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Movimento oscilatórioPreliminar: Potenciais
potencial por se-designa U funçãoA
kx2
1U
dx
kx21
d-FkxF
vaconservati força uma a
origem também dá molas as para Hooke de lei a exemplo, Por
mgzUdz
d(mgz)-FmgF
vaconservati é gravidade a exemplo, Pordx
dUF
que tal
função uma existe se vaconservati se-diz força Uma
2
2
Movimento oscilatórioExemplo de uma mola em suspensão
m
m
kω com 0xωx ou-kx xm
movimento o estudar Para
lk
mgl0)lk(lmg
dl
dU-
:0F equilíbrio No
)lk(l2
1mglU
20
20
0e0ell
20
e
0lel
Movimento oscilatórioExemplo de uma mola em suspensão
m
ωv(0)x e x(0)0;t
:
pelas sencontrada são e constantes As
)( t).sin(ωt).cos(ωx(t)
:cos ou sin
função uma ser de tem que sabemos
xωx ou 0xωx
de solução a encontrar Para
00
00
20
20
ba
iniciaiscondições
ba
verificarba
!
0lel
Movimento oscilatórioExemplo de uma mola em suspensão
m
inicial fase a é
angular frequência a é ω
amplitude a é
ω
2T2Tωtωcosx(t)
ou
t)sin(ωt)cos(ωx(t)
escrever permite que o
e
pôr podermos implica que o
ponhamos quaisquer e :Nota
0
000
00
δ
A
δA
A
AbAa
(δb
aba
)sin()cos(
)sin()cos(
)tan
0lel
Movimento oscilatórioExemplo de uma mola em suspensão
m
ti
i
Ae
ei0
sincos
...
...1
...
x(t)implica que o
z
forma na escrito
ser pode ibaz complexo Qualquer6!
x
5!
x
4!
x
3!
x
2!
xx1e
6!
x
4!
x
2!
xcos(x)
7!
x
5!
x
3!
xxsin(x)
:complexa lExponencia
65432x
642
753
0lel
)(Im)sin(
)(Re)cos(
0
0
txtA
txtA
Movimento oscilatórioOscilador amortecido
m
com xxx
ou
xkxxm
0 com
m
xFatrito
202 2
0
0lel
Movimento oscilatórioOscilador amortecido
m
tiωtiω eaea
i
i
x(t)é geral soluçãoA
:soluções Duas
tica)caracterís (equação
ae x(t)solução uma arexperiment vamos
xxx
resolver Para
ti
220
20
2
20
02
:
02
0l
el
Movimento oscilatórioOscilador amortecido
m
tAe
eA
aaeA
a
eaeaetx
t
ii
titit
220
220
cos
22
)(
022
022
0
x(t)
temos
e
pondo
:pequeno) (atrito Caso
0lel
Movimento oscilatórioOscilador amortecido
m
0lel
Movimento oscilatórioOscilador amortecido
m
ooscilatóri é não movimento O
com
:grande) (atrito Caso
tt eaeatx
ii
)(
0
20
2
220
0l
el
Movimento oscilatórioOscilador amortecido
m
0lel
Movimento oscilatórioOscilador forçado
m
im
FAe
m
FiAe
Aetx
eFtFm
tFxxx
i
i
ti
ti
2
2
)(
)()(
2
220
0
020
2
020
tipo do
solução uma arexperiment Vamos
com
0lel
Movimento oscilatórioOscilador forçado
m
222220
0
220
022
0
0
22
220
0
4
1)(
22
)(
2
m
FA
im
F
im
F
AAe
im
FAe
i
i
0lel
Movimento oscilatórioOscilador forçado
m
0lel
220
2
2220
222220
222220
0
2
02
04
4
1)(
R
d
d
m
FA
Movimento oscilatórioOscilador forçado
m
22
0
222220
220
022
0
0
222220
220
220
022
0
0
2)(tan
4
2
222
)sin(Im
42
1
222
1
)cos(Re
im
F
im
Fi
AAe
im
F
im
F
AAe
i
i
0lel
Movimento oscilatórioOscilador forçado
m
0lel
Movimento oscilatórioOscilador forçado
m
)(1
2arctan)(
0
220
Para
0lel
Movimento oscilatórioOscilador forçado
m
0lel
Iterlúdio matemáticoDerivadas parciais
x
y
z
z=f(const,y)=g(y)
z=f(const,y)=g(y)
y
y
ygyyg
y
yxfy
constx
)()(lim
),(0
Plano x=const
Plano x=const
Osciladores acoplados
1232222
2
2
1231121
2
1
xxkxkt
xm
xxkxkt
xm
x1x2-x1
x2
k2k3k1
2 gra
us
de
liber
dade
Osciladores acoplados
xt
x
xt
x
xxx
xxx
xxxxt
xx
xxt
xx
23
222
2
212
2
2121
212321
222
212
21212
212
2
2;
2
2
se-Defina
Sistema desacoplado!
