MATEMÁTICA Prof. Leonardo

CICLO TRIGONOMÉTRICO

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CICLO TRIGONOMÉTRICO

1. Arcos e ângulos

Considerando uma circunferência de centro O e raio R e dois pontos distintos A e B, os quais a dividem em duas partes.

A

B

O

X

Os pontos A e B são as extremidades do arco AXB.

O ângulo AOB é chamado de ângulo central, pois o seu vértice está no centro da circunferência.

Temos que:

med (AOB) = med (AXB)

2. Medidas de arcos e ângulos

Para se medir arcos e ângulos usaremos as unidades grau e radiano.

I. Grau: Dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada um desses arcos mede 1º.

II. Radiano: Um arco mede 1 radiano(rad) se o seu comprimento for igual ao raio da circunferência.

3. Comprimento de um arco

Dado um arco de comprimento L cujo o ângulo central correspondente, EM RADIANOS, mede α, inscrito numa circunferência de raio R, temos que:

radR

Para se transformar um arco de grau para radiano e vice-versa usamos a relação:

radouradπ 14,3180180

Exemplos:

1. Transformar em radianos:

a) 120º b) 315º

rad32

180.120

x

x120

rad180)a.1

rad47

180.315

x

x315

rad180)b.1

2. Transformar em graus:

rad3

)c

rad45

)b

rad52

)a

725180.2

rad52

)a.2

2254

180.5rad

45

)b.2

603

180rad

3)c.2

3. Uma pista circular de atletismo tem um diâmetro de 50 m. Calcule a distância percorrida por um atleta ao dar 6 voltas completas nessa pista? 14,3Adote

m9426.157:serádistânciaa

,voltas6dáatletaoComo

.m157C

25.14,3.2Colog,R2Cé

nciacircunferêdaocomprimentO

.R2Dpois

,m25Rentão,m50DSe

4. Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que o seu comprimento é 31,4 m. 14,3Adote

m514,3.24,31

R,Logo

2C

Rentão ,R2C Como

5. Determine o comprimento de um arco que subtende um ângulo central de 45º numa circunferência de raio 60 cm. 14,3 Adote

cm1,47L14,31515L 604

Lentão,R.LComo

.4

,sejaou,rad4

obtemos radianosem45ndoTransforma.5

6. Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9 cm. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia?

8091804

então ,rad94

RL

,Logo

.raio de cm9 de nciacircunferê numa 4C

22R.2C ocompriment

de arco um em dotransforma é aro O.6

3. As funções Seno, cosseno e Tangente no Ciclo trigonométrico

É uma circunferência orientada de raio unitário (R = 1 u.c.) na qual se tem como sentido positivo o anti-horário e se escolhe um ponto A qualquer com origem dos arcos.

Este ciclo será centrado no plano cartesiano de modo que o eixo das abcissas passe pelo ponto A.

O ponto A terá como coordenadas o ponto(1, 0).

Esses eixos vão dividir o ciclo em quatro partes iguais chamadas de quadrantes.

A(1,0)

+

_

B(0,1)

A’(- 1,0)

B’(0,- 1)

0

R = 1

Como o ciclo é dividido em 4 partes iguais, então cada parte vale 90º ou .rad

2

Qº4x360x270se

Qº3x270x180se

Qº2x180x90se

Qº1x90x0se

:que temos ,ciclo

no qualquer arco um x Sendo

1º Q2º Q

3º Q 4º Q

0º

90º

180º

270º

360º

4. Arcos côngruos

Dois arcos são côngruos quando tem a mesma origem e a mesma extremidade no ciclo trigonométrico.Por exemplo:

1. Considerando os arcos de 30º, 390º, 750º, - 330º, - 690º.

Todos eles tem a mesma origem e a mesma extremidade. Portanto, eles são côngruos.Eles diferem entre si de um número inteiro de voltas completas, pois

30º + 360º = 390º,

30º + 2.360º = 750º,

30º - 360º = - 330º

30º - 2.360º = - 690º

Então podemos representar o arco de 30º e todos os seus arcos côngruos pela expressão

ZK,K.36030x

.,360

cosexp

,

ZKKαxporelea

côngruosarostodosressar

sepodegrausαmedearcoumse

.,2

cosexp

,

ZKπKαxporelea

côngruosarostodosressar

sepoderadianosαmedearcoumse

3600

mindet

αexde

principalaçãoeraαsendo

παexde

principalaçãoeraαsendo

20

mindet

5. Determinação do quadrante.

Dados os arcos abaixo, determine o quadrante ao qual eles se encontram.

rad3

16)frad

225

)e

rad4

37)d2535)c

1190)b752)a

Exercícios:

1. Represente, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos abaixo:

Zk,k6

x)a

)Zk.(4

k8

x)d

)Zk(,.k24

x)c

Zk,2

k32

x)b

2. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de:

rad4

19)d rad

745

)c 2580)b 1910)a

3. Dados os arcos AB e AC, que medem respectivamente, 60º e 130º, dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de origem A cujas extremidades são os pontos médios dos arcos AB e AC.

)radianosem(,2k3613

xe2k6

xe )grausem(,k36065x

ek36030x sãocosardessesgeral

ressãoexpatotanPor .65mede AEarcooe30medeADarcoo

então),E(65éACdemetadeae),D(30éABdemetadeaComo

4. Quais são os arcos positivos menores que 1500º e côngruos a 150º ?

1230,870,510,150x,totanPor

.15001590x4k

1230x3k

870x2k

510x1k

150x0k

paraentão,k360150x

FIM !!!