Lista 3 - docente.ifsc.edu.br

Lista 3:

1) Resolva as seguintes equações modulares em ℝ:

𝑎) |4𝑥 − 5| = 11 𝑏)|3𝑥 − 1| = |𝑥 + 4| 𝑐) |𝑥 − 10| = 10 − 𝑥 𝑑)|2𝑥 − 8| = 6𝑥

2) Seja 𝑓 uma função com domínio nos inteiros definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3. Calcule:

a) 𝑓(0) b) 𝑓(1) c) 𝑓(−2) d) Explique por que não é possível calcular 𝑓 (1

2)

3) Seja 𝑓 uma função com domínio nos reais definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 4. Calcule:

a) 𝑓 (1

2) b) 𝑓(√3) c) 𝑓(1 − √2) d) 𝑓(0)

4) São dadas as funções 𝑓(𝑥) =3𝑥

5− 1 e 𝑔(𝑥) =

4𝑥

3+ 𝑎. Calcule 𝑓(3) − 3𝑔 (

1

5), sabendo-se que

𝑓(0) − 𝑔(0) =1

3.

5) Dadas as funções ℎ(𝑥) = 2𝑥 + 3𝑚 e 𝑡(𝑥) = 𝑛𝑥 − 5, determine 𝑚 e 𝑛, sabendo que ℎ(2) = 0 e que

𝑡(−1) = 2.

6) Dados 𝐴 e 𝐵, construa, em cada caso, o gráfico de 𝑓: 𝐴 → 𝐵.

7) Os gráficos de 𝑓 e 𝑔 são dados:

a) Dê os valores de 𝑓(−4) e 𝑔(3);

b) Para quais valores, temos 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥);

c) Encontre os valores de 𝑥 para o qual 𝑓(𝑥) = −1;

d) Em qual intervalo 𝑓 é decrescente;

e) Dê o domínio de 𝑓;

f) Dê o domínio de 𝑔.

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA

PROFESSOR: Jeremias Stein Rodriguês

DISCIPLINA: Cálculo A

CONTEÚDO: Funções, funções polinomiais, funções racionais e funções modulares.

a) 𝐴 = { −2, −1, 0, 1, 2, 3}

𝐵 = {𝑦 ∈ ℤ | − 7 ≤ 𝑦 < 4}

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1

b) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ | 3 < 𝑥 ≤ 8}

𝐵 = {𝑦 ∈ ℚ | − 2 < 𝑦 ≤ 6}

𝑓(𝑥) =𝑥

2− 2

c) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ | − 3 ≤ 𝑥 < 6}

𝐵 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}

𝑦 = 6

d) 𝐴 = {−2, −1, 0, 1, 2}

𝐵 = ℕ

𝑦 = 𝑥2

e) 𝐴 = [2, 6]

𝐵 = [−7, 7]

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6

8) Construa o gráfico de cada função de variáveis reais.

9) Construa o gráfico para a função dada a seguir e determine o seu domínio e sua imagem.

𝑓(𝑥) = {𝑥 + 2 𝑠𝑒 𝑥 < −1

𝑥2 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 < 23𝑥 − 6 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2

10) Encontre o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções.

𝑎) 𝑓(𝑥) = 5 𝑏) 𝑓(𝑥) =1

2(𝑥 + 3) 𝑐) 𝑓(𝑡) = 𝑡2 − 6𝑡 𝑑) 𝐻(𝑡) =

4 − 𝑡2

2 − 𝑡

𝑒) 𝑔(𝑡) = √𝑥 − 5 𝑓) 𝐹(𝑥) = |2𝑥 + 1| 𝑔) 𝐺(𝑥) =3𝑥 + 𝑥

𝑥 ℎ) 𝑔(𝑥) =

|𝑥|

𝑥2

𝑖) 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0 𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 0

𝑗) 𝑓(𝑥) = {2𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑥 < −1 3 − 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −1

𝑘) 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 > −1

𝑙) 𝑓(𝑥) = { −1 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1

3𝑥 + 2 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 17 − 2𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1

11) Verifique quais gráficos representam funções de varável real em x.

a) b) c)

d) e) f)

12) Determine o domínio das funções reais.

