Movimento Circular

Aulas de movimento Circular. Prof. Dr. Irval C. De Faria 1

Movimento Circular

Grandezas Angulares

As grandezas até agora utilizadas de deslocamento/espaço (s, h, x, y), de velocidade (v)

e de aceleração (a), eram úteis quando o objetivo era descrever movimentos lineares,

mas na análise de movimentos circulares, devemos introduzir novas grandezas, que são

chamadas grandezas angulares, medidas sempre em radianos. São elas:

deslocamento/espaço angular: φ (phi)

velocidade angular: ω (ômega)

aceleração angular: α (alpha)

Da definição de radiano temos:

Desta definição é possível obter a relação:

E também é possível saber que o arco correspondente a 1rad é o ângulo formado quando seu

arco S tem o mesmo comprimento do raio R.

Espaço Angular (φ)

Chama-se espaço angular o espaço do arco

formado, quando um móvel encontra-se a uma

abertura de ângulo φ qualquer em relação ao

ponto denominado origem.

E é calculado por:

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Deslocamento angular (Δφ)

Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se

calcularmos a diferença entre a posição angular final e a posição angular inicial:

Sendo:

No sentido anti-horário o deslocamento angular é positivo.

No sentido horário o deslocamento angular é negativo.

Velocidade Angular (ω)

Análogo à velocidade linear, podemos definir a velocidade angular média, como a razão

entre o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento:

Sua unidade no Sistema Internacional é: rad/s

Sendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s.

Também é possível definir a velocidade angular instantânea como o limite da

velocidade angular média quando o intervalo de tempo tender a zero:

Aceleração Angular (α)

Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos aceleração

angular média como:

Algumas relações importantes

Através da definição de radiano dada anteriormente temos que:

mas se isolarmos S:

derivando esta igualdade em ambos os lados em função do tempo obteremos:

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mas a derivada da Posição em função do tempo é igual a velocidade linear e a derivada

da Posição Angular em função do tempo é igual a velocidade angular, logo:

onde podemos novamente derivar a igualdade em função do tempo e obteremos:

mas a derivada da velocidade linear em função do tempo é igual a aceleração linear, que

no movimento circular é tangente à trajetória, e a derivada da velocidade angular em

função do tempo é igual a aceleração angular, então:

Então:

Linear

Angular

S = φR

v = ωR

a = αR

Período e Frequência

Período (T) é o intervalo de tempo mínimo para que um fenômeno ciclico se repita.

Sua unidade é a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...)

Frequência(f) é o número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo.

Sua unidade mais comum é Hertz (1Hz=1/s) sendo também encontradas kHz, MHz e

rpm. No movimento circular a frequência equivale ao número de rotações por segundo

sendo equivalente a velocidade angular.

Para converter rotações por segundo para rad/s:

sabendo que 1rotação = 2πrad,

Movimento Circular Uniforme

Um corpo está em Movimento Curvilíneo Uniforme, se sua trajetória for descrita por

um círculo com um "eixo de rotação" a uma distância R, e sua velocidade for constante,

ou seja, a mesma em todos os pontos do percurso.

No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um

carrossel ou as pás de um ventilador girando.

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Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sentido, logo

existe uma aceleração, mas como esta aceleração não influencia no módulo da

velocidade, chamamos de Aceleração Centrípeta.

Esta aceleração é relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:

Sabendo que e que , pode-se converter a função horária do espaço linear

para o espaço angular:

então:

Movimento Circular Uniformemente Variado

Quando um corpo, que descreve trajetória circular, e sofre mudança na sua velocidade

angular, então este corpo tem aceleração angular (α).

As formas angulares das equações do Movimento Curvilíneo Uniformemente Variado

são obtidas quando divididas pelo raio R da trajetória a que se movimenta o corpo.

Assim:

MUV MCUV

Grandezas lineares Grandezas angulares

E, aceleração resultante é dada pela soma vetorial da aceleração tangencial e da

aceleração centípeta:

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Exemplo:

Um volante circular como raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com aceleração angular igual a

2rad/s².

(a) Qual será a sua velocidade angular depois de 10 segundos?

