)22(
)22(
22
h
hh
h
hh
h
Fator comum de h.
Então,
Cancelar h para h 0.
22
122limlim
00
hh
h
hh
22
1
202
1
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