𝑎) 𝑦 = 4𝑥 − 2

𝑏) 𝑓(𝑥) =3

2𝑥 − 6

𝑐) 𝑦 = √4 − 2𝑥

𝑑) 𝑦 = √3𝑥 − 12

𝑒) 𝑓(𝑥) =𝑥

8 − 3𝑥

𝑓) 𝑦 = √𝑥 + 23

𝑔) 𝑓(𝑥) =2

3𝑥 − 1/2

ℎ) 𝑓(𝑥) =7

√1 − 2𝑥

𝑖) 𝑓(𝑥) =√𝑥

−𝑥 + 6

𝑗) 𝑓(𝑥) =√𝑥 + 23

𝑥 − 3

a) 𝑓(𝑥) = −2

b) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 1

c) 𝑦 = 0

d) 𝑦 =

2𝑥+1

3

e) 𝑦 =1

𝑥

𝑘) 𝑓(𝑥) =1

√2𝑥 + 3 3 𝑙) 𝑓(𝑥) =

1

√𝑥2 − 5𝑥4 𝑚) 𝑓(𝑢) = √𝑢 + √4 − 𝑢

𝑛) 𝑓(𝑥) = √𝑥

2 − 𝑥

13) Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções representadas pelos gráficos.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

14) Analise os gráficos e indique, quando existirem, as raízes das funções.

a) b)

c) d)

15) O gráfico abaixo representa uma função 𝑓 definida em um subconjunto de ℝ. Determine:

16) Faça o estudo dos sinais de cada função representada pelos gráficos.

a) b) c)

d) e) f)

a) o domínio da função;

b) o conjunto imagem da função;

c) os valores de 𝑓(−1), 𝑓(0) 𝑒 𝑓(3);

d) em que intervalo(s) 𝑓 é crescente;

e) em que intervalo(s) 𝑓 é decrescente;

f) Existe 𝑓(−50)? Qual seria o seu “palpite”

para esse valor?

17) Escreva para quais intervalos de ℝ as funções reais representadas são crescentes, decrescentes ou

constantes.

a) b) c)

d) e) f)

18) Para cada par de funções 𝑓 e 𝑔, determine 𝑓𝑜𝑔 e 𝑔𝑜𝑓 e determine seus domínios.

𝑎) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 2

𝑏) 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥3 𝑒 𝑔(𝑥) =1

𝑥

𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = 1 − √𝑥

𝑑) 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = 5𝑥2 + 3𝑥 + 2

𝑒) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) =

𝑥 + 1

𝑥 + 2

𝑓) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 3 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1

19) Encontre 𝑓𝑜𝑔𝑜ℎ.

𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = 2𝑥 𝑒 ℎ(𝑥) = 𝑥 − 1

𝑏) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 𝑒 ℎ(𝑥) = 1 − 𝑥

𝑐) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2 𝑒 ℎ(𝑥) = 𝑥 + 3

𝑑) 𝑓(𝑥) =2

𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 ℎ(𝑥) = √𝑥 + 3

20) Sendo 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 3 e 𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 𝑘. Determine 𝑘 de modo que 𝑓𝑜𝑔 = 𝑔𝑜𝑓.

21) Determine quais das seguintes funções são pares, ímpares ou nem par nem ímpar:

𝑎) 𝑓(𝑥) = 2𝑥5 − 3𝑥2 + 2

𝑏)𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥7

𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2

𝑑) 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

𝑓) 𝑓(𝑥) = 1

2(𝑎𝑥 + 𝑎−𝑥)

22) Em cada um dos exercícios determine a fórmula da função inversa. Fazer os gráficos da função dada e

de sua inversa.

𝑎) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 4

𝑏) 𝑓(𝑥) =1

𝑥 − 𝑎

𝑐) 𝑓(𝑥) =𝑥 + 𝑎

𝑥 − 𝑎

𝑑) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 𝑥 ≥ 1

𝑒) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 , 𝑥 ≤ 0

𝑓) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥3

𝑔) 𝑦 = 𝑙 𝑛(𝑥 + 3)

23) Se 𝑦 =(5𝑥+3)

(4𝑥−5), demonstre que 𝑥 = 𝑓(𝑦).

