Mecânica Geral

Apostila 2: Movimento Circular

Professor Renan Faria

Movimento Circular

Grandezas Angulares

As grandezas até agora utilizadas de deslocamento/espaço (s, h, x, y), de velocidade (v) e de aceleração (a), eram úteis quando o objetivo era descrever movimentos lineares, mas na análise de movimentos circulares, devemos introduzir novas grandezas, que são chamadas grandezas angulares, medidas sempre em radianos. São elas:

deslocamento/espaço angular: φ (phi) velocidade angular: ω (ômega) aceleração angular: α (alpha)

Saiba mais...

Da definição de radiano temos:

Desta definição é possível obter a relação:

E também é possível saber que o arco correspondente a 1rad é o ângulo formado quando seu arco S tem o mesmo comprimento do raio R.

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Espaço Angular (φ)

Chama-se espaço angular o espaço do arco formado, quando um móvel encontra-se a uma abertura de ângulo φ qualquer em relação ao ponto denominado origem.

E é calculado por:

Deslocamento angular (Δφ)

Assim como para o deslocamento linear, temos um deslocamento angular se calcularmos a diferença entre a posição angular final e a posição angular inicial:

Sendo:

Por convenção:

No sentido anti-horário o deslocamento angular é positivo.

No sentido anti-horário o deslocamento angular é negativo.

Velocidade Angular (ω)

Análogo à velocidade linear, podemos definir a velocidade angular média, como a razão entre o deslocamento angular pelo intervalo de tempo do movimento:

Sua unidade no Sistema Internacional é: rad/s

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Sendo também encontradas: rpm, rev/min, rev/s.

Também é possível definir a velocidade angular instantânea como o limite da velocidade angular média quando o intervalo de tempo tender a zero:

Aceleração Angular (α)

Seguindo a mesma analogia utilizada para a velocidade angular, definimos aceleração angular média como:

Algumas relações importantes

Através da definição de radiano dada anteriormente temos que:

mas se isolarmos S:

derivando esta igualdade em ambos os lados em função do tempo obteremos:

mas a derivada da Posição em função do tempo é igual a velocidade linear e a derivada da Posição

Angular em função do tempo é igual a velocidade angular, logo:

onde podemos novamente derivar a igualdade em função do tempo e obteremos:

mas a derivada da velocidade linear em função do tempo é igual a aceleração linear, que no

movimento circular é tangente à trajetória, e a derivada da velocidade angular em função do tempo

é igual a aceleração angular, então:

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Então:

Linear AngularS = φRv = ωRa = αR

Período e Frequência

Período ( T ) é o intervalo de tempo mínimo para que um fenômeno ciclico se repita. Sua unidade é

a unidade de tempo (segundo, minuto, hora...)

Frequência ( f ) é o número de vezes que um fenômeno ocorre em certa unidade de tempo. Sua

unidade mais comum é Hertz (1Hz=1/s) sendo também encontradas kHz, MHz e rpm. No

movimento circular a frequência equivale ao número de rotações por segundo sendo equivalente a

velocidade angular.

Para converter rotações por segundo para rad/s:

sabendo que 1rotação = 2π rad,

Movimento Circular Uniforme

Um corpo está em Movimento Curvilíneo Uniforme, se sua trajetória for descrita por um círculo

com um "eixo de rotação" a uma distância R, e sua velocidade for constante, ou seja, a mesma em

todos os pontos do percurso.

No cotidiano, observamos muitos exemplos de MCU, como uma roda gigante, um carrossel ou as

pás de um ventilador girando.

Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sentido, logo existe

uma aceleração, mas como esta aceleração não influencia no módulo da velocidade, chamamos

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de

Aceleração Centrípeta.

Esta aceleração é relacionada com a velocidade angular da seguinte forma:

Sabendo que e que , pode-se converter a função horária do espaço linear para o

espaço angular:

então:

Movimento Circular Uniformemente Variado

Quando um corpo, que descreve trajetória circular, e sofre mudança na sua

velocidade angular, então este corpo tem aceleração angular (α).

As formas angulares das equações do Movimento Curvilíneo Uniformemente

Variado são obtidas quando divididas pelo raio R da trajetória a que se

movimenta o corpo.