(b) Qual será o ângulo descrito neste tempo?

(c) Qual será o vetor aceleração resultante?

(a) Pela função horária da velocidade angular:

(b) Pela função horária do deslocamento angular:

(c) Pelas relações estabelecidas de aceleração tangencial e centrípeta:

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É de muita importância, na área de estudo do movimento circular, o assunto que

se refere a acoplamento de polias ou engrenagens.

Ocorrem estes acoplamentos quando colocamos em contato polias ou

engrenagens; conforme os exemplos abaixo.

Cinemática dos elementos de transmissão.

Nesta seção estudar-se-á a cinemática da transformação da rotação em rotação,

ou seja, a cinemática das transmissões por correias, correntes, rodas de fricção e

engrenagens. Inicialmente, vamos observar os seguintes esquemas teóricos:

Ao estudarmos os tipos de acoplamentos; constatamos que eles podem ser

tratados de deois modos diferentes:

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- acoplamentos onde temos o “tangenciamento” dos corpos (polia e/ou

engrenagem). Polias ou engrenagens se tocando.

- acoplamentos onde temos polias e/ou engrenagens acopladas pelo mesmo eixo.

Acoplamentos onde temos o “tangenciamento” dos corpos (polia e/ou

engrenagem) ou acopladas atraves de correias.

Ao analisarmos os pontos periféricos das polias ou da correia podemos afirmar

que todos têm a mesma velocidade tangencial; ou seja, a mesma velocidade linear, pois

nenhum ponto da correia ou dente da polia ultrapassa o outro quando esta está e

movimento. Melhor observado na correia.

Assim, para quaisquer tipos de transmissão de rotação por correias, correntes,

rodas de fricção e engrenagens, vale a relação :v1 v2 ;onde v1 e v2 são as

velocidades tangenciais dos elementos da transmissão 1 e 2, respectivamente.

Da cinemática da rotação sabemos que a velocidade tangencial é dada por vr=

,onde é a velocidade angular e r o raio da circunferência de contato. Desta forma, a

Temos:

.r1 .r2 ou

1 2

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𝜔1

𝑟1=

𝜔2

𝑟2

A fórmula acima evidencia que a razão das velocidades angulares são

inversamente proporcionais a razão dos raios.

Questão 1

A figura mostra polias cujos raios correspondem a

ra = 30 cm e rb = 5 cm. Determine as rotações

realizadas pela polia B, sabendo que a frequência de

rotação em A é de 10 rpm.

Questão 2 Um estudante usa sua bicicleta para chegar à escola. Durante o percurso, o aluno

dá uma pedalada por segundo, numa bicicleta em que:

• O raio da catraca Rc = 6 cm

• O raio da roda dentada Rd = 12 cm

• O raio da roda da bicicleta é Rb = 20 cm

Determine a velocidade da bicicleta.

Questão 3 Três polias de raios iguais a 10 cm, 20 cm e 40 cm, estão

conectadas, sem escorregamento, por duas correias

mantidas tensas. Se a polia de raio maior gira com

frequência de 5 Hz, a polia de tamanho intermediário tem

frequência, em Hz, de:

a) 5 b) 10 c) 20 d) 25 e) 40

Questão 4

Uma criança, montada em um velocípede, se desloca em trajetória retilínea com

velocidade constante em relação ao chão. A roda dianteira descreve uma volta completa

em um segundo. O raio da roda dianteira vale 24 cm e o das traseiras 16 cm. Podemos

afirmar que as rodas traseiras do velocípede completam uma volta em

aproximadamente:

a) ½ s b) 2/3s c) 1s d) 3/2s e) 2s

Respostas

Resposta Questão 1 vA = vB

ωA .RA = ωB .RB

2π. fA .RA = 2π. fB. RB

fA .RA = fB .RB

10 . 30 = fB . 5

300 ÷ 5 = fB

fB = 60 rpm

Resposta Questão 2 vd = vc

ωd .Rd = ωc .Rc

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2π/td . Rd = 2π/tc . Rc

12/1 = 6/tc

12. tc = 6

tc = 6 / 12

tc = ½

Logo:

ωc = 2π/ ½

ωc = 2π . 2

ωc = 4 π rad /s

Resposta Questão 3 f3. R3 = f2 .R2

5.40 = f2 . 20

f2 = 10 Hz

Alternativa b

Resposta Questão 4

fA. RA = fB .RB

1/ tA . RA = 1/tB .RB

1/1 .24 = 1/ tB .16

tB = 16/24 s

ou simplificando:

tB = 2/3s

Alternativa b

EXERCÍCICOS COMPLEMENTARES.

