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1 Movimento Circular Uniforme Prof. Dr. Walter F. de Azevedo Jr. E-mail: [email protected] © 2018 Dr. Walter F. de Azevedo Jr.

Movimento Circular Uniforme - azevedolab.netazevedolab.net/resources/movimento_circular.pdfMovimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Se isolarmos o tempo da equação da

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Page 1: Movimento Circular Uniforme - azevedolab.netazevedolab.net/resources/movimento_circular.pdfMovimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Se isolarmos o tempo da equação da

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Movimento Circular Uniforme

Prof. Dr. Walter F. de Azevedo Jr. E-mail: [email protected] ©2

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F.

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Aze

ve

do

Jr.

Page 2: Movimento Circular Uniforme - azevedolab.netazevedolab.net/resources/movimento_circular.pdfMovimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Se isolarmos o tempo da equação da

Considere um disco rígido de densidade constante e raio R mostrado na figura abaixo.

O disco tem rotação em torno de um eixo que passa pelo seu centro. No disco temos

uma partícula infinitesimal Pi de massa dmi que gira no sentido anti-horário com

deslocamento dsi.

2

Movimento Circular Uniforme (Rotação)

Pi

dsi

riθi

R

Page 3: Movimento Circular Uniforme - azevedolab.netazevedolab.net/resources/movimento_circular.pdfMovimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Se isolarmos o tempo da equação da

Num intervalo de tempo dt, a partícula Pi descoloca-se dsi, que é dado por:

onde vi é a velocidade da partícula Pi

3

Pi

dsi

riθi

𝑑𝑠𝑖 = 𝑣𝑖𝑑𝑡

R

Movimento Circular Uniforme (Rotação)

Page 4: Movimento Circular Uniforme - azevedolab.netazevedolab.net/resources/movimento_circular.pdfMovimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Se isolarmos o tempo da equação da

A partícula Pi varre um ângulo dθ no intervalo de tempo dt. Em radianos (rad) temos

que dθ é dado pela seguinte expressão:

onde ri é o raio da partícula. O ângulo θ é

chamado de deslocamento angular.

4

Pi

dsi

riθi

𝑑𝜃 =𝑑𝑠𝑖𝑟𝑖

R

Movimento Circular Uniforme (Deslocamento Angular)

Page 5: Movimento Circular Uniforme - azevedolab.netazevedolab.net/resources/movimento_circular.pdfMovimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Se isolarmos o tempo da equação da

Considerando-se uma volta completa do disco, temos que a partícula Pi sofre um

deslocamento si de 2πri, sendo 2π o deslocamento angular (θ), assim temos:

onde 1 rev é uma revolução.

5

Pi

dsi

riθi

∆𝜃 =∆𝑠𝑖𝑟𝑖=2𝜋𝑟𝑖𝑟𝑖= 2𝜋𝑟𝑎𝑑 = 360𝑜 = 1 𝑟𝑒𝑣

R

Movimento Circular Uniforme (Deslocamento Angular)

Page 6: Movimento Circular Uniforme - azevedolab.netazevedolab.net/resources/movimento_circular.pdfMovimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Se isolarmos o tempo da equação da

Definimos a velocidade angular (ω) como a taxa de variação do deslocamento

angular (θ) com relação ao tempo, conforme indicado abaixo.

a velocidade angular tem unidade de

rad/s e dimensões de T-1.

A velocidade angular é positiva para uma rotação anti-horária, onde o deslocamento

angular (θ) aumenta, e negativa para uma rotação horária, onde θ diminui.6

Pi

dsi

riθi

𝜔 =𝑑𝜃

𝑑𝑡

R

Movimento Circular Uniforme (Velocidade Angular)

Page 7: Movimento Circular Uniforme - azevedolab.netazevedolab.net/resources/movimento_circular.pdfMovimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Se isolarmos o tempo da equação da

Definimos a aceleração angular (α) como a taxa de variação da velocidade angular

(ω) com relação ao tempo, conforme indicado abaixo.

a aceleração angular tem unidade de

rad/s2 e dimensões de T-2.

A aceleração angular é positiva quando a velocidade angular estiver crescendo e

negativa para uma diminuição da velocidade angular.7

Pi

dsi

riθi

𝛼 =𝑑𝜔

𝑑𝑡=𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

R

Movimento Circular Uniforme (Aceleração Angular)

Page 8: Movimento Circular Uniforme - azevedolab.netazevedolab.net/resources/movimento_circular.pdfMovimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Se isolarmos o tempo da equação da

A partir das equações (1) e (2) abaixo, podemos relacionar a velocidade tangencial (vit)

da partícula Pi sobre o disco à velocidade angular (ω), como segue:

8

Pi

dsi

riθi

𝑣𝑖𝑡 =𝑑𝑠𝑖𝑑𝑡=𝑑(𝑟𝑖𝜃)

𝑑𝑡= 𝑟𝑖

𝑑𝜃

𝑑𝑡= 𝑟𝑖𝜔

R

𝑑𝜃 =𝑑𝑠𝑖𝑟𝑖

𝜔 =𝑑𝜃

𝑑𝑡

(Equação 1)

(Equação 2)

Movimento Circular Uniforme (Velocidade Tangencial)

𝑣𝑖𝑡 = 𝑟𝑖𝜔

Page 9: Movimento Circular Uniforme - azevedolab.netazevedolab.net/resources/movimento_circular.pdfMovimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Se isolarmos o tempo da equação da

Podemos relacionar a aceleração tangencial (ait) com a aceleração angular (α), como

indicado abaixo:

9

Pi

dsi

riθi

𝑎𝑖𝑡 =𝑑𝑣𝑖𝑡𝑑𝑡

=𝑑(𝑟𝑖𝜔)

𝑑𝑡= 𝑟𝑖

𝑑𝜔

𝑑𝑡= 𝑟𝑖𝛼

R

Movimento Circular Uniforme (Aceleração Tangencial)

𝑎𝑖𝑡 = 𝑟𝑖𝛼

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Para uma aceleração angular (α) constante, podemos obter as equações do

movimento circular uniforme, a partir da integração, como indicado abaixo.