24) Dada a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1, calcule:

a) 𝑚, para que 𝑓(𝑚 − 1) = 0 b) 𝑥, de modo que 𝑓(𝑥 + 2) = 1

25) Seja a função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3, onde 𝑓(2) = 𝑓(−2) e 𝑓(1) =1

2. Nessas condições,

determine o valor de 𝑓(−4).

26)

27) Dada a função 𝑦 = (𝑚−1

𝑚+2) 𝑥2 + 𝑥 + 4, calcule 𝑚 ∈ ℝ, de modo que a parábola tenha a concavidade

voltada para cima.

28) Determine o parâmetro real 𝑘, de modo que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑘 tenha:

a) dois zeros reais diferentes;

b) um zero real duplo;

c) nenhum zero real.

29) Calcule 𝑘 de modo que a função 𝑦 = 𝑘𝑥2 − 2𝑥 + 3 admita 2 como zero.

30) Considere a função 𝑓: ℝ ⟶ ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑚𝑥 + 16. Determine 𝑚 ∈ ℝ de modo que:

a) a função não tenha raízes reais.

b) o gráfico da função 𝑓 passe pelo ponto (2, −4)

c) a parábola que representa a função seja tangente ao eixo 𝑥.

Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue

uma trajetória plana vertical de equação 𝑦 = −1

7𝑥² +

8

7𝑥 + 2, na qual os valores de x e y são dados em metros.

Oscar acerta o arremesso e o centro da bola passa pelo

centro da cesta, que está a 3 m de altura. Determine a

distância do centro da cesta ao eixo y.

31) Resolva as equações biquadradas em ℝ.

𝑎) 9𝑥4 − 13𝑥2 + 4 = 0

𝑏) 𝑥4 + 6𝑥2 + 8 = 0

𝑐) – 𝑥4 − 𝑥2 + 6 = 0

𝑑) 𝑥4

4−

𝑥2 − 1

3= 7

𝑒) (𝑥2 − 3)2 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

𝑓) 35𝑥4 − 42𝑥2 + 14 = 0

32) Determine o vértice e o conjunto imagem das seguintes funções quadráticas:

𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10𝑥 + 9

𝑏) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 − 1

𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 4

𝑑) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 1

𝑒) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥

𝑓) 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 2𝑥 − 1

𝑔) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 1

ℎ) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4

𝑖) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 − 10

33) Calcule 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 de modo que o vértice da parábola que representa a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 seja

(1, −6) e que −3 seja zero da função.

34) Determine se as funções abaixo possuem valor máximo ou mínimo, a seguir calcule esse valor.

𝑎) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 + 2

𝑏) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 − 1

𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1

𝑑) 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2

35) Suponha que Ana tenha uma corda de 12m e com ela deseje construir retângulos, onde cada lado é

representado por um número inteiro de metros.

a) Dê as medidas dos lados dos possíveis retângulos construídos por Ana.

b) Dentre todos os retângulos construídos por Ana, qual deles tem a maior área

36) Uma pedra é lançada do solo verticalmente para cima. Ao fim de 𝑡 segundos, atinge a altura ℎ, dada

por: ℎ = 40𝑡 − 5𝑡2.

a) Calcule a posição da pedra no instante 𝑡 = 2 𝑠.

b) Calcule o instante em que a pedra passa pela posição 75 𝑚, durante a subida.

c) determine a altura máxima que a pedra atinge.

d) Construa o gráfico da função ℎ para 0 ≤ 𝑡 ≤ 8.

37) (UFOP-MG) Certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu valor Máximo às 14 horas. Suponhamos

que, nesse dia, a temperatura 𝑓(𝑡) em graus era uma função do tempo 𝑡, medido em horas, dada por

𝑓(𝑡) = − 𝑡2 + 𝑏𝑡 – 160, quando 8 ≤ 𝑡 ≤ 20. Obtenha:

a) o valor de b.

b) a temperatura máxima atingida nesse dia.