Coordenadas normais
Osciladores acoplados
vibração. de normais modos dos
ainda ou ou
por se-designam
sfrequência As por sedesignam
soluções As
ísticass caracterfrequência
s naturaisfrequência
nâncias de ressofrequência
vibração. de normais modos
xtxx
xtxx
23
22
1
2
0),(
0),(
O caso geral é complicado… massas iguais e k’s iguais
Osciladores acoplados (alt.)
00
00
0
2332
2231
21
322
23
3312
1
2
1
322
23
3312
1
2322
213
231312
1
1232222
2
2
1231121
2
1
kkkmkkmkkmk
kkkm
A
A
kkmk
kkkm
AkkmAk
AkAkkm
eAxxxkxk
t
xm
xxkxkt
xm
tiii
arexperiment
Osciladores acoplados (alt.)
iniciais condições pelas osdeterminad são s' os e s' Os
normais. modos dos ãosobreposiç a é geral soluçãoA
Ae Aos oencontrand e matriz na dosubstituin
Donde
-
c
tctx
tx
tctx
tx
M
KM
K
KKM
)cos(1
1
)(
)(
)cos(1
1
)(
)(
1
1;
1
1
:
3
02
2
1
2
1
22
Múltiplos osciladores acoplados
Física! da simportante mais equações das uma é Esta
ondas das Equação
limite no e
contínua mola uma ter a forma de e Fazemos
tamanho de molas (
22
2
22
2
2
2
112
2
),(),(
),(),(),(),(1),(
0
)
x
txv
t
tx
a
taxtx
a
txtax
am
ka
t
tx
aN
aNkkdt
dm nnnn
n
T
va
mkaT e
Solução da equação das ondas
(x,t)=f(x-vt)
x=vt
(x,0)=f(x) (x,t)=f(x-vt)
Solução da equação das ondasSeja f(x) a solução da equação para t=0. Essa
função f é o perfil da onda. Se a onda se propagar sem mudança de forma com velocidade v para x=vt então (x,t)=f(x-vt)=(x,0).
(x,t)=f(x-vt)
é a solução mais geral da equação das ondas
Ondas harmónicas(x,0)=a cos(mx); a é a amplitude
(x,t)=a cos[m(v-vt)]2π/m=λ é o comprimento de onda. O tempo necessário para que a onda volte ao mesmo valor é o período τ. Dada a periodicidade do coseno ou
Introduzindo o número de onda k= 2π/λ e a frequência = 2π/τ temos
(x,t)=a cos(kx-t+)
22
v
v
Ondas planas
r P
nQd
rnd.
).( vtrnf
Ondas esféricas
)( vtrf
InterferênciaO princípio de sobreposição das ondas diz
que a onda resultante da sobreposição de duas ondas é a soma das duas ondas: ),(),(),( 2211 txatxatx
Interferência
txkk
txkk
a
txkatxkatx
22cos
22cos2
)cos()cos(),(
21212121
2211
grupovkkdk
d
21
21
Interferência
Corpo negro
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