1-) Sabendo que a roda A gira com uma velocidade angular constante e

que não há escorregamento entre anel C e roda A roda B, qual das

seguintes afirmações sobre as velocidades angulares são verdadeiras?

a-) ωa = ωb ; b-) ωa ˃ ωb ; c-) ωa ˂ ωb ; d-) ωa = ωc

e-) o ponto de contato A e C têm a mesma aceleração

2-) O tambor de freio está ligado a um volante maior que não é

mostrado. O movimento do tambor de freio é definido pela relação

𝜑 = 36𝑡 − 1,6𝑡2, onde 𝜑 é expresso em radianos e t em segundos.

Determinar: (a) velocidade angular em t =2s, (b) o número de

revoluções, executado pelo tambor de freio, antes de parar.

Solução.

𝜑 = 36𝑡 − 1,6𝑡2 em radianos a-) fazendo a derivada para encontrar a velocidade angular

𝜔 =𝑑𝜑

𝑑𝑡= 36 − 3,2𝑡

para t = 2s

𝜔 =𝑑𝜑

𝑑𝑡= 36 − 3,2(2) ; 𝜔 = 29,6 𝑟𝑎𝑑/𝑠

b-) Quando o rotor parar 𝜔 = 0; asssim

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𝜔 =𝑑𝜑

𝑑𝑡= 36 − 3,2𝑡

0 = 36 − 3,2𝑡 logo t= 11,25s

𝜑 = 36(11,25) − 1,6𝑡(11,25)2= 202,5 rad.

em revoluções dá; 𝜑 =202,5

2𝜋 ;ou seja

𝜑 = 32,2𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠

3-) Uma série de componentes de uma pequena

máquina está sendo movida por um passe de correia

transportadora sobre uma polia intermediária raio de

120 mm. No instante mostrado, a velocidade do ponto

A é de 300 mm/s para a esquerda e sua aceleração é

180 mm/s2 para a direita. Determinar: (a) velocidade

angular e aceleração angular da polia maior, (b) a

aceleração total do componente máquina no B.

𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 =300𝑚𝑚

𝑠 ( 𝑎𝐵)𝑡 = 𝑎𝐴 = 180𝑚𝑚/𝑠

(𝑎) 𝑣𝐵 = 𝜔𝑟𝐵. 𝜔 =𝑣𝐵

𝑟𝐵=

300

120= 2,5𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝝎 = 𝟐, 𝟓𝒓𝒂𝒅/𝒔

( 𝑎𝐵)𝑡 = 𝛼𝑟𝐵. 𝛼 =( 𝑎𝐵)𝑡

𝑟𝐵=

180

120=

1,5𝑟𝑎𝑑

𝑠 𝜶 = 𝟏,

𝟓𝒓𝒂𝒅

𝒔

(𝑏) ( 𝑎𝐵)𝑛 = 𝑟𝐵𝜔2 = (120)(2,5)2 = 750𝑚𝑚/𝑠 2

𝑎𝐵 = √( 𝑎𝐵)𝑡2 + ( 𝑎𝐵)𝑛

2 = √(180)2 + (2,5)2 = 771𝑚𝑚/𝑠 2

𝑡𝑔𝛽 =750

180 ; 𝛽 = 76,5° 𝒂𝑩 =

𝟕𝟕𝟏𝒎𝒎

𝒔 𝟐 ; 𝜷 = 𝟕𝟔, 𝟓°

4-) As duas polias mostradas podem ser operadas com uma correia

em V em qualquer uma das três posições. Se a aceleração angular

do eixo A é 6 rad/s2 e se o sistema estiver inicialmente em repouso,

determine o tempo necessário para eixo B atingir uma velocidade

de 400 rpm com a correia em cada uma das três posições.

𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑣 = 𝛼𝐴𝑡

𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎: 𝑣 = 𝑟𝐴𝜔𝐴 = 𝑟𝐵𝜔𝐵

𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐵: 𝜔𝐵 =𝑣

𝑟𝐵=

𝑟𝐴𝛼𝐴𝑡

𝑟𝐵

𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡: 𝑡 = 𝑟𝐵𝜔𝐵

𝑟𝐴𝛼𝐴 ; 𝜔𝐵 = 400𝑟𝑝𝑚 41,889 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑑𝑎𝑑𝑜 𝛼𝐴 = 6𝑟𝑎𝑑/𝑠 → 𝑡 = 𝑟𝐵

𝑟𝐴. 41,889

6 = 6,9813

𝑟𝐵

𝑟𝐴= 6,9813

𝑑𝐵

𝑑𝐴

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𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝐵

𝑑𝐴=

2𝑖𝑛

4𝑖𝑛 𝑡 = 3,49𝑠

𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑑𝐵

𝑑𝐴=

3𝑖𝑛

3𝑖𝑛 𝑡 = 6,98𝑠

𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝐵

𝑑𝐴=

4𝑖𝑛

2𝑖𝑛 𝑡 = 13,96𝑠

5-) Três cintos movem-se sobre duas polias sem

escorregar no sistema de redução de velocidade

mostrado. No instante mostrado a velocidade do

ponto A é 2 ft/s para a direita, diminuindo a taxa

de 6 ft/s2. Determine, a neste instante: a-)

velocidade e aceleração do ponto C na faixa de

saída,(b-) a aceleração do ponto B.

Polia esquerda

𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑟1 = 2 𝑖𝑛 ; 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑟1 = 4 𝑖𝑛 ;

𝑣𝐴 =2𝑓𝑡

𝑠; (𝑎𝐴)𝑡 = −

6𝑓𝑡

𝑠2

(𝑎𝐴)𝑡 = −6𝑓𝑡

𝑠2= 6

𝑓𝑡

𝑠2

𝜔1 =𝑣𝐴

𝑟2=

2

412

= 6 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝛼1 =(𝑎𝐴)𝑡

𝑟2=

6

412

= 18 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Polia intermediária

𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑟1 = 2 𝑖𝑛 ; 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑟1 = 4 𝑖𝑛 ;

𝑣1 = 𝑟1𝜔1 = (2

12) (6) = 1

𝑓𝑡

𝑠; (𝑎1)𝑡 = 𝑟1𝛼1 = (

2

12) (18) = 3

𝑓𝑡

𝑠2

Polia da direita

𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑟3 = 2 𝑖𝑛 ; 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜: 𝑟4 = 4 𝑖𝑛 ;

𝜔2 =𝑣1

𝑟4=

1

412

= 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝛼2 =(𝑎1)𝑡

𝑟4=

3

412

= 9 𝑟𝑎𝑑/𝑠

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a-) velocidade e aceleração do ponto C.

𝑣𝑐 = 𝑟3𝜔2 = (2

12) (3) = 0,5

𝑓𝑡

𝑠; (𝑎𝑐)𝑡 = 𝑟3𝛼2 = (

2

12) (9) = 1,5

𝑓𝑡

𝑠2

a-) aceleração e aceleração do ponto B.

(𝑎𝐵)𝑛 = 𝑟4𝜔42 = (

4

12) (3)2 = 3

𝑓𝑡

𝑠2

(𝑎𝐵)𝑡 = 𝑟4𝛼2 = (4

12) (9) = 3

𝑓𝑡

𝑠2

𝑎𝐵 = 4,24𝑓𝑡

𝑠2

6-) Um sistema de redução de engrenagem consiste de

três engrenagens A, B e C. sabendo que a engrenagem A

gira no sentido horário com uma velocidade angular

constante ωa = 600 rpm, determinar (a) as velocidades

angulares de engrenagens B e C, (b) as acelerações dos

pontos em engrenagens B e C que estão em contato.