38) (Unemat-MT) Uma empresa apresenta o lucro mensal de acordo com a equação 𝐿 = −𝑡2 + 25𝑡,

onde 𝑡 é a quantidade de toneladas vendidas mensalmente e 𝐿 (lucro) que é dado na proporção de 1 (um)

por 𝑅$ 1000,00 (um mil reais). Analise cada uma das afirmativas a seguir, classificando-as (verdadeiro ou

falso), justificando sua conclusão.

( ) Quanto maior for a venda mensal maior será o lucro.

( ) O lucro obtido com a venda de 10 toneladas é de 𝑅$ 150 000,00, porém é o mesmo lucro obtido com

a venda de 15 toneladas.

( ) Se a venda mensal for maior que 20 toneladas, a empresa terá um lucro superior a 𝑅$ 175 000,00.

( ) O lucro máximo que esta empresa pode ter é de 𝑅$ 156 250,00.

39) A velocidade 𝑣 do sangue, no interior de uma artéria, é dada em centímetros por segundo (𝑐𝑚/𝑠),

pela lei 𝑣(𝑟) = 1,28 − 20 000𝑟2, onde 𝑟 é a distância de um ponto considerado ao centro da artéria.

Sabendo-se que o raio da artéria é 𝑟 = 8 ∙ 10−3𝑐𝑚, pede-se:

a) a velocidade do sangue no centro da artéria;

b) a velocidade do sangue junto à parede da artéria.

40) (Unic-MT) Na agricultura, em certas regiões são lançados foguetes com cargas de sais. Estes sais são

responsáveis pela condensação das moléculas de água em gotas que posteriormente caem na forma de

chuva. Observe o movimento do foguete mostrado na figura e considere que a altura, em metros, do

mesmo em relação a nuvem em função do tempo (segundos) é dada pela função

𝑓(𝑥) = −1

2𝑥2 + 30𝑥.

Em que intervalo de tempo o cronômetro do foguete deve ser programado para disparar acima da nuvem?

Trajetória do foguete

Nuvem

400 𝑚

Foguete

𝐆𝐚𝐛𝐚𝐫𝐢𝐭𝐨:

1) a) {−3

2, 4} b) {

5

2, −

3

4} c) (−∞, 10] d) {1}

2) a) 3 b) 5 c) −1 d) 1

2 não pertence ao domínio. 3) a)

1

4 b) 7 − 3√3 c) 4 + √2 d) 4

4) 4 5) 𝑚 = −4

3 𝑒 𝑛 = −7

6) a) b)

c) d) e)

7) a) 𝑓(−4) = −2 e 𝑔(3) = 4 b) 𝑥 = −2 𝑒 𝑥 = 2 c) 𝑥 = −3 𝑒 𝑥 = 4

d) (0, 4) e) 𝐷𝑓 = [−4, 4] f) 𝐷𝑔 = (−4, 3)

8) a) b) c)

d) e)

9)

10) a) 𝐷 = ℝ b) 𝐷 = ℝ c) 𝐷 = ℝ d) 𝐷 = ℝ − {2} e) 𝐷 = [5, +∞)

f) 𝐷 = ℝ g) 𝐷 = ℝ∗ h) 𝐷 = ℝ∗ i) 𝐷 = ℝ j) 𝐷 = ℝ

k) 𝐷 = ℝ l) 𝐷 = ℝ

11) a) sim b) não c) sim d) sim e) sim f) não

12) a) 𝐷 = ℝ b) 𝐷 = ℝ − {3} c) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 ≤ 2} d) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 ≥ 4}

e) 𝐷 = ℝ − {8

3} f) 𝐷 = ℝ g) 𝐷 = ℝ h) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 <

1

2} i) 𝐷 = ℝ+ − {6}

j) 𝐷 = ℝ − {3} k) 𝐷 = ℝ − {−3

2} l) (−∞, 0) ∪ (5, +∞) m) [0,4]

n) (−∞, 0] ∪ (2, +∞)

