Limite e Continuidade

Profa. Marli

Noção Intuitiva

Sucessões numéricas Dizemos que:

1, 2, 3, 4, 5, .... Os termos torna-se cada vez maior sem atingir um limite

x +

Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor

x 1

1, 0, -1, -2, -3, ... Os termos torna-se cada vez menor sem atingir um limite

x -

Os termos oscilam sem tender a um limite

,.....6

5,

5

4,

4

3,

3

2,

2

1

,...7,7

6,5,

4

5,3,

2

3,1

Limites Intuitivos

>

<

=

)(lim)(

)(lim)(

1)(lim)(

0)(lim)(

0

0

xfd

xfc

xfb

xfa

x

x

x

x

)(b

)(a

)(d

)(c

]1,1[)(lim)(

)(lim)(

]1,1[)(lim)(

0)(lim)(

0

0

entrexfd

xfc

entrexfb

xfa

x

x

x

x

0)(lim)(

0)(lim)(

)(lim)(

)(lim)(

0

0

xfd

xfc

xfb

xfa

x

x

x

x

)(b

)(a

)(d

)(c

<

)(b

)(a )(d

)(c

)(lim)(

0)(lim)(1

xfb

xfa

x

x

)(b

)(a

Definição de Limites

• Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de a (um número real), exceto talvez em a.

c a d

• Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a a e escrevemos

Figures 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10).

Figures 1.13: Um

se para todo > 0, existe um número correspondente > 0 , tal que

|x-a|< |f(x)-L|< ,

para todos os valores de x.

Lxfax

)(lim

Figura 1.11: Relação entre e na definição de limite.

Propriedades dos Limites

• Se L, M, a, c são números reais e n inteiro

eLxfax

)(lim ,)(lim Mxgax

• Regra da soma(subtração):

• Regra do Produto:

• Regra da multiplicação por escalar:

• Regra do quociente:

MLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

MLxgxfxgxfaxaxax

.)(lim).(lim)().(lim

Lcxfcxfcaxax

.)(lim.)(.lim

M

L

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

)(lim

)(lim

)(

)(lim

• Regra da potencia:

• Regra da raíz

se é impar.

nn

ax

n

axLxfxf

))(lim()(lim

nn

ax

n

axLxfxf

)(lim)(lim

nLxfax

,0)(lim

• Regra do logaritmo:

• Regra do seno(o mesmo vale para o cosseno)

• Regra da exponencial:

0)(limlog

))(lim(log))((loglim

xfseL

xfxf

axc

axcc

ax

Lxfxfaxax

sen))(limsen()(senlim

Lxfxf

axccc ax

)(lim)(lim

Limites de Funções Polinomiais

Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser obtidos por Substituição:

Se 0

11 ...)( axaxaxP n

nn

n

então

....)()(lim

01

1 acacacPxPcx

nn

nn

Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial

322246496

224164)32(3

2)2()2()2(4)2(3

243

245

245

2lim

xxxxx

Limites de Funções Racionais

Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por Substituição, caso o limite do denominador não seja zero:

Se e são polinômios e ,

então

)(xP )(xQ 0)( cQ

)(

)(

)(

)(lim

cQ

cP

xQ

xP

cx

Exemplo – Limite de Uma Função Racional

06

0

5)1(

3)1(4)1(

5

342

23

2

23

1lim

x

xx

x

Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum

xx

xx

x

2

2

1

2lim

Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este tambémé zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fraçãomais simples, com os mesmos valores da original para x 1:

x

x

xx

xx

xx

xx 2

)1(

)2)(1(22

2

Se x 1

Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores quando x 1 por substituição:

31

2122limlim

12

2

1

x

x

xx

xx

xx

22

1

)22(

)22(

22

h

hh

h

hh

h

Fator comum de h.

Então,

Cancelar h para h 0.

22

122limlim

00

hh

h

hh

22

1

202

1