10

Pi

dsi

riθi

R

𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝛼 =𝑑𝜔

𝑑𝑡→ 𝑑𝜔 = 𝛼𝑑𝑡 →

𝜔0

𝜔

𝑑𝜔 = 𝛼 0

𝑡

𝑑𝑡 → 𝜔 − 𝜔0 = 𝛼𝑡 → 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡

Movimento Circular Uniforme (Equação de Movimento)

Page 11: Movimento Circular Uniforme - azevedolab.netazevedolab.net/resources/movimento_circular.pdfMovimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Se isolarmos o tempo da equação da

A partir da definição de velocidade angular, chegamos a uma equação para o

deslocamento angular:

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Pi

dsi

riθi

R

𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 →𝑑𝜃

𝑑𝑡= 𝜔0 + 𝛼𝑡 → 𝑑𝜃 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 𝑑𝑡 →

𝜃0

𝜃

𝑑𝜃 = 𝜔0 0

𝑡

𝑑𝑡 + 𝛼 0

𝑡

𝑡𝑑𝑡

𝜃 − 𝜃0 = 𝜔0𝑡 +𝛼

2𝑡2 → 𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 +

𝛼

2𝑡2

Movimento Circular Uniforme (Equação de Movimento)

Page 12: Movimento Circular Uniforme - azevedolab.netazevedolab.net/resources/movimento_circular.pdfMovimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Se isolarmos o tempo da equação da

Se isolarmos o tempo da equação da velocidade angular e substituirmos na equação

do deslocamento angular, temos uma expressão equivalente à equação de Torricelli.

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Pi

dsi

riθi

R

𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼∆𝜃

Movimento Circular Uniforme (Equação de Torricelli)

Page 13: Movimento Circular Uniforme - azevedolab.netazevedolab.net/resources/movimento_circular.pdfMovimento Circular Uniforme (Equação de Movimento) Se isolarmos o tempo da equação da

Temos o equivalente para cada aspecto do movimento unidimensional no movimento

circular uniforme, como indicado abaixo.

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deslocamento angular (θ) posição (s)

velocidade angular (ω) velocidade (v)

aceleração angular (α) aceleração (a)

equação para equação para posição

deslocamento angular

equação para equação para velocidade

velocidade angular

equação para equação para velocidade

velocidade angular

𝜔 =𝑑𝜃

𝑑𝑡 v=𝑑𝑠

𝑑𝑡

𝛼 =𝑑𝜔

𝑑𝑡 a=𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 +𝛼

2𝑡2 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0𝑡 +

𝑎

2𝑡2

𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡

𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼∆𝜃

𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎∆𝑠

Movimento Circular Uniforme (Equações)

Movimento Circular Uniforme Movimento Unidimensional

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Sobre a aceleração centrípeta, podemos obter sua expressão a partir da análise

vetorial do movimento circular uniforme, como mostrado no desenho abaixo. No

sistema abaixo, temos uma partícula em movimento circular, onde esta desloca-se da

posição inicial (ri) para final (rf), com deslocamento angular θ.

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ri

rf

vi

vf

θ

Movimento Circular Uniforme (Aceleração Centrípeta)

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Analisando-se variação da velocidade tangencial entre os instantes inicial e final, temos

a variação da velocidade (v = vf - vi) indicada na figura abaixo à direita.

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ri

rf

vi

vf

θ

vi

vf

vi

vf

θv

Movimento Circular Uniforme (Aceleração Centrípeta)

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Considerando-se a variação da posição (r) entre os instantes finais e iniciais, temos o

vetor resultante (r = rf - ri), como indicado abaixo.

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ri

rf

vi

vf

θr

Movimento Circular Uniforme (Aceleração Centrípeta)

vi

vf

vi

vf

θv

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Analisando-se a geometria do sistema, vemos que os triângulos da esquerda e direita

são semelhantes. Assim, considerando-se que ri = rf = r e que vi = vf = v temos:

∆ 𝑣

𝑣=∆ 𝑟

𝑟→ ∆ 𝑣 = v

∆ 𝑟

𝑟

Sabemos que a

aceleração é dada por:

Substituindo-se (1) em (2) temos:

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ri

rf

vi

vf

θr

𝑎 =∆𝑣

∆𝑡

(1)

(2)

𝑎 =𝑣

𝑟

∆ 𝑟

∆𝑡=𝑣

𝑟𝑣 =

𝑣2

𝑟→ 𝑎𝑐 =

𝑣2

𝑟

Movimento Circular Uniforme (Aceleração Centrípeta)

vi

vf

vi

vf

θv

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O tempo que uma partícula em movimento circular uniforme demora para realizar uma

volta completa (360º) é chamado de período (T) e é dado pela expressão abaixo:

Considerando-se que v = ωr, temos:

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ri

rf

vi

vf

θr

𝑇 =2𝜋𝑟

𝑣

𝑇 =2𝜋𝑟

𝑣→ 𝑇 =

2𝜋𝑟

𝜔𝑟→ 𝑇 =

2𝜋

𝜔→ 𝜔 =

2𝜋

𝑇

Movimento Circular Uniforme

vi

vf

vi

vf

θv

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TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed.

Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. 2012., 759 pp.

Última atualização em: 6 de setembro de 2018.

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Referências Bibliográficas