13) a) 𝐷 = ℝ∗; 𝐼𝑚 = {−2, 2} b) 𝐷 = ℝ; 𝐼𝑚 = ℝ

c) 𝐷 = ℝ; 𝐼𝑚 = [−2, 2] d) 𝐷 = ℝ; 𝐼𝑚 = [0, 2] ∪]4, +∞) e) 𝐷 = ℝ; 𝐼𝑚 = {1} ∪ [2, +∞)

f) 𝐷 = ℝ; 𝐼𝑚 =] − ∞, 1] g) 𝐷 = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}; 𝐼𝑚 = {1, 2, 3, 4}

h) 𝐷 = [−3, 7); 𝐼𝑚 = [1, 3[ i) 𝐷 = [−2, 3]; 𝐼𝑚 = [−3, 2] j) 𝐷 = [−4, 4]; 𝐼𝑚 = [−4, 4]

k) 𝐷 = [−2, 4]; 𝐼𝑚 = [2, 6] l) 𝐷 = [−3,4[; 𝐼𝑚 = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}

14) a) 𝑥 = −2 b) 𝑥 = −5 𝑜𝑢 𝑥 = 1 c) ∄ d) ∄

15) a) 𝐷 = (−∞,9

2) b) 𝐼𝑚 = (−4, 4] c) 𝑓(−1) = 4; 𝑓(0) = 4; 𝑓(3) = 0 d) (−∞, −2) e)

(3

2,

9

2) f) Sim −50 pertence ao domínio de 𝑓. Um valor muito próximo de zero.

16)

a) 𝑥 < −1 ⟹ 𝑓(𝑥) > 0

𝑥 = −1 ⟹ 𝑓(𝑥) = 0

𝑥 > −1 ⟹ 𝑓(𝑥) < 0

c) −4 ≤ 𝑥 < −2 𝑜𝑢 2 < 𝑥 ≤ 4 ⟹

𝑓(𝑥) > 0

𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 2 ⟹ 𝑓(𝑥) = 0

−2 < 𝑥 < 2 ⟹ 𝑓(𝑥) < 0

d) 𝑥 < −3 𝑜𝑢 𝑥 > 0 ⟹ 𝑓(𝑥) < 0

𝑥 = −3 𝑜𝑢 𝑥 = 0 ⟹ 𝑓(𝑥) = 0

−3 < 𝑥 < 0 ⟹ 𝑓(𝑥) > 0

b) ∀ 𝑥 ∈ ℝ ⇒ 𝑓(𝑥) < 0

e) 𝑥 < −5 𝑜𝑢 𝑥 > 1 ⟹ 𝑓(𝑥) < 0

𝑥 = −5 𝑜𝑢 𝑥 = 1 ⟹ 𝑓(𝑥) = 0

−5 < 𝑥 < 1 ⟹ 𝑓(𝑥) > 0

f) 𝑥 =2

3⟹ 𝑓(𝑥) = 0

𝑥 ≠2

3⟹ 𝑓(𝑥) > 0

17) a) ∀ 𝑥 ∈ ℝ ⟹ 𝑓(𝑥) é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 b) −2 < 𝑥 ≤ 2 ⟹ 𝑓(𝑥) é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

18) a) 𝑓𝑜𝑔 = 18𝑥2 + 27𝑥 + 10, 𝐷 = ℝ 𝑔𝑜𝑓 = 6𝑥2 + 3𝑥 + 2, 𝐷 = ℝ

b) 𝑓𝑜𝑔 = 1 −1

𝑥3 , 𝐷 = ℝ∗ 𝑔𝑜𝑓 =1

1−𝑥3 , 𝐷 = ℝ − {1}

c) 𝑓𝑜𝑔 = sen(1 − √𝑥), 𝐷 = ℝ+ 𝑔𝑜𝑓 = 1 − √sen 𝑥 , 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ| 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 + 2𝑘𝜋}

d) 𝑓𝑜𝑔 = −15𝑥2 − 9𝑥 − 5, 𝐷 = ℝ 𝑔𝑜𝑓 = 45𝑥2 − 39𝑥 + 10, 𝐷 = ℝ

e) 𝑓𝑜𝑔 =2𝑥2+6𝑥+5

(𝑥+1)(𝑥+2), 𝐷 = ℝ − {−1, −2} 𝑔𝑜𝑓 =

𝑥2+𝑥+1

𝑥2+2𝑥+1, 𝐷 = ℝ − {−1}

f) 𝑓𝑜𝑔 = √2𝑥2 + 5, 𝐷 = ℝ 𝑔𝑜𝑓 = 2𝑥 + 4, 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≥ −3