Assim:

MUV MCUVGrandezas lineares Grandezas angulares

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E, aceleração resultante é dada pela soma vetorial da aceleração tangencial e

da aceleração centrípeta:

 

Exemplo:

Um volante circular com o raio 0,4 metros gira, partindo do repouso, com

aceleração angular igual a 2 rad/s².

(a) Qual será a sua velocidade angular depois de 10 segundos?

(b) Qual será o ângulo descrito neste tempo?

(c) Qual será o vetor aceleração resultante?

 

(a) Pela função horária da velocidade angular:

(b) Pela função horária do deslocamento angular:

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(c) Pelas relações estabelecidas de aceleração tangencial e centrípeta:

 

Exercícios

1) O lançador de um disco faz o disco se mover ao longo de uma circunferência de raio igual a 0,80 m. Em um dado instante, o lançador gira com velocidade angular de 10 rad/s, que aumenta a 50 rad/s2 . Neste instante, determine a componente tangencial e a componente centrípeta da aceleração do disco e o módulo da aceleração resultante.

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Solução:

a tg=r∝=0,80 .50,0=40m/ s2

arad=w2r=102.0,80=80,0m /s2

O módulo do vetor aceleração é:

a=√atg2+arad2 = 89,4 m/s2

2) O volante do protótipo de um motor está sendo testado. A posição angular θ desse volante é dada por:

θ=2t 3 (rad)

O diâmetro do volante é igual a 0,36m.a) Ache a o ângulo θ, em radianos nos instantes: t1=2,0 s e t2= 5,0 s.b) Ache a distância percorrida por uma partícula da periferia do volante

nesse intervalo de tempo.c) Calcule a velocidade angular média entre t1 e t2 .

Solução:a)

θ1=2.23=16 rad

θ1=2.53=250 rad

b) O volante gira com um deslocamento angular de

Δθ = 250 – 16 = 234 rad

O raio r é metade do diâmetro, ou 0,18 m. então :

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S = r.θ = 0,18 . 234 = 42m

c) ωm=∆θ∆t

=250−165,0−2,0

=78 rad /s

3) Você acaba de assistir a um filme em DVD, e o disco está diminuindo a rotação até parar. A velocidade angular do disco é igual a 27,5 rad/s no instante t=0s e sua aceleração angular é constante e igual a -10,0 rad/s2. Uma linha PQ na superfície do disco coincide com o eixo Ox no instante t=0.a) Qual a velocidade angular do disco no instante t=0,3 s ?b) Qual é o ângulo formado entre a linha PQ e o eixo Ox nesse

instante ?

Solução:

a) Usando a equação: ω=ω0+αt

¿27,5+(−10,0 ) .0,30=24,5rad /s

b) Usando a equação:

θ=θ0+ω0 t+12α t 2

¿0+27,5 .0,30+0,5 . (−10,0 ) .0,32=7,80 rad

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4) Você foi solicitado para projetar a hélice de um avião que deve girar a

2400 rpm. A velocidade do avião deve ser de 75 m/s, e a velocidade da

extremidade da lâmina da hélice não pode superar 270 m/s.

a) Qual o raio máximo que a hélice pode ter ?

b) Com esse raio, qual é a aceleração da extremidade da hélice ?

f = 2400 rpm = 2400. 2π/60s = 251 rad/s

a) O módulo da velocidade é dado por:

vextrem=√vavião2+v tg2

Sendo: v = ωr

vextrem2=vavião

2+ω2 . r2

r=√ vextrem2−vavião2ω

r=√2702−752251

=1,03m

b) A aceleração centrípeta é:

acent=ω2 . r

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acent=2512 .1,03=65.000 rad /s2

5) Um disco gira livremente em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro. Uma corda é enrolada no disco e um corpo A, ligado à corda, é deixado cair sob a ação da gravidade. O movimento de A é uniformemente acelerado.Em t=0 s, a velocidade do corpo a é v=0,04 m/s e em t=2 s, A desce 0,2 m. Achar as acelerações tangencial e centrípeta neste tempo.

Corpo A: x=x0+v0 t+at2t 2 v=v0+at

x=0,04 t+at2t2 v=0,04 + 0,06t

Em t=2 s, x= 0,2 m ac=v2

r

0,2=0,04.2 + at/2 . 22 ac=(0,04+0,06 t)2

0,1

12

0

x

A

at

t=0s

0,2m

t=2s

D

0,1m

ac

at=0,06 m/s2

Lista de Exercícios

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