(𝑎) 𝜔𝐴 = 600𝑟𝑝𝑚 =(600)(2𝜋)

60= 20𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Considere D sendo o ponto de contato entre a engrenagem A e B

𝑣𝐷 = 𝑟𝐷/𝐴𝜔𝐴 = (2)(20𝜋) = 40𝜋 𝑖𝑛/𝑠 ↓

𝜔𝐵 =𝑣𝐷

𝑟𝐷/𝐴=

40𝜋

4= 10𝜋

60

2𝜋= 300 𝑟𝑝𝑚

Considere E sendo o ponto de contato entre a engrenagem B e C

𝑣𝐸 = 𝑟𝐸/𝐵𝜔𝐵 = (2)(10𝜋) = 20𝜋 𝑖𝑛/𝑠 ↑

𝜔𝐶 =𝑣𝐸

𝑟𝐸/𝐶=

20𝜋

6= 3,333𝜋

60

2𝜋= 100 𝑟𝑝𝑚

b-) Considere D sendo o ponto de contato entre engrenagem A e B.

na polia B 𝑎𝐵 =(𝑣𝐸)2

𝑟𝐸/𝐵=

(20𝜋)2

2= 1973,9

𝑖𝑛

𝑠2 ←

na polia B 𝑎𝐶 =(𝑣𝐸)2

𝑟𝐸/𝐶=

(20𝜋)2

6= 658

𝑖𝑛

𝑠2 →

7-) Um cinto é puxado para a direita entre os cilindros A e B.

sabendo que a velocidade da correia é um constante 5 ft/s e

nenhum resvalamento ocorre, determinar as velocidades angulares

de A e B, (b) as acelerações dos pontos que estão em contacto com

o cinto

45°

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8-) O anel C tem um raio interno de 55mm e um raio externo de 60

mm e é posicionada entre duas rodas A e B, cada um dos 24-mm de

raio exterior. Sabendo que A roda gira com uma velocidade angular

constante de 300 rpm e que não escorregar ocorre, determinar a

velocidade angular do anel C e da roda B, (b) a aceleração da pontos

de A e B que estão em contato com

C.

Velocidade angular

Disco A

Disco B

Aceleração do ponto de contato

Disco A

Disco B

velocidade Ponto 1, ponto de contato entre A e C

Ponto 2, ponto de contato entre B e C

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9-) Anel B tem um raio interior r2 e trava em

relação à horizontal eixo A conforme

mostrado. O eixo A gira com uma velocidade

angular constante de 25 rad/s e não

escorrega. Sabendo que r1 =12 mm, mm r2

=30 e r3 =40 mm, determine: (a) velocidade

angular do anel B, (b) as acelerações dos

pontos do eixo A e anel B que estejam em

contacto, (c) a magnitude da aceleração de

um ponto da superfície exterior do anel B.

Aceleração

Ponto de A

Ponto de B

Ponto C, ponto de contato entre a haste e o anel

Na haste, ponto A

No anel, ponto B

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10-) Um filme plástico move-se sobre dois

tambores. Durante um intervalo de 4s, que a

velocidade da fita é aumentada uniformemente de v0

=2 ft/s de v1 =4 ft/s. Sabendo que a fita não

escorregar na bateria, determine: (a) aceleração

angular do cilindro B, (b) o número de revoluções

executado pelo tambor B durante o intervalo de 4s.

Aceleração do ponto D, ponto de fora do anel

dados

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11-) Uma polia e duas cargas estão ligadas por cabos extensível

conforme mostrado. A de carga tem uma aceleração constante

de 300 mm/s2 e uma velocidade inicial de 240 mm/s, ambos

dirigidos para cima. Determinae (a) o número de revoluções,

executado pela polia em 3 s, (b) a velocidade e a posição da

carga B após 3 s, (c) a aceleração do ponto D na borda da polia

em t = 0.

Movimento da correia

Como a correia não desliza, não escorrega, a aceleração da periferia é:

Aceleração angular do tambor B

Deslocamento angular do tambor B

em revoluções

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Movimento da polia

para

Carga B

Ponto D