2}

19) a) 𝑓𝑜𝑔𝑜ℎ = 2𝑥 − 1 b) 𝑓𝑜𝑔𝑜ℎ = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1 c) 𝑓𝑜𝑔𝑜ℎ = √𝑥2 + 6𝑥 + 10

d) 𝑓𝑜𝑔𝑜ℎ =2

cos(√𝑥+3)+1

20) 𝑘 =9

2

21) a) Nem par nem ímpar b) ímpar c) par d)Nem par nem ímpar e) par

22) a) 𝑓−1 =𝑥−4

3 b) 𝑓−1 =

1+𝑎𝑥

𝑥 c) 𝑓−1 =

𝑎𝑥+𝑎

𝑥−1 d) 𝑓−1 = 𝑥2 + 1

e) 𝑓−1 = −√𝑥 − 4 f) 𝑓−1 = √ln 𝑥3

g) 𝑦−1 = 𝑒𝑥 − 3

23) Demonstração!

24) a) 𝑚 =3

2 𝑜𝑢 𝑚 = 2 b) 𝑚 = −

1

2 𝑜𝑢 𝑚 = −2

25) −37

26) 7 𝑚

27) 𝑚 < −2 𝑜𝑢 𝑚 > 1

28) a) 𝑘 < 1 b) 𝑘 = 1 c) 𝑘 > 1

29) 𝑘 =1

4

30) a) −4 < 𝑚 < 4 b) 𝑚 = −6 c) 𝑚 = −4 𝑜𝑢 𝑚 = 4

31) a) raízes −1, −2

3,

2

3 𝑒 1 b) não existe raiz real c) 𝑥 = −√2 𝑜𝑢 𝑥 = √2

c) 𝑥 < 0 ⟹ 𝑓(𝑥) é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑥 > 0 ⟹ 𝑓(𝑥) é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

d) 𝑥 < 0 ⟹ 𝑓(𝑥) é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

0 ≤ 𝑥 < 2 ⟹ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑥 > 2 ⟹ 𝑓(𝑥) é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

e) 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 0 ⟹ 𝑓(𝑥) é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

−2 < 𝑥 < 0 ⟹ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

f) 𝑥 < 1 𝑜𝑢5

2< 𝑥 < 4 ⟹ 𝑓(𝑥) é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

1 < 𝑥 <5

2 𝑜𝑢 𝑥 > 4 ⟹ 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

d) 𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 2 e) 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 ±√5 e ±2 f) não tem raiz real

32) a) 𝑉(5, −16); 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 ≥ −16 }

b) 𝑉 (1

3, −

4

3) ; 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 ≥ −

4

3 }

c) 𝑉 (5

2, −

9

4) ; 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 ≥ −

9

4 }

d) 𝑉(0, 1); 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 ≤ 1 }

e) 𝑉(3, −9); 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 ≥ −9 }

f) 𝑉 (1

3, −

2

3) ; 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 ≤ −

2

3 }

g) 𝑉 (1

2, −

5

4) ; 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 ≥ −

5

4 }

h) 𝑉(0, 4); 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 ≤ 4 }

i) 𝑉(3, −1); 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ | 𝑦 ≤ −1 }

33) 𝑎 = 1, 𝑏 = −2 𝑒 𝑐 = −15

34) a) mínimo 𝑦𝑣 = −1 b) máximo 𝑦𝑣 = 1 c) mínimo 𝑦𝑣 = −1 d) máximo 𝑦𝑣 = 4

35) a) 1 × 5; 2 × 4 𝑒 3 × 3 b) O quadrado de lado 3

36) a) 60 𝑚 b) 3 𝑠 c) 80 𝑚 d)

37) a)28 b) 36° c)

38) F V F V

39)a) 1,28 cm/s b) 0 cm/s

40) de 20 até 